2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--5.4 数列的应用
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--5.4 数列的应用 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 332.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-23 11:07:05 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
5.4 数列的应用
基础过关练
题组一 等差数列的实际应用
1.小明在超市购买了一个卷筒纸,量得该卷筒纸的内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷了60层.若把各层都视为同心圆,取π=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)约为( )
A.17 m B.16 m C.15 m D.14 m
2.(多选题)(2024湖南衡阳第二中学期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何 ”已知问题中五个爵位是由高到低排列的,古代数学中“以爵次分之”一般表示等差分配.若上造得三分鹿之二,即上造分得头鹿,则下列说法正确的有( )
A.大夫分得二鹿
B.不更分得一鹿加三分鹿之一
C.不更、上造分得的鹿之和是簪褭的两倍
D.不更、上造分得的鹿之和与大夫、公士分得的鹿之和相等
3.某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人的“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层( )
A.7 B.8 C.9 D.10
题组二 等比数列的实际应用
4.(2024山东菏泽一中月考)小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买了一台价值a元的家电,在购买1个月后的2月1日第一次还款,且以后每月的1日等额还款一次,一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款),月利率为r.按复利计算,则小李每个月应还( )
A.元 B.元
C.元 D.元
5.(多选题)(2023辽宁朝阳建平实验中学期中)某牧场2022年年初牛的存栏数为500,预计以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,…,cn,…,其中n∈N+,则下列结论正确的是(附:1.25≈2.488 3,1.26≈2.986 0,1.27≈3.583 2,1.210≈6.191 7)( )
A.c2=540
B.cn+1=1.2cn-60
C.按照计划2028年年初存栏数首次突破1 000
D.c1+c2+c3+…+c10≈8 192
6.(2023山东威海期末)若某政府增加环境治理费用a亿元,每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费,经过10轮影响之后,最后的国内消费总额为400亿元,则a≈ (最初政府支出也算是国内消费,结果精确到1).
7.(2023北京交通大学附属中学期中)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的两腰上再连接两个正方形……如此下去将得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形,且其中最大的正方形的边长为,则其中最小的正方形的边长为 .
8.(2023福建福州第一中学期末)某林场去年年底木材蓄积量为100万立方米,若树木以每年20%的增长率生长,计划从今年起,每年年底砍伐x万立方米树木,记an(单位:万立方米)为第n年年底的木材蓄积量.
(1)求a1,a2及数列{an}的递推公式;
(2)为了实现经过10年木材蓄积量翻两番(原来的4倍)的目标,则x的最大值是多少 (精确到0.1)
参考数据:1.29≈5.16,1.210≈6.19.
题组三 数列的综合应用
9.(2024山东泰安新泰第一中学月考)某城镇为改善当地生态环境,2016年投入资金120万元,以后每年投入资金比上一年增加10万元,从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%,到2025年该城镇生态环境建设的投资总额大约为(参考数据:1.16≈1.77,1.17≈1.95)( )
A.1 600万元 B.1 660万元
C.1 700万元 D.1 811万元
10.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图,实心点个数为1,5,12,22,…,被称为五边形数,其中第1个五边形数记作a1=1,第2个五边形数记作a2=5,第3个五边形数记作a3=12,第4个五边形数记作a4=22,……,第n个五边形数记作an.已知an-an-1=3n-2(n≥2),则前n个五边形数中,实心点的总数为 .参考公式:12+22+32+…+n2=
11.某村投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后,第一年需支出各项费用11万元,以后每年支出费用相对前一年增加2万元.从第一年起,每年收入都为36万元.设f(n)(单位:万元)是前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额).
(1)求f(n)的表达式,计算前多少年的纯利润总和最大,并求出最大值;
(2)计算前多少年的年平均纯利润最大,并求出最大值.
能力提升练
题组一 等差数列的应用
1.(2024北京师范大学第二附属中学期中)《九章算术》之后,人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题,如《张丘建算经》卷上第22题为利用等差数列求和公式解决织布问题.若有一女善织布,从第2天起每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺布,一个月(按30天计)共织420尺布,则第2天织布的尺数为( )
A.
2.按照图1~图3的规律,第10个图中圆点的个数为( )
A.40 B.36 C.44 D.52
3.朱世杰是历史上有名的数学家,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日 ”其大意为:官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天发大米3升,共发出大米40 392升,问修筑堤坝多少天 在这个问题中,堤坝修筑了 天,第8天应发大米 升.
题组二 等比数列的应用
4.(2024吉林长春东北师范大学附属中学期中)在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作称为该数列的一次“H扩展”.已知数列1,2,第一次“H扩展”后得到1,3,2,第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2,那么第十次“H扩展”后得到的数列的项数为( )
A.1 023 B.1 025 C.513 D.511
5.(2024四川成都树德中学月考)有一个国王奖励国际象棋发明者的故事,故事里象棋发明者要求这样的奖励:在棋盘上的64个方格中,第1个方格放1粒小麦,第2个方格放2粒小麦,……,第k个方格放2k-1粒小麦,结果国王拿出全国的小麦也不够.假设能有这么多的小麦,则这个故事继续如下,将这些小麦用1,2,3,…编号,并按照一定规律逐个抽取幸运小麦,设第n次随机抽取的幸运小麦的编号为an,若a1=7,接下来按照规律:an+1=+2an(n∈N*)逐个抽取幸运小麦,则共能抽取的幸运小麦的粒数为( )
A.4 B.5 C.15 D.63
6.(多选题)(2023广东深圳技术大学附属中学月考)在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人为第一轮传染,第一轮被传染的R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染,…….假设某种传染病的基本传染数R0=4,平均感染周期为7天,初始感染者为1人,则(参考数据:log43 001≈5.8)( )
A.第三轮被传染的人数为16
B.前三轮被传染的人数累计为80
C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列
D.被传染人数累计达到1 000大约需要35天
题组三 数列的综合应用
7.(多选题)某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了40%,预计以后每年资金增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始,每年年底上缴资金t万元(t<800),并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为an万元,则( )
A.a2=2 800-t
B.an+1=an-t
C.an+1>an
D.当t=400时,a3>3 800
8.(2022浙江丽水期末)已知某地2020年共发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车牌照2万张.为响应国家号召,实现“双碳目标”,从2021年起,每年发放的电动型汽车牌照按前一年的50%增长,燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张,同时规定,若某年发放的汽车牌照超过15万张,以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变.那么从2021年至2030年这十年将累计发放汽车牌照 万张.
9.(2023北京东直门中学期中)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R的圆形纸,对折1次可以得到两个规格相同的图形,将其中之一进行第2次对折后,就会得到三个图形,其中有两个规格相同,取规格相同的两个之一进行第3次对折后,就会得到四个图形,其中依然有两个规格相同,以此类推,每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把第k次对折后得到的不同规格的图形面积和用Sk表示,且S1=,则S4= ;若对折n次,则Sk= .
10.(2024辽宁省实验中学月考)市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式:①等额本金,即在还款期内把贷款数总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息,因此,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息,即银行从每月月供款中,先收剩余本金利息,后收本金,利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低,本金在月供款中的比例因增加而升高,但月供总额保持不变.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2021年7月8日贷款到账,则2021年8月8日首次还款).已知该笔贷款年限为25年,月利率为0.4%.
(1)若小张采取等额本金的还款方式,已知第一个还款月应还5 500元,最后一个还款月应还2 510元,试计算该笔贷款的总利息;
(2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素);
(3)对比两种还款方式,你会建议小张选择哪种还款方式 并说明你的理由.
参考数据:1.004300≈3.31.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C
信息提取 ①各层同心圆的直径(单位:cm)构成等差数列,记为{dn},且 d1=4,d60=12;②各层纸的长度(单位:cm)πd1,πd2,…,πd60也构成等差数列;③求卷筒纸的长度(单位:cm)即求等差数列{πdn}的前60项和.
解析 由题意可知,各层同心圆的直径(单位:cm)构成等差数列,记为{dn},其中d1=4,d60=12,则这个卷筒纸的长度为πd1+πd2+πd3+…+πd60=π(d1+d2+d3+…+d60)=×
60=480×3.14=1 507.2 cm≈15(m).
2.BCD 由题意得大夫、不更、簪褭、上造、公士五人分得鹿的数量构成递减的等差数列,设为{an},其前n项和为Sn,公差为d,
由题意得S5=5,a4=,所以
解得所以an=n+2,
所以大夫、不更、簪褭、上造、公士各分得鹿头,头,1头,头,头,所以A错误,B正确;
不更、上造分得的鹿之和为=2(头),所以C正确;
不更、上造分得的鹿之和为2头,大夫、公士分得的鹿之和为=2(头),所以D正确.故选BCD.
3.C 设电梯所停的楼层是n(2≤n≤12,n∈N*),“不满意度”之和为S,则S=1+2+…+(n-2)+2×[1+2+…+(12-n)]=+157,其图象开口向上,对称轴为直线n=,
又∵n∈N*,∴S在n=9时取最小值.故选C.
4.A 设小李每个月应还x元,按复利计算,则有x[1+(1+r)+(1+r)2+…+(1+r)10]=a(1+r)11,
即x=a(1+r)11,解得x=,故选A.
5.ABD 由题意得c1=500,cn+1=1.2cn-60,故B正确;
c2=1.2c1-60=1.2×500-60=540,故A正确;
设cn+1-x=1.2(cn-x),则cn+1=1.2cn-0.2x,则0.2x=60,解得x=300,∴cn+1-300=1.2(cn-300),即数列{cn-300}是首项为c1-300=200,公比为1.2的等比数列,
∴cn-300=200×1.2n-1,则cn=300+200×1.2n-1,
令cn=300+200×1.2n-1>1 000,则1.2n-1>3.5,
∵1.26≈2.986 0,1.27≈3.583 2,
∴n-1≥7,∴n≥8,
故按照计划2029年年初存栏数首次突破1 000,故C错误;
c1+c2+c3+…+c10=300×10+200×=3 000+1 000×(1.210-1)≈3 000
+1 000×(6.191 7-1)≈8 192,故D正确.故选ABD.
6.答案 200
解析 依题意可知,a+a×50%+a×(50%)2+…+a×(50%)10=
=400,解得a≈200.
7.答案
解析 由题意可知,由下至上,各层正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列,由下至上,第n(n∈N+)层正方形的个数构成以1为首项,2为公比的等比数列.现已知共有1 023个正方形,则有1+2+…+
2n-1==1 023,∴n=10,∴最小的正方形的边长为.
8.解析 (1)a1=100(1+20%)-x=120-x,a2=a1(1+20%)-x=1.2(120-x)-x=144-2.2x,
an+1=an(1+20%)-x=1.2an-x,n∈N+.
(2)由(1)知,an+1=1.2an-x,则an+1-5x=1.2(an-5x),
若x=20,则a1-5x=0,所以数列{an-5x}是常数列,所以an-5x=0,即an=100.
若x≠20,则a1-5x≠0,所以数列{an-5x}是以a1-5x=120-6x为首项,1.2为公比的等比数列,
所以an-5x=(120-6x)×1.2n-1,即an=(120-6x)×1.2n-1+5x,当x=20时,上式也成立,
因此an=(120-6x)×1.2n-1+5x,n∈N+.
令a10≥400,得(120-6x)×1.29+5x≥400,
即x≤≈8.4,故x的最大值是8.4.
9.D 设2016年到2025年每年投入资金(单位:万元)分别为a1,a2,a3,a4,b1,b2,…,b6.
易知a1,a2,a3,a4为等差数列,且a1=120,公差d=10,其和为4×120+×10
=540.
易知b1,b2,…,b6为等比数列,且b1=(120+3×10)×1.1=165,公比q=1.1,
其和为=1 650×(1.16-1)≈1 650×(1.77-1)≈1 271.
所以540+1 271=1 811.故选D.
10.答案
解析 由题意得an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1=3n-2+3n-5+…+4+1=.故前n个五边形数中,实心点的总数为(12+22+…+n2)-.
11.解析 (1)由题意,每年的支出费用(单位:万元)构成首项为11,公差为2的等差数列,
故前n年的总支出费用为11n+×2=(n2+10n)万元,
∴f(n)=36n-(n2+10n)-64=-n2+26n-64=-(n-13)2+105,n∈N+.
∴当n=13时, f(n)取得最大值105,
即前13年的纯利润总和最大,且最大值为105万元.
(2)由(1)知,前n年的年平均纯利润为万元,
∵n+≥2=16,当且仅当n=,即n=8时等号成立,∴≤-16+26
=10,
即前8年的年平均纯利润最大,且最大值为10万元.
能力提升练
1.A 由题意知每天织布的尺数构成等差数列,设公差为d,则420=30×5+d,解得d=,∴第2天织布的尺数为5+d=.
2.A 由题中图1~图3可判断,从第二个图开始,每个图中圆点的个数比上一个图多4,即每个图中的圆点数成等差数列,且该数列的首项为4,公差为4,所以第10个图中圆点的个数为4+9×4=40.
3.答案 16;2 124
解析 由题意知,每天派遣的人数构成等差数列,记为{an},其中a1=64,公差d=7,其前n项和为Sn,则Sn=64n+,令Sn=1 864,解得n=16(负值舍去).
又S8=64×8+×7=708,
所以第8天应发大米708×3=2 124(升).
4.B 设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an,
则第(n+1)次“H扩展”后得到的数列的项数为an+1=2an-1,
∴an+1-1=2(an-1),
又∵a1-1=3-1=2,
∴{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴an-1=2n,∴an=2n+1,
∴a10=210+1=1 025.
5.B 由an+1=+2an得an+1+1=+2an+1=(an+1)2,
两边取对数得log2(an+1+1)=2log2(an+1),
设cn=log2(an+1),则cn+1=2cn,故{cn}是公比为2的等比数列.
又c1=log2(7+1)=3,所以cn=3·2n-1,即log2(an+1)=3·2n-1,所以an+1=,所以an=-1.
由放小麦的规则可得小麦的总粒数为1+2+…+263==264-1,所以-1≤264-1,即3·2n-1≤64,得n≤5.故选B.
6.CD 设第n轮被传染的人数为an,易知数列{an}是首项为4,公比为4的等比数列,则an=4·4n-1=4n,所以a3=43=64,故A错误,C正确.
设前n轮被传染的人数为Sn,则Sn=1+·4n+1-,因为S3==85,故B错误.
令Sn≥1 000,得·4n+1-≥1 000,得4n+1≥3 001,即n≥log43 001-1≈4.8,∴n=5.
所以被传染人数累计达到1 000大约需要5×7=35(天),故D正确.故选CD.
7.BC 第一年年底剩余资金a1=2 000×(1+40%)-t=(2 800-t)万元,
第二年年底剩余资金a2=a1×(1+40%)-t=万元,
第三年年底剩余资金a3=a2×(1+40%)-t=万元,……,
所以第(n+1)年年底剩余资金an+1=an×(1+40%)-t=万元,故A错误,B正确.
因为an=-t
=t-t
=
=(2 800-t)-
=(2 800-t)-
=,
所以an+1-an=an-t
=-t
=,
因为t<800,所以2 800->0,
所以an+1-an>0,即an+1>an,故C正确.
当t=400时,a3=5 488-=5 488-=3 744<3 800,故D错误.故选BC.
8.答案 134
解析 以2021年为第1年,设第n年发放的燃油型汽车牌照数为an,发放的电动型汽车牌照数为bn,发放的汽车牌照数为cn,则{an}成等差数列,cn=an+bn,a1=9.5,an=10-0.5n,
所以{an}的前10项和为9.5×10+×(-0.5)=72.5.
b1=2×1.5=3,b2=3×1.5=4.5,b3=4.5×1.5=6.75,
因为c2=a2+b2=9+4.5=13.5<15,c3=a3+b3=8.5+6.75=15.25>15,所以b4=b5=…=b10=6.75,
所以{bn}的前10项和为3+4.5+6.75×8=61.5.
所以从2021年至2030年这十年将累计发放汽车牌照72.5+61.5=134(万张).
9.答案
解析 因为S1=,
所以Sk=πR2=πR2·,所以S4=πR2πR2.
=πR2
=πR2.
10.解析 (1)若采取等额本金的还款方式,则每月的还款额(单位:元)构成等差数列,记为{an},则a1=5 500,a300=2 510,
设{an}的前n项和为Sn,
则S300==1 201 500,
故小张的该笔贷款的总利息为1 201 500-750 000=451 500(元).
(2)若采取等额本息的还款方式,则每月所还钱的现值(单位:元)构成等比数列,设小张每月所还钱数为x元,
则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)299=750 000×(1+0.004)300,
所以x·=750 000×1.004300,
即x=≈4 299,
因为4 299<10 000×=5 000,
所以小张申请该笔贷款能够获批.
(3)示例一:小张采取等额本息还款方式的总利息为4 299×300-750 000=539 700(元),
因为539 700>451 500,
所以从节省利息的角度来考虑,建议小张选择等额本金的还款方式.
示例二:等额本金还款方式的公差d==120,
因为以等额本息的还款方式,每月均需还款4 299元,而等额本金的还款方式在前面的10年内还款金额都比这个金额高,对于小张可能会造成更大的还款压力,因此从前几年还款压力大小的角度来考虑,建议小张选择等额本息的还款方式.
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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
5.4 数列的应用
基础过关练
题组一 等差数列的实际应用
1.小明在超市购买了一个卷筒纸,量得该卷筒纸的内圆直径为4 cm,外圆直径为12 cm,一共卷了60层.若把各层都视为同心圆,取π=3.14,则这个卷筒纸的长度(精确到个位)约为( )
A.17 m B.16 m C.15 m D.14 m
2.(多选题)(2024湖南衡阳第二中学期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿,欲以爵次分之,问各得几何 ”已知问题中五个爵位是由高到低排列的,古代数学中“以爵次分之”一般表示等差分配.若上造得三分鹿之二,即上造分得头鹿,则下列说法正确的有( )
A.大夫分得二鹿
B.不更分得一鹿加三分鹿之一
C.不更、上造分得的鹿之和是簪褭的两倍
D.不更、上造分得的鹿之和与大夫、公士分得的鹿之和相等
3.某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人的“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层( )
A.7 B.8 C.9 D.10
题组二 等比数列的实际应用
4.(2024山东菏泽一中月考)小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买了一台价值a元的家电,在购买1个月后的2月1日第一次还款,且以后每月的1日等额还款一次,一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款),月利率为r.按复利计算,则小李每个月应还( )
A.元 B.元
C.元 D.元
5.(多选题)(2023辽宁朝阳建平实验中学期中)某牧场2022年年初牛的存栏数为500,预计以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,…,cn,…,其中n∈N+,则下列结论正确的是(附:1.25≈2.488 3,1.26≈2.986 0,1.27≈3.583 2,1.210≈6.191 7)( )
A.c2=540
B.cn+1=1.2cn-60
C.按照计划2028年年初存栏数首次突破1 000
D.c1+c2+c3+…+c10≈8 192
6.(2023山东威海期末)若某政府增加环境治理费用a亿元,每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费,经过10轮影响之后,最后的国内消费总额为400亿元,则a≈ (最初政府支出也算是国内消费,结果精确到1).
7.(2023北京交通大学附属中学期中)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的两腰上再连接两个正方形……如此下去将得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形,且其中最大的正方形的边长为,则其中最小的正方形的边长为 .
8.(2023福建福州第一中学期末)某林场去年年底木材蓄积量为100万立方米,若树木以每年20%的增长率生长,计划从今年起,每年年底砍伐x万立方米树木,记an(单位:万立方米)为第n年年底的木材蓄积量.
(1)求a1,a2及数列{an}的递推公式;
(2)为了实现经过10年木材蓄积量翻两番(原来的4倍)的目标,则x的最大值是多少 (精确到0.1)
参考数据:1.29≈5.16,1.210≈6.19.
题组三 数列的综合应用
9.(2024山东泰安新泰第一中学月考)某城镇为改善当地生态环境,2016年投入资金120万元,以后每年投入资金比上一年增加10万元,从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%,到2025年该城镇生态环境建设的投资总额大约为(参考数据:1.16≈1.77,1.17≈1.95)( )
A.1 600万元 B.1 660万元
C.1 700万元 D.1 811万元
10.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图,实心点个数为1,5,12,22,…,被称为五边形数,其中第1个五边形数记作a1=1,第2个五边形数记作a2=5,第3个五边形数记作a3=12,第4个五边形数记作a4=22,……,第n个五边形数记作an.已知an-an-1=3n-2(n≥2),则前n个五边形数中,实心点的总数为 .参考公式:12+22+32+…+n2=
11.某村投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后,第一年需支出各项费用11万元,以后每年支出费用相对前一年增加2万元.从第一年起,每年收入都为36万元.设f(n)(单位:万元)是前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额).
(1)求f(n)的表达式,计算前多少年的纯利润总和最大,并求出最大值;
(2)计算前多少年的年平均纯利润最大,并求出最大值.
能力提升练
题组一 等差数列的应用
1.(2024北京师范大学第二附属中学期中)《九章算术》之后,人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题,如《张丘建算经》卷上第22题为利用等差数列求和公式解决织布问题.若有一女善织布,从第2天起每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺布,一个月(按30天计)共织420尺布,则第2天织布的尺数为( )
A.
2.按照图1~图3的规律,第10个图中圆点的个数为( )
A.40 B.36 C.44 D.52
3.朱世杰是历史上有名的数学家,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日 ”其大意为:官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始,每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天发大米3升,共发出大米40 392升,问修筑堤坝多少天 在这个问题中,堤坝修筑了 天,第8天应发大米 升.
题组二 等比数列的应用
4.(2024吉林长春东北师范大学附属中学期中)在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作称为该数列的一次“H扩展”.已知数列1,2,第一次“H扩展”后得到1,3,2,第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2,那么第十次“H扩展”后得到的数列的项数为( )
A.1 023 B.1 025 C.513 D.511
5.(2024四川成都树德中学月考)有一个国王奖励国际象棋发明者的故事,故事里象棋发明者要求这样的奖励:在棋盘上的64个方格中,第1个方格放1粒小麦,第2个方格放2粒小麦,……,第k个方格放2k-1粒小麦,结果国王拿出全国的小麦也不够.假设能有这么多的小麦,则这个故事继续如下,将这些小麦用1,2,3,…编号,并按照一定规律逐个抽取幸运小麦,设第n次随机抽取的幸运小麦的编号为an,若a1=7,接下来按照规律:an+1=+2an(n∈N*)逐个抽取幸运小麦,则共能抽取的幸运小麦的粒数为( )
A.4 B.5 C.15 D.63
6.(多选题)(2023广东深圳技术大学附属中学月考)在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人为第一轮传染,第一轮被传染的R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染,…….假设某种传染病的基本传染数R0=4,平均感染周期为7天,初始感染者为1人,则(参考数据:log43 001≈5.8)( )
A.第三轮被传染的人数为16
B.前三轮被传染的人数累计为80
C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列
D.被传染人数累计达到1 000大约需要35天
题组三 数列的综合应用
7.(多选题)某集团公司有一下属企业A从事一种高科技产品的生产.A企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了40%,预计以后每年资金增长率与第一年的相同.集团公司要求A企业从第一年开始,每年年底上缴资金t万元(t<800),并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底A企业上缴资金后的剩余资金为an万元,则( )
A.a2=2 800-t
B.an+1=an-t
C.an+1>an
D.当t=400时,a3>3 800
8.(2022浙江丽水期末)已知某地2020年共发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车牌照2万张.为响应国家号召,实现“双碳目标”,从2021年起,每年发放的电动型汽车牌照按前一年的50%增长,燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张,同时规定,若某年发放的汽车牌照超过15万张,以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变.那么从2021年至2030年这十年将累计发放汽车牌照 万张.
9.(2023北京东直门中学期中)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R的圆形纸,对折1次可以得到两个规格相同的图形,将其中之一进行第2次对折后,就会得到三个图形,其中有两个规格相同,取规格相同的两个之一进行第3次对折后,就会得到四个图形,其中依然有两个规格相同,以此类推,每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把第k次对折后得到的不同规格的图形面积和用Sk表示,且S1=,则S4= ;若对折n次,则Sk= .
10.(2024辽宁省实验中学月考)市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式:①等额本金,即在还款期内把贷款数总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息,因此,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息,即银行从每月月供款中,先收剩余本金利息,后收本金,利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低,本金在月供款中的比例因增加而升高,但月供总额保持不变.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2021年7月8日贷款到账,则2021年8月8日首次还款).已知该笔贷款年限为25年,月利率为0.4%.
(1)若小张采取等额本金的还款方式,已知第一个还款月应还5 500元,最后一个还款月应还2 510元,试计算该笔贷款的总利息;
(2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素);
(3)对比两种还款方式,你会建议小张选择哪种还款方式 并说明你的理由.
参考数据:1.004300≈3.31.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C
信息提取 ①各层同心圆的直径(单位:cm)构成等差数列,记为{dn},且 d1=4,d60=12;②各层纸的长度(单位:cm)πd1,πd2,…,πd60也构成等差数列;③求卷筒纸的长度(单位:cm)即求等差数列{πdn}的前60项和.
解析 由题意可知,各层同心圆的直径(单位:cm)构成等差数列,记为{dn},其中d1=4,d60=12,则这个卷筒纸的长度为πd1+πd2+πd3+…+πd60=π(d1+d2+d3+…+d60)=×
60=480×3.14=1 507.2 cm≈15(m).
2.BCD 由题意得大夫、不更、簪褭、上造、公士五人分得鹿的数量构成递减的等差数列,设为{an},其前n项和为Sn,公差为d,
由题意得S5=5,a4=,所以
解得所以an=n+2,
所以大夫、不更、簪褭、上造、公士各分得鹿头,头,1头,头,头,所以A错误,B正确;
不更、上造分得的鹿之和为=2(头),所以C正确;
不更、上造分得的鹿之和为2头,大夫、公士分得的鹿之和为=2(头),所以D正确.故选BCD.
3.C 设电梯所停的楼层是n(2≤n≤12,n∈N*),“不满意度”之和为S,则S=1+2+…+(n-2)+2×[1+2+…+(12-n)]=+157,其图象开口向上,对称轴为直线n=,
又∵n∈N*,∴S在n=9时取最小值.故选C.
4.A 设小李每个月应还x元,按复利计算,则有x[1+(1+r)+(1+r)2+…+(1+r)10]=a(1+r)11,
即x=a(1+r)11,解得x=,故选A.
5.ABD 由题意得c1=500,cn+1=1.2cn-60,故B正确;
c2=1.2c1-60=1.2×500-60=540,故A正确;
设cn+1-x=1.2(cn-x),则cn+1=1.2cn-0.2x,则0.2x=60,解得x=300,∴cn+1-300=1.2(cn-300),即数列{cn-300}是首项为c1-300=200,公比为1.2的等比数列,
∴cn-300=200×1.2n-1,则cn=300+200×1.2n-1,
令cn=300+200×1.2n-1>1 000,则1.2n-1>3.5,
∵1.26≈2.986 0,1.27≈3.583 2,
∴n-1≥7,∴n≥8,
故按照计划2029年年初存栏数首次突破1 000,故C错误;
c1+c2+c3+…+c10=300×10+200×=3 000+1 000×(1.210-1)≈3 000
+1 000×(6.191 7-1)≈8 192,故D正确.故选ABD.
6.答案 200
解析 依题意可知,a+a×50%+a×(50%)2+…+a×(50%)10=
=400,解得a≈200.
7.答案
解析 由题意可知,由下至上,各层正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列,由下至上,第n(n∈N+)层正方形的个数构成以1为首项,2为公比的等比数列.现已知共有1 023个正方形,则有1+2+…+
2n-1==1 023,∴n=10,∴最小的正方形的边长为.
8.解析 (1)a1=100(1+20%)-x=120-x,a2=a1(1+20%)-x=1.2(120-x)-x=144-2.2x,
an+1=an(1+20%)-x=1.2an-x,n∈N+.
(2)由(1)知,an+1=1.2an-x,则an+1-5x=1.2(an-5x),
若x=20,则a1-5x=0,所以数列{an-5x}是常数列,所以an-5x=0,即an=100.
若x≠20,则a1-5x≠0,所以数列{an-5x}是以a1-5x=120-6x为首项,1.2为公比的等比数列,
所以an-5x=(120-6x)×1.2n-1,即an=(120-6x)×1.2n-1+5x,当x=20时,上式也成立,
因此an=(120-6x)×1.2n-1+5x,n∈N+.
令a10≥400,得(120-6x)×1.29+5x≥400,
即x≤≈8.4,故x的最大值是8.4.
9.D 设2016年到2025年每年投入资金(单位:万元)分别为a1,a2,a3,a4,b1,b2,…,b6.
易知a1,a2,a3,a4为等差数列,且a1=120,公差d=10,其和为4×120+×10
=540.
易知b1,b2,…,b6为等比数列,且b1=(120+3×10)×1.1=165,公比q=1.1,
其和为=1 650×(1.16-1)≈1 650×(1.77-1)≈1 271.
所以540+1 271=1 811.故选D.
10.答案
解析 由题意得an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1=3n-2+3n-5+…+4+1=.故前n个五边形数中,实心点的总数为(12+22+…+n2)-.
11.解析 (1)由题意,每年的支出费用(单位:万元)构成首项为11,公差为2的等差数列,
故前n年的总支出费用为11n+×2=(n2+10n)万元,
∴f(n)=36n-(n2+10n)-64=-n2+26n-64=-(n-13)2+105,n∈N+.
∴当n=13时, f(n)取得最大值105,
即前13年的纯利润总和最大,且最大值为105万元.
(2)由(1)知,前n年的年平均纯利润为万元,
∵n+≥2=16,当且仅当n=,即n=8时等号成立,∴≤-16+26
=10,
即前8年的年平均纯利润最大,且最大值为10万元.
能力提升练
1.A 由题意知每天织布的尺数构成等差数列,设公差为d,则420=30×5+d,解得d=,∴第2天织布的尺数为5+d=.
2.A 由题中图1~图3可判断,从第二个图开始,每个图中圆点的个数比上一个图多4,即每个图中的圆点数成等差数列,且该数列的首项为4,公差为4,所以第10个图中圆点的个数为4+9×4=40.
3.答案 16;2 124
解析 由题意知,每天派遣的人数构成等差数列,记为{an},其中a1=64,公差d=7,其前n项和为Sn,则Sn=64n+,令Sn=1 864,解得n=16(负值舍去).
又S8=64×8+×7=708,
所以第8天应发大米708×3=2 124(升).
4.B 设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为an,
则第(n+1)次“H扩展”后得到的数列的项数为an+1=2an-1,
∴an+1-1=2(an-1),
又∵a1-1=3-1=2,
∴{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴an-1=2n,∴an=2n+1,
∴a10=210+1=1 025.
5.B 由an+1=+2an得an+1+1=+2an+1=(an+1)2,
两边取对数得log2(an+1+1)=2log2(an+1),
设cn=log2(an+1),则cn+1=2cn,故{cn}是公比为2的等比数列.
又c1=log2(7+1)=3,所以cn=3·2n-1,即log2(an+1)=3·2n-1,所以an+1=,所以an=-1.
由放小麦的规则可得小麦的总粒数为1+2+…+263==264-1,所以-1≤264-1,即3·2n-1≤64,得n≤5.故选B.
6.CD 设第n轮被传染的人数为an,易知数列{an}是首项为4,公比为4的等比数列,则an=4·4n-1=4n,所以a3=43=64,故A错误,C正确.
设前n轮被传染的人数为Sn,则Sn=1+·4n+1-,因为S3==85,故B错误.
令Sn≥1 000,得·4n+1-≥1 000,得4n+1≥3 001,即n≥log43 001-1≈4.8,∴n=5.
所以被传染人数累计达到1 000大约需要5×7=35(天),故D正确.故选CD.
7.BC 第一年年底剩余资金a1=2 000×(1+40%)-t=(2 800-t)万元,
第二年年底剩余资金a2=a1×(1+40%)-t=万元,
第三年年底剩余资金a3=a2×(1+40%)-t=万元,……,
所以第(n+1)年年底剩余资金an+1=an×(1+40%)-t=万元,故A错误,B正确.
因为an=-t
=t-t
=
=(2 800-t)-
=(2 800-t)-
=,
所以an+1-an=an-t
=-t
=,
因为t<800,所以2 800->0,
所以an+1-an>0,即an+1>an,故C正确.
当t=400时,a3=5 488-=5 488-=3 744<3 800,故D错误.故选BC.
8.答案 134
解析 以2021年为第1年,设第n年发放的燃油型汽车牌照数为an,发放的电动型汽车牌照数为bn,发放的汽车牌照数为cn,则{an}成等差数列,cn=an+bn,a1=9.5,an=10-0.5n,
所以{an}的前10项和为9.5×10+×(-0.5)=72.5.
b1=2×1.5=3,b2=3×1.5=4.5,b3=4.5×1.5=6.75,
因为c2=a2+b2=9+4.5=13.5<15,c3=a3+b3=8.5+6.75=15.25>15,所以b4=b5=…=b10=6.75,
所以{bn}的前10项和为3+4.5+6.75×8=61.5.
所以从2021年至2030年这十年将累计发放汽车牌照72.5+61.5=134(万张).
9.答案
解析 因为S1=,
所以Sk=πR2=πR2·,所以S4=πR2πR2.
=πR2
=πR2.
10.解析 (1)若采取等额本金的还款方式,则每月的还款额(单位:元)构成等差数列,记为{an},则a1=5 500,a300=2 510,
设{an}的前n项和为Sn,
则S300==1 201 500,
故小张的该笔贷款的总利息为1 201 500-750 000=451 500(元).
(2)若采取等额本息的还款方式,则每月所还钱的现值(单位:元)构成等比数列,设小张每月所还钱数为x元,
则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)299=750 000×(1+0.004)300,
所以x·=750 000×1.004300,
即x=≈4 299,
因为4 299<10 000×=5 000,
所以小张申请该笔贷款能够获批.
(3)示例一:小张采取等额本息还款方式的总利息为4 299×300-750 000=539 700(元),
因为539 700>451 500,
所以从节省利息的角度来考虑,建议小张选择等额本金的还款方式.
示例二:等额本金还款方式的公差d==120,
因为以等额本息的还款方式,每月均需还款4 299元,而等额本金的还款方式在前面的10年内还款金额都比这个金额高,对于小张可能会造成更大的还款压力,因此从前几年还款压力大小的角度来考虑,建议小张选择等额本息的还款方式.
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