2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--6.1.3　基本初等函数的导数

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
6.1.3　基本初等函数的导数
基础过关练
题组一　利用导数公式求函数的导数
1.(2024河北邯郸大名第一中学月考)下列结论正确的是(　　)
A.若y=ln 2,则y'=
B.若f(x)=,则f '(3)=-
C.若y=2x,则y'=x·2x-1
D.若y=log2x,则y'=,x>0
2.已知函数f(x)=sin x,则f'(0)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.
3.已知f(x)=ln x,则f'(e)的值为(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.e　　　　D.
4.已知函数f(x)=xa(a≠0),若f'(-1)=-4,则a的值为(　　)
A.4　　　　B.-4　　　　C.5　　　　D.-5
5.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f'(x)-g'(x)=1,则x=　　　　.
6.求下列函数的导数:
(1)y=cos ;
(4)y=lg x;(5)y=cos.
题组二　导数公式的简单应用
7.已知函数f(x)=cos x,则曲线y=f(x)在点处的切线的斜率为(　　)
A.0　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.
8.(2024北京八一学校开学考试)已知直线l经过点(0,b),且与直线y=2x平行,若l与曲线y=x2相切,则b=(　　)
A.-　　　　B.-1
C.1　　　　D.
9.已知函数f(x)=x3,且曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线ax-y+1=0垂直,则a的值为　　　　.
10.曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是　　　　,切线方程为　　　　　.
11.过原点作曲线y=ex的切线,则切点坐标为　　　　,切线的斜率为　　　　.
12.设某质点运动的位移s与时间t之间的关系是s(t)=sin t.求:
(1)该质点在t=时的速度的大小;
(2)该质点运动的加速度与时间的关系.
能力提升练
题组　导数公式及其应用
1.(2024重庆松树桥中学月考)已知函数f(x)及其导数f '(x),若存在x0使得f(x0)=f '(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.则下列函数中没有“巧值点”的是(　　)
A.f(x)=x2　　　　B.f(x)=e-x C.f(x)=ln x　　　　D.f(x)=cos x
2.(多选题)若直线l为曲线C1:y=x2与曲线C2:y=x3的公切线,则直线l的斜率为(　　)
A.0　　　　B.2　　　　C.
3.(2024河北张家口张北第一中学月考)若点P是曲线y=ln x上任意一点,则点P到直线y=x+3的距离的最小值为(　　)
A.1　　　　B.
4.(2024浙江舟山中学月考)设f(x)=sin x, f1(x)=f '(x), f2(x)=f1'(x),……, fn+1'(x)=fn'(x),若an=fn,则数列{an}的前100项和是(　　)
A.　　　　D.0
5.(2024山东东明第一中学月考)法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出一个定理:如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是连续不断的,且在开区间(a,b)上可导,那么在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)-f(a)=f '(t)(b-a),其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)=ex在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”t=　　　　.
6.(2023上海杨浦复旦附中联考)已知函数f(x)=x3,过点P作曲线y=f(x)的切线,则切线方程为　　　　　　.
7.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　.
8.求证:曲线xy=a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数.
9.已知直线l:2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,O是坐标原点,试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在位于直线AB下方的一段抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　对于A,由y=ln 2得y'=0,故A错误;
对于B, f '(x)=-,故f '(3)=-,故B正确;
对于C,y'=2xln 2,故C错误;
对于D,y'=,x>0,故D错误.故选B.
2.B　∵f(x)=sin x,∴f'(x)=cos x,
∴f'(0)=cos 0=1.
3.D　∵f(x)=ln x,∴f'(x)=.
4.A　∵f(x)=xa,∴f'(x)=axa-1,
∴f'(-1)=a(-1)a-1=-4,∴a=4.
5.答案　1
解析　∵f(x)=x2,g(x)=ln x,
∴f'(x)=2x,g'(x)=,
又f'(x)-g'(x)=1,∴2x-=1,
解得x=1或x=-.∵x>0,∴x=1.
6.解析　(1)∵y=cos ,∴y'=0.
(2)∵y==x-5,∴y'=-5x-6.
(3)∵y=(x>0).
(4)∵y=lg x,∴y'=.
(5)∵y=cos=sin x,∴y'=cos x.
7.B　因为f(x)=cos x,所以f'(x)=-sin x,
所以f'=-1,
所以曲线y=f(x)在点处的切线的斜率为-1.
8.B　设切点为(m,m2),对y=x2求导,得y'=2x,因为l与曲线y=x2相切,且与直线y=2x平行,所以l的斜率k=2m=2,解得m=1,可得切点为(1,1),又l过点(0,b),所以2=,解得b=-1.故选B.
方法总结　利用导数解决切线问题时,要知道切点既在直(切)线上,又在曲线上,把切点的横坐标代入所求的导数中,得切线的斜率.
简记:在直在曲,代横得k.
9.答案　-
解析　由函数f(x)=x3的导数为f'(x)=3x2,可得曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为3,由切线与直线ax-y+1=0垂直,可得a=-.
10.答案　;x-ey=0
解析　由题意得y'=,所以曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为,所以所求切线的方程为y-1=(x-e),即x-ey=0.
11.答案　(1,e);e
解析　设切点坐标为(x0,),易知y'=ex,所以切线的斜率为,则,所以x0=1,
所以切点坐标为(1,e),切线的斜率为e.
12.解析　(1)设质点运动的速度为v(t),
则v(t)=s'(t)=cos t,
∴v=cos ,即质点在t=.
(2)设质点运动的加速度为a(t).
∵v(t)=cos t,
∴a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.
能力提升练
1.B　对于A, f(x0)=, f '(x0)=2x0,若=2x0,则x0=0或x0=2,故A不满足题意;
对于B, f(x0)=, f '(x0)=-,令,无解,故B满足题意;
对于C, f(x0)=ln x0, f '(x0)=,显然y=ln x与y=的图象有交点,所以存在x0使得f(x0)=f '(x0),故C不满足题意;
对于D, f(x0)=cos x0, f '(x0)=-sin x0,若cos x0=-sin x0,则x0=kπ-,k∈Z,故D不满足题意.
故选B.
2.AD　由y=x2,得y'=2x,由y=x3,得y'=3x2,
设直线l与曲线C1的切点坐标为(a,a2),则直线l的方程为y=2ax-a2,
设直线l与曲线C2的切点坐标为(m,m3),则直线l的方程为y=3m2x-2m3,
∴∴m=0或m=,∴直线l的斜率为0或.故选AD.
3.D　易知当曲线y=ln x在点P处的切线与直线y=x+3平行时,点P到直线y=x+3的距离最小,设P(x0,ln x0).
由y=ln x得y'=,故y'=1,得x0=1,所以P(1,0),所以点P(1,0)到直线y=x+3的距离d=.故选D.
D　由f(x)=sin x,得f1(x)=f '(x)=cos x, f2(x)=f1'(x)=-sin x, f3(x)=f2'(x)=
-cos x, f4(x)=f3'(x)=sin x,……,
所以fn(x)是以4为周期的周期函数,
又f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,
所以{an}的前100项和是a1+a2+a3+…+a100=f1+…+f100=0.故选D.
5.答案　ln(e-1)
解析　由f(b)-f(a)=f '(t)(b-a),得f '(t)=,
由g(x)=ex,得g'(x)=ex,
所以et==e-1,解得t=ln(e-1).
6.答案　y=0或3x-y-2=0
解析　设切点为(x0,),因为f(x)=x3,所以f'(x)=3x2,
所以切线的斜率为3,所以切线方程为y-(x-x0),
因为切线过点P,所以-,所以x0=0或x0=1,
所以切线方程为y=0或3x-y-2=0.
7.答案　(1,1)
解析　y=ex的导数为y'=ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.
y=(x>0)的导数为y'=-(x>0),
设点P的坐标为(m,n)(m>0),则曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-.
因为两切线垂直,所以k1k2=-1,
所以m=1(负值舍去),所以n=1,
所以点P的坐标为(1,1).
8.证明　设P(x0,y0)为曲线xy=a2上任意一点.
∵xy=a2(a≠0),∴y=,
∴y'=,
∴过点P的切线方程为y-y0=-(x-x0).
令x=0,得y=;令y=0,得x=2x0.
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=·|2x0|=2a2.
∴曲线xy=a2(a≠0)上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数2a2.
9.解析　设切点为(x0,y0),由y=x2得y'=2x,
∴与直线l平行的切线的斜率k=2x0=2,
解得x0=1,∴y0=1,即切点坐标为(1,1),
∴切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
∵直线l:2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,
∴|AB|为定值,要使△ABP的面积最大,只需点P到直线AB的距离最大.故点P(1,1)即为所求点.
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