2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--6.2.1　导数与函数的单调性

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
6.2　利用导数研究函数的性质
6.2.1　导数与函数的单调性
基础过关练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.若函数f(x)(x∈R)的图象如图所示,则其导函数 f'(x)的图象可能为(　　)
2.(2024广东湛江第七中学月考)设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是(　　)
A B C D
3.(2024江苏南京六校联合体期中)函数f(x)=的图象大致为(　　)
题组二　利用导数确定函数的单调性与单调区间
4.(2024山东聊城第一实验学校阶段性测试)函数f(x)=xln x+1的单调递减区间是(　　)
A. B.(0,e) C. D.(e,+∞)
5.(多选题)(2024福建漳州段考)下列函数在定义域上是增函数的有(　　)
A.f(x)=2x4　 　B.f(x)=xex C.f(x)=x-cos x　　D.f(x)=ex-e-x-2x
6.(多选题)(2024安徽安庆期中)对于函数f(x)=,下列说法正确的有(　　)
A.f'(2)=-
B.曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=x
C.f(x)在(1,+∞)上单调递减
D.f(3)7.设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数.
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的单调区间.
题组三　利用导数解决不等式问题
8.(2023山东学情联考)设a=,则(　　)
A.bC.c9.已知函数f(x)的定义域为,其导函数是 f'(x),且f'(x)cos x+
f(x)sin x<0,则关于x的不等式cos x的解集为(　　)
A.
C.
10.(2023湖南名校联盟质量检测)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)+f'(x)>0在R上恒成立,则不等式e2xf(2x+1)>e2-xf(3-x)的解集是　　　　.
题组四　利用导数解决含参函数的单调性问题
11.(2023山东枣庄质量检测)已知函数f(x)=ln x-ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)　　　　B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞)　　　　D.(1,+∞)
12.若函数f(x)=ex(sin x+acos x)在上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1]　　　　B.(-∞,1)
C.[1,+∞)　　　　D.(1,+∞)
13.(2023山东济宁一模)若函数f(x)=loga(ax-x3)(a>0且a≠1)在区间(0,1)内单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.[3,+∞)　　　　B.(1,3]
C.
14.(2024山东淄博实验中学月考)已知函数f(x)=ax+,讨论f(x)的单调性.
15.已知函数f(x)=x2(2ln x-1)-ax(ln x-2)-x2,讨论f(x)的单调性.
能力提升练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(　　)
A B C D
2.(2024陕西咸阳期中)某三次函数及其导函数在同一坐标系中的图象可能是(　　)
3.(2023山东安丘一模)若函数f(x)=则函数y=f(1-x)的图象大致是(　　)
A B C D
4.(2024河北部分重点高中模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可以为(　　)
A.f(x)=　　　　B.f(x)=
C.f(x)=　　　　D.f(x)=
题组二　利用导数解决函数的单调性问题
5.(多选题)(2024江苏南通如皋期中)若函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值可以是(　　)
A.-3　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.3
6.(多选题)(2024安徽蒙城第二中学月考)若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的取值范围可以是(　　)
A.m≥4　　　 　B.m≤2
C.17.(2024山东德州期中)函数f(x)=ax2-2ax+ln x在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是(　　)
A.a∈　　　　B.a∈
C.a∈　　　　D.a∈
8.(多选题)已知函数 f(x)=exx3,则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在R上单调递增
B.f(log52)C.方程f(x)=-1有实数解
D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数解
9.(2023山东菏泽期末)已知函数g(x)=-x3+x2-ax在(0,+∞)上单调递减,设实数a的取值集合为M.
(1)求M;
(2)若函数y=lg在区间M上单调递增,求实数m的取值范围.
10.已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2,a≠0,讨论f(x)的单调性.
题组三　利用导数解决不等式问题
11.(2023辽宁沈阳月考)若对任意的x1,x2∈(m,+∞),当x1A.e　　　　B.
12.(多选题)(2022河北邢台月考)定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且xf'(x)<5f(x)恒成立,则(　　)
A.f(2)>32f(1)　　　　B.f(2)<32f(1)
C.f(4)>32f(2)　　　　D.f(4)<32f(2)
13.(2024山东菏泽第一中学月考)已知实数a,b分别满足ln(a+1)=0.01,eb=1.01,且c=,则(　　)
A.a14.已知定义在R上的函数f(x), f'(x)是其导函数,且满足 f(x)+f'(x)>2, f(1)=2+,则不等式exf(x)>4+2ex的解集为　　　　.
15.设定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),求不等式ex-1f(x)答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　由函数f(x)(x∈R)的图象可知, f(x)的单调递增区间为(1,4),单调递减区间为(-∞,1)和(4,+∞),因此当x∈(1,4)时, f'(x)>0,当x∈(-∞,1)和x∈(4,+∞)时, f'(x)<0,结合选项知导函数f '(x)的图象可能是C中图象,故选C.
2.C　由y=f'(x)的图象可知,当x<0和x>2时, f'(x)>0,函数f(x)是增函数,当03.B　∵函数f(x)=的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, f(-x)==
-f(x),
∴f(x)为奇函数,排除A;
f(1)=e-e-1>0,排除D;
f'(x)==,当x>2时, f'(x)>0,
∴当x>2时, f(x)单调递增,排除C.
故选B.
4.A　f'(x)=1+ln x,令f'(x)=0,得x=.
当x∈时, f'(x)<0,当x∈时, f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.故选A.
5.CD　对于A,函数f(x)=2x4的定义域为R, f'(x)=8x3,当x<0时, f'(x)<0,当x>0时, f'(x)>0,所以f(x)在定义域R上不是增函数;
对于B,函数f(x)=xex的定义域为R, f'(x)=(x+1)·ex,当x<-1时, f'(x)<0,当x>-1时, f'(x)>0,所以f(x)在定义域R上不是增函数;
对于C,函数f(x)=x-cos x的定义域为R, f'(x)=1+sin x≥0,所以f(x)在定义域R上是增函数;
对于D,函数f(x)=ex-e-x-2x的定义域为R, f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以 f(x)在定义域R上是增函数.
故选CD.
6.BC　函数f(x)=的定义域为R, f'(x)=,
f'(2)=-,故A错误;
因为f(0)=0, f'(0)==1,所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=x,故B正确;
令f'(x)<0,解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减,故C正确;
由f(x)在(1,+∞)上单调递减,可得f(3)>f(4),故D错误.
故选BC.
7.解析　 (1)∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f'(x)=3x2+2bx+c,
∴g(x)=f(x)-f'(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c,
∵g(x)是R上的奇函数,
∴b-3=0,且g(0)=0,∴b=3,c=0.
(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g'(x)=3x2-6.
令g'(x)>0,得x<-或x>;
令g'(x)<0,得-.
故函数g(x)的单调递增区间是(-∞,-]和[,+∞),单调递减区间是
[-].
8.D　设f(x)=,则f'(x)=,
令f'(x)=0,得x=e.
当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.又a==f(3),所以f(e)>f(3)>f(4),即b9.B　令F(x)=,则F'(x)=,
因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0,所以F'(x)<0.
所以函数F(x)=上单调递减.
由于cos x>0,所以关于x的不等式cos x可化为 ,
即F(x),
又因为-,所以,
所以不等式cos x的解集为.故选B.
10.答案　
解析　令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,所以g(x)在R上单调递增,
由e2xf(2x+1)>e2-xf(3-x),得e2x+1f(2x+1)>e3-xf(3-x),即g(2x+1)>g(3-x),
所以2x+1>3-x,解得x>.
11.B　易知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-ax-2,
由题意得f'(x)<0在(0,+∞)上有解,
即又y=-1≥-1,所以a>-1,故选B.
A　∵f(x)=ex(sin x+acos x)在上单调递增,
∴f'(x)=ex[(1-a)sin x+(1+a)cos x]≥0在上恒成立,
∵ex>0,∴(1-a)sin x+(1+a)cos x≥0,
∴a(sin x-cos x)≤sin x+cos x,
又当x∈时,sin x-cos x>0,
∴a≤.
设g(x)=,x∈,
则g'(x)=,
∴g'(x)<0,∴g(x)在上单调递减,
∴g(x)>g=1,∴a≤1.
13.A　令μ=g(x)=ax-x3,则g'(x)=a-3x2,
当x>或x<-时,g'(x)<0,当-时,g'(x)>0,
所以g(x)在上单调递减,在上单调递增.
当a>1时,y=loga μ为增函数,且函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,
所以≥1,解得a≥3.
当0所以≤0或-≥1,无解.
综上所述,a的取值范围是[3,+∞).故选A.
规律方法　利用函数的单调性求参数的范围,可按照以下原则进行:
(1)函数f(x)在区间D上单调递增 f'(x)≥0且f'(x)不恒等于0在区间D上恒成立;
(2)函数f(x)在区间D上单调递减 f'(x)≤0且f'(x)不恒等于0在区间D上恒成立;
(3)函数f(x)在区间D上存在单调递增区间 x∈D,使得f'(x)>0成立;
(4)函数f(x)在区间D上存在单调递减区间 x∈D,使得f'(x)<0成立.
14.解析　函数f(x)=ax+的定义域为R,且f '(x)=a-,
当a≤0时,f '(x)<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减;
当a>0时,令f '(x)=0,解得x=-ln a,
所以当x<-ln a时, f '(x)<0,当x>-ln a时, f '(x)>0,
所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时, f(x)在R上单调递减;
当a>0时, f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增.
15.解析　易得f'(x)=xln x-aln x+a-x=(x-a)(ln x-1),x∈(0,+∞).
当a≤0时,x-a>0,则f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增;
当a=e时, f'(x)=(x-e)(ln x-1)≥0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当0当a>e时, f(x)在(e,a)上单调递减,在(0,e),(a,+∞)上单调递增.
能力提升练
1.A　因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数y=f(x)图象上的点的切线斜率是递增的,故选A.
2.D　对于A、B,导函数的符号是先正后负再正,原函数应先增后减再增,故A、B错误;
对于C,导函数变号的地方是原函数单调性发生变化的地方,故C错误;
对于D,符合导函数的符号与原函数的单调性的关系,故D正确.故选D.
3.B　当1-x>0,即x<1时,y=f(1-x)=,
y'=,
令y'>0,得x<1-e,令y'<0,得1-e所以函数y=f(1-x)在(-∞,1-e)上单调递增,在(1-e,1)上单调递减.
当1-x≤0,即x≥1时,y=f(1-x)=(1-x)e1-x,
y'=-e1-x-(1-x)e1-x=(x-2)e1-x,
令y'>0,得x>2,令y'<0,得1≤x<2,
所以函数y=f(1-x)在[1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.故选B.
4.D　对于A,要使函数f(x)有意义,则得x<-3或-3-1,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞),故A错误;
对于B,由题图知函数f(x)的图象过原点,而f(0)=≠0,故B错误;
对于C, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0, f'(x)=,当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,与题图不符,故C错误;
对于D, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0,f'(x)=,当x<-1时, f'(x)<0,当-10,当x>1时, f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,与题图相符,故D正确.故选D.
5.AB　当a=0时, f(x)=-3x2+x+1,显然不满足题意;
当a≠0时, f'(x)=3ax2-6x+1,因为f(x)恰好有三个单调区间,所以f'(x)=3ax2-6x+1有两个零点,即Δ=36-12a>0,解得a<3.
综上,实数a的取值范围为(-∞,0)∪(0,3).
故选AB.
6.AC　易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-.
令f'(x)≥0,得x≥3,令f'(x)≤0,得0所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3],单调递增区间为[3,+∞).
因为f(x)在区间[m-1,m+1]上单调,
所以或m-1≥3,解得1结合选项可得A,C正确.故选AC.
7.A　因为函数f(x)=ax2-2ax+ln x(x>0),
所以f'(x)=ax-2a+(x>0),
令g(x)=ax2-2ax+1(x>0).
因为函数f(x)在(1,3)上不单调,
所以ax2-2ax+1=0在(1,3)上有实数根.
当a=0时,显然不成立;
当a≠0时,易知g(x)的图象恒过点(0,1),且对称轴为直线x=1,
只需解得a<-或a>1.
所以函数 f(x)=ax2-2ax+ln x在(1,3)上不单调的充分不必要条件为∪(1,+∞)的一个真子集.结合四个选项可知选A.
BCD　因为f(x)=exx3,所以f'(x)=exx3+3exx2=(x+3)x2ex,令f'(x)<0,得x<-3,令f'(x)>0,得x>-3.
故函数f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,A错误.
01,即log52<易得f(0)=0, f(-3)=-<-1,故方程f(x)=-1有实数解,C正确.
易知当x=0时, f(x)=kx=0,
当x≠0时,k==exx2.
设g(x)=exx2(x≠0),
则g'(x)=x(x+2)ex(x≠0),
令g'(x)>0,得x<-2或x>0,令g'(x)<0,得-2故函数g(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,
且g(-2)=.
画出函数g(x)的图象,如图所示.
当0综上所述,存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数解,D正确.
故选BCD.
9.解析　(1)因为g(x)=-x3+x2-ax,
所以g'(x)=-x2+2x-a.
由题意得-x2+2x-a≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
所以a≥-x2+2x=-(x-1)2+1对任意x∈(0,+∞)恒成立,
又-(x-1)2+1≤1,所以a≥1,即M=[1,+∞).
(2)由(1)及已知得函数y=lg在区间[1,+∞)上单调递增,
所以函数y=2-在区间[1,+∞)上单调递增,且当x≥1时,2->0恒成立,
所以解得0所以实数m的取值范围为(0,2).
10.解析　因为f(x)=ln(x+1)+ax2,a≠0,
所以f'(x)=,x>-1,a≠0.
设h(x)=2ax2+2ax+1,x>-1,a≠0.
当0当a>2时,Δ=4a(a-2)>0,令2ax2+2ax+1=0,得x1=-.
又h(-1)=h(0)=1,所以-1故当x∈时,h(x)>0, 则 f'(x)>0, f(x)单调递增.
当x∈时,h(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减.
当a<0时,Δ=4a(a-2)>0,
又h(-1)=h(0)=1,所以x2<-1所以当x∈时,h(x)>0,
则f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈时,h(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当0当a>2时, f(x)在上单调递增,
在-上单调递减;
当a<0时, f(x)在上单调递增,在上单调递减.
C　因为x1ln x2<,
变形得ln x1+则对任意的x1,x2∈(m,+∞),当x1所以当x∈(m,+∞)时,函数f(x)=ln x+单调递增,
易得f'(x)=,当x>3时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当012.BD　设g(x)=,x>0,
则g'(x)=<0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以g(1)>g(2)>g(4),即 ,
则f(2)<32f(1), f(4)<32f(2).故选BD.
13.C　由ln(a+1)=0.01,eb=1.01,得a=e0.01-1,b=ln 1.01.
设g(x)=ex-x-1(x∈R),则g'(x)=ex-1,
所以当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,即ex-1≥x,
同理可证ln(x+1)≤x,所以ln(x+1)≤x≤ex-1,
当x=0.01时,可得ln 1.01设f(x)=ln x-(x>0),则f '(x)=,
所以当x∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(1.01)>f(1),即ln 1.01->ln 1,整理得ln 1.01>,即b>c,所以c14.答案　(1,+∞)
解析　设g(x)=exf(x)-2ex,
则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-2ex=ex[f(x)+f'(x)-2],
∵f(x)+f'(x)>2,ex>0,
∴g'(x)=ex[f(x)+f'(x)-2]>0,
∴g(x)是R上的增函数,
又∵f(1)=2+,
∴g(1)=ef(1)-2e=2e+4-2e=4,
∴不等式exf(x)>4+2ex等价于不等式exf(x)-2ex>4,即g(x)>g(1),∴x>1,
∴不等式exf(x)>4+2ex的解集为(1,+∞).
15.解析　设F(x)=,则F'(x)=,
∵f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.
要求ex-1f(x)即求 < 的解集,
即F(x)∴x<2x-1,即x>1,
∴不等式ex-1f(x)21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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