2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--6.1.1　函数的平均变化率

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
第六章　导数及其应用
6.1　导数
6.1.1　函数的平均变化率
基础过关练
题组一　平均变化率
1.(2024广东江门第一中学月考)已知函数f(x)=2x2-x+1,则f(x)从1到1+Δx的平均变化率为(　　)
A.2Δx+3 B.4Δx+3 C.2(Δx)2+3Δx　　　　D.2(Δx)2-Δx+1
2.(2023河南郑州期中)函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率分别记为m1,m2,m3,则下面结论正确的是(　　)
A.m1=m2=m3　　　　B.m1>m2>m3
C.m2>m1>m3　　　　D.m13.若函数 f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系是(　　)
A.k1>k2　　　　B.k14.(2024湖北鄂东南省级示范校期中联考)函数f(x)=log5(x2+1)在区间[1,7]上的平均变化率为　　　　.
5.(2024河北唐山开滦第二中学月考)函数f(x)=x4在区间[a,2a]上的平均变化率为15,则实数a的值为　　　　.
6.若函数y=f(x)=-x2+x在[2,2+Δx]上的平均变化率不大于-1,求Δx的取值范围.
题组二　平均变化率的几何意义
7.(教材习题改编)某物体运动的位移s与时间t的函数关系为s(t)=t2+1,则这个物体在时间段[1,2]内的平均速度为(　　)
A.2　　　　B.
8.(2023山东聊城高唐第一中学月考)函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数在下列几个区间内的平均变化率最大的一个是(　　)
A.[x1,x2]　　　　B.[x2,x3]　　　　C.[x1,x3]　　　　D.[x3,x4]
9.(2024北京清华附中期中)若函数f(x)=ln(x+1),则f(1),的大小关系为(　　)
A.f(1)<
C.
题组三　平均变化率的实际应用
10.某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y=f(x),假设>0(x1>x0≥0)恒成立,且=1,则说明后10天与前10天比(　　)
A.公司亏损且亏损幅度变大
B.公司的盈利增加,增加的幅度变大
C.公司亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利增加,增加的幅度变小
11.“天问一号”于2021年2月到达火星附近,实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨,在距离火星表面100 m时,“天问一号”进入悬停阶段,完成精确避障和缓速下降后,着陆巡视器在缓冲机构的保护下,抵达火星表面,巡视器在9 min内将速度从约20 000 km/h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v,着陆过程中速度的平均变化率为a,则(　　)
A.v≈0.185 m/s,a≈10.288 m/s2
B.v≈-0.185 m/s,a≈10.288 m/s2
C.v≈0.185 m/s,a≈-10.288 m/s2
D.v≈-0.185 m/s,a≈-10.288 m/s2
12.一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h(t)=2t2+2t.
(1)求前3 s内球的垂直方向的平均速度;
(2)求在t∈[2,3]这段时间内,球的垂直方向的平均速度.
13.已知某化学物质在溶液中反应时的浓度c(t)随时间t的变化而变化(温度不变),部分数据如下表所示.
t 0 2 4 6
c(t) 0.080 0 0.057 0 0.040 8 0.029 5
试根据上表求c(t)在下列时间段内的平均反应速率:
(1)2≤t≤6;(2)2≤t≤4;(3)0≤t≤2.
14.已知蜥蜴的体温T ℃是阳光的照射时间t min的函数,且当t=1时,T=35;当t=1.2时,T=34.
(1)从t=1到t=1.2,求蜥蜴的体温的平均变化率,并说明其实际意义;
(2)估计t=1.1时蜥蜴的体温.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　由f(x)=2x2-x+1可得f(1)=2, f(1+Δx)=2(1+Δx)2-(1+Δx)+1=2(Δx)2+3Δx+2.
所以f(x)从1到1+Δx的平均变化率为=
2Δx+3.故选A.
2.A　m1==1-0=1,
m2==12-0=1,
m3==13-0=1,
故m1=m2=m3,故选A.
3.A　由题意结合函数的解析式可得,
k1==2x0+Δx,
k2==2x0-Δx,
则k1-k2=2Δx,容易判断Δx大于零,所以k1>k2.
4.答案　
解析　f(x)在区间[1,7]上的平均变化率为.
5.答案　1
解析　由题意可知2a>a,即a>0,
由 =15a3=15,解得a=1.
6.解析　因为函数y=f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为==-3-Δx,
所以由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.
又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).
7.B　物体在时间段[1,2]内的平均速度为.故选B.
8.D　由题图得f(x)在[x1,x2]上的平均变化率P1=>0,在[x2,x3]上的平均变化率P2=<0,在[x1,x3]上的平均变化率P3=<0,在[x3,x4]上的平均变化率P4=>0,结合函数y=f(x)的图象,可得P29.C　作出函数f(x)=ln(x+1)的图象,如图所示.
由图可知曲线上各点与坐标原点所连直线的斜率随着x的增大而减小.
由1<2<3,得,即f(1)>,故选C.
10.D　 由>0(x1>x0≥0)恒成立,可知y=f(x)单调递增,即盈利增加,
又因为 =1,
所以后10天与前10天比公司的盈利增加,增加的幅度变小,故选D.
11.D　因为巡视器与火星表面的距离逐渐减小,
所以v=≈-0.185(m/s).
因为巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小,
所以a=≈-10.288(m/s2).故选D.
12.解析　(1)由题意知,Δt=3 s,Δh=h(3)-h(0)=24(m),即前3 s内球的垂直方向的平均速度为=8(m/s).
(2)由题意知,Δt=3-2=1(s),Δh=h(3)-h(2)=12(m),即在t∈[2,3]这段时间内,球的垂直方向的平均速度为=12(m/s).
13.解析　(1)由题意得v==0.006 875,
即在2≤t≤6时间段内的平均反应速率为0.006 875.
(2)由题意得v==0.008 1,
即在2≤t≤4时间段内的平均反应速率为0.008 1.
(3)由题意得v==0.011 5,
即在0≤t≤2时间段内的平均反应速率为0.011 5.
14.解析　(1)由题意得蜥蜴体温的平均变化率为=-5(℃/min).
它表示从t=1到t=1.2这段时间内,蜥蜴的体温平均每分钟下降5 ℃.
(2)将T在[1,1.2]上的图象看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为-5,且直线通过点(1,35),所以T与t的关系可近似地表示为T-35=-5(t-1).
令t=1.1,由上式可得T=34.5,
故估计t=1.1时蜥蜴的体温为34.5 ℃.
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