2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--6.1.2　导数及其几何意义

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教B版高中数学选择性必修第三册
6.1.2　导数及其几何意义
基础过关练
题组一　瞬时变化率与瞬时速度
1.一质点在时间段[1,1+Δt]内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.-3　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.-6
2.(2024北京顺义月考)一质点做直线运动,若它所经过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=4t2-2,则t=2 s时的瞬时速度为(　　)
A.16 m/s　　　　B.14 m/s　　　　C.13 m/s　　　　D.12 m/s
3.(2024北京海淀期末)若函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m=(　　)
A.
4.(多选题)(2023山东枣庄第三中学质量检测)为满足人们对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示,则下列结论中正确的有(　　)
A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强
B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强
C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标
D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]时的污水治理能力最强
5.若某物体的运动方程是s=则该物体在t=1时的瞬时速度为　　　　;在t=4时的瞬时速度为　　　　.
6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x,y=0,x=t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t),则S(t)在t=2时的瞬时变化率是　　　　.
题组二　导数
7.已知函数y=f(x)在x=x0处可导,则的结果(　　)
A.与x0,h均无关
B.仅与x0有关,而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关
D.与x0,h均有关
8.(2023河南郑州第二高级中学月考)设f(x)在x=x0处可导,则=(　　)
A.2f'(x0)　　　B.2f'(-x0) C.-f'(x0)　　　D.f'(x0)
9.设函数f(x)=x2+ax,且=1,则a=(　　)
A.-　　　　C.1　　　　D.-1
10.(2023山东名校联盟质量检测)若=-2,则
f'(-2)=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2
11.(2024上海建平中学月考)设函数f(x)的导函数为f '(x),若f '(x0)=a,则=　　　　.
12.求函数y=在x=0处的导数.
题组三　导数的几何意义及其应用
13.如果曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么(　　)
A.f'(x0)>0　　　　B.f'(x0)<0
C.f'(x0)=0　　　　D.f'(x0)不存在
14.(2024福建泉州安溪蓝溪中学月考)已知曲线f(x)在x=2处的切线方程为2x+y-1=0,则f '(2)+f(2)=(　　)
A.-5　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.5
15.(2024广东东莞中学月考)已知函数y=f(x)的图象如图所示, f '(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是(　　)
A.0B.0C.0D.016.(2024安徽宿州泗县第一中学月考)设y=f(x)存在导数,且满足=1,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的倾斜角为　(　　)
A.30°　　　　B.135°　　　　C.45°　　　　D.120°
17.(2024江苏连云港海州高级中学阶段测试)曲线f(x)=x3+1在点(-1, f(-1))处的切线方程为(　　)
A.y=-3x-1　　　　B.y=3x+1
C.y=3x+3　　　　D.y=-3x-3
18.(2024江苏盐城大丰新丰中学月考)曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)　　　　B.(-1,1)
C.(-∞,1)　　　　D.(1,+∞)
19.已知曲线f(x)=x-,则它在与x轴交点处的切线方程为　　　　　.
20.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2,则直线l2的方程为　　　　　　.
21.已知直线l:y=4x+a和曲线f(x)=x3-2x2+3相切,求切点坐标及a的值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D　由平均速度和瞬时速度的关系可知,质点在t=1时的瞬时速度为 (-3Δt-6)=-6.
2.A　由s(t)=4t2-2,得=4Δt+16,
所以(4Δt+16)=16,
所以t=2 s时的瞬时速度为16 m/s.
故选A.
3.B　函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率为=2, f(x)=x2在x=m时的瞬时变化率为(Δx+2m)=2m,所以2=2m,解得m=1.故选B.
4.ABC　由题图知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业,而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同,
故在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故A正确;
由题图知在t2时刻,甲企业的污水排放量与时间的图象比乙企业的污水排放量与时间的图象陡,瞬时变化率大,所以甲企业的污水治理能力比乙企业强,故B正确;
在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量,所以甲、乙两企业的污水排放都已达标,故C正确;
在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[0,t1]时的污水治理能力明显低于它在[t1,t2]时的污水治理能力,故D错误.
故选ABC.
5.答案　6;6
解析　当t=1时,Δs=3(1+Δt)2+2-3×12-2=3(Δt)2+6Δt,∴
=6,
即物体在t=1时的瞬时速度为6.
当t=4时,Δs=29+3(4+Δt-3)2-29-3×(4-3)2=3(Δt)2+6Δt,∴
=6,
即物体在t=4时的瞬时速度为6.
6.答案　2
解析　将x=t代入y=x,可得B(t,t),
∴AB=t,
∴S(t)=·OA·AB=t·t2,
∴S'(2)=
=.
7.B　=f'(x0),故结果仅与x0有关,而与h无关.
8.C　因为f(x)在x=x0处可导,
所以=-f'(x0).
9.D　∵f(x)=x2+ax,∴f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+a(1+Δx)]-(1+a)=(Δx)2+(a+2)Δx,
∴[Δx+(a+2)]=a+2=1,解得a=-1.
10.B　
=
=
=2f'(-2)=-2,所以f'(-2)=-1.故选B.
11.答案　2a
解析　因为f '(x0)=a,所以=
2f '(x0)=2a.
12.解析　Δy=
=,
∴,
∴函数y=在x=0处的导数为=0.
13.B　∵切线x+2y-3=0的斜率为-,
∴f'(x0)=-<0.
14.A　因为曲线f(x)在x=2处的切线方程为2x+y-1=0,
所以f '(2)=-2,且2×2+f(2)-1=0,所以f(2)=-3,
所以f '(2)+f(2)=-2-3=-5.故选A.
15.B　f '(1)表示曲线f(x)在x=1处切线的斜率, f '(3)表示曲线f(x)在x=3处切线的斜率,
表示割线AB的斜率,
由题图可知0故选B.
16.B　设曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的倾斜角为θ,由=1,可得f'(1)=-1,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为-1,则tan θ=-1,又0°<θ<180°,所以θ=135°,故选B.
17.C　由题可得f(-1)=-1+1=0, f'(-1)=[(Δx)2+3-3Δx]=3,
所以曲线f(x)=x3+1在点(-1, f(-1))处的切线方程为y=3(x+1),即y=3x+3.故选C.
18.C　设P(x0,y0),则曲线y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率k=y'
=<1,即k<1.
故选C.
19.答案　2x-y-2=0或2x-y+2=0
解析　曲线f(x)=x-与x轴的交点坐标为(1,0),(-1,0),
易知函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)==1+,
∴f'(1)=2, f'(-1)=2,
∴所求切线方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),即2x-y-2=0或2x-y+2=0.
20.答案　3x+9y+22=0
解析　因为y'
==2x0+1,
所以y'x=1=3,
所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.
设直线l2为曲线y=x2+x-2在点P(x1,+x1-2)处的切线,则直线l2的方程为y-(+x1-2)=(2x1+1)(x-x1).
因为l1⊥l2,所以3(2x1+1)=-1,解得x1=-,
所以直线l2的方程为3x+9y+22=0.
21.解析　设直线l与曲线f(x)相切于点P(x0,y0),
则f'(x0)=
=3-4x0.
由导数的几何意义及题意,得斜率k=f'(x0)=3-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,
∴切点坐标为或(2,3).
当切点坐标为时,+a,∴a=;
当切点坐标为(2,3)时,3=4×2+a,∴a=-5.
∴当切点坐标为时,a=;当切点坐标为(2,3)时,a=-5.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)