2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题--6.3　利用导数解决实际问题 6.4　数学建模活动描述体重与脉搏率的关系

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
6.3　利用导数解决实际问题
6.4　数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系
基础过关练
题组一　利润最大问题
1.(2024四川成都期中)某产品的销售收入y1(万元)关于产量x(千台)的函数为y1=15(x>0);生产成本y2(万元)关于产量x(千台)的函数为y2=(x>0),为使利润最大,应生产产品(　　)
A.9千台　　　　B.8千台　　　　
C.7千台　　　　D.6千台
2. (2024广东佛山质检)已知某商品的进价为4元,通过市场调查发现,该商品的市场销量y(件)与商品售价x(元)的关系为y=e-x,则当此商品的利润最大时,该商品的售价为(　　)
A.5元　　　　B.6元　　　　
C.7元　　　　D.8元
3.(2024广东东莞光明中学月考)某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万斤,每种植1斤藕,成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足y=-x3+ax2+x(a为常数),若种植3万斤,利润是万元,则要使销售利润最大,每年需种植莲藕(　　)
A.7万斤　　　　B.8万斤　　　　
C.9万斤　　　　D.10万斤
4.(多选题)(2024浙江宁波余姚中学质检)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些 高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究,调查如下:某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分(不考虑瓶子的成本的前提下),且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm.则下面结论正确的有(注:1 mL=1 cm3;利润可为负数)(　　)
A.利润随着瓶子半径的增大而增大
B.半径为6 cm时,利润最大
C.半径为2 cm时,利润最小
D.半径为3 cm时,制造商不获利
题组二　表面积、体积最大(小)值问题
5.已知△ABC是边长为2的等边三角形,E,F分别在AB,AC上滑动(不含端点),EF∥BC,沿EF把△AEF折起,使点A翻折到点P的位置,连接PB,PC,则四棱锥P-BCFE的体积的最大值为(　　)
A.2　　　　C.3　　　　D.2
6.(2021山西太原期末)现有一个用橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为(　　)
A.20π　　　　B.24π　　　　
C.28π　　　　D.32π
7.(2023山东枣庄滕州期中)长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭,是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭,长征五号有效载荷整流罩外形是冯·卡门外形(原始卵形)+圆柱形,由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作整流罩模型,近似一个圆柱和圆锥组成的几何体,如图所示,若圆锥的母线长为6,且圆锥的高与圆柱高的比为1∶3,则该模型体积的最大值为(　　)
A.40π
C.160π
8.(2023河北邯郸武安模考)如图,在半径为4的四分之一圆(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设AB=x,圆柱的体积为V.
(1)求出V关于x的函数关系式,并指出定义域;
(2)当x为何值时,该圆柱形罐子的体积V最大 最大体积是多少
题组三　用料最省、费用最低问题
9.(2023吉林长春段考)某游泳馆打算对泳池进行检修,已知泳池深度为2 m,容积为2 500 m3,池底每平方米的维修费用为150元,设入水处的较短池壁长度为x m,且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比,比例系数为k(k>0),较长的池壁总维修费用为元,则当泳池的维修费用最低时,x的值为　　　　　　.
10.某种圆柱形罐子的容积为128π,当它的底面半径和高的比值为多少时,可使所用材料最省
能力提升练
题组一　利用导数解决生活中的最值问题
1.(2024河北保定部分高中月考)已知四个城市坐落在正方形ABCD的四个顶点处,正方形边长为200 km,现要修建高铁连接这四个城市,设计师设计了图中的连接路线(路线由五条实线段组成,且路线上、下对称,左、右对称),则路线总长(单位:km)的最小值为(　　)
A.300
C.600　　　 　D.200+200
2.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是　　　　元.
3. (2024山东潍坊期末)某商场销售某商品的经验表明,该商品每日的销量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中34.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(单位:L/h)关于行驶速度x(单位:km/h)的解析式可以表示为y=x+8(0(1)当该种型号的汽车以40 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油多少
(2)当该种型号的汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少 最少为多少
5. (2024辽宁鞍山期末)某企业为了保证正常发展,计划从今年起对某产品投入相应的资金进行新技术的开发和应用.若某产品的成本为40元/件,其市场价格为x(46≤x≤51)元/件,且该产品每月的生产数量(万件)与ex成反比,每件产品投入的资金为m元.当产品的市场价格为50元/件时,生产数量为20万件.
(1)若m=8,则x为何值时,该工厂每月的利润y最大 并求y的最大值;
(2)每件产品投入的资金最多为多少元时,可使工厂每月利润至少达到20万元 (精确到0.1)(注:e≈2.7,e3≈20.1,e4≈54.6)
6.(2024上海松江月考)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示,谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k>0),当O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低
题组二　利用导数解决几何中的最值问题
7.在外接球半径为4的正三棱锥中,体积最大的正三棱锥的高等于(　　)
A.
8.(2023安徽黄山二模)如图1,将一块边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△PEE1,△PFF1,△PGG1,△PHH1,再将剩下的部分折成一个正四棱锥P-EFGH,使E与E1重合,F与F1重合,G与G1重合,H与H1重合,点A,B,C,D重合于点O,如图2,则正四棱锥P-EFGH体积的最大值为(　　)
图1　 图2　
A.
C.
9.(2024山东日照模拟)下图是一个帐篷的示意图,它下部分的形状是高为1 m的正六棱柱,上部分的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥.当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为　　　　m时,帐篷的体积最大.
10.如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为　　　　.
11.已知直角三角形 ABC的两直角边的长之和为3,将△ABC绕其中一条直角边所在直线旋转一周,所形成旋转体体积的最大值为　　　　,此时该旋转体的外接球的表面积为　　　　.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　设利润为y万元,则y=y1-y2=16,令y'>0,得08,
∴当08时,函数单调递减,∴当x=8时,y取得最大值.
故为使利润最大,应生产产品8千台.
故选B.
2.A　设商品的利润为f(x)元,则f(x)=(x-4)e-x, f'(x)=e-x-(x-4)e-x=(5-x)e-x.
当x>5时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当00, f(x)单调递增,
所以当x=5时,函数f(x)取得最大值,故选A.
3.B　设销售利润为g(x)万元,则g(x)=-x3+ax2-2,0由已知得-,解得a=2,
故g(x)=-x3+2x2-2,0令g'(x)>0,得0故要使销售利润最大,每年需种植莲藕8万斤.
故选B.
4.BCD　设每瓶饮料的利润为f(r)分,则f(r)=0.2×,r∈(0,6],
则f'(r)=r(r-2),令f'(r)=0,得r=2或r=0(舍去).
所以当r∈(0,2)时, f'(r)<0, f(r)单调递减,即半径越大,利润越低,
当r∈(2,6)时, f'(r)>0, f(r)单调递增,即半径越大,利润越高,
所以当r=2时,函数f(r)取得最小值,
又f(0)=0, f(6)=,所以当r=6时,函数f(r)取得最大值,
因为f(3)==0,所以当r=3时,制造商不获利.故选BCD.
5.D　易知当四棱锥P-BCFE的体积最大时,平面PEF与平面BCFE垂直.
在△ABC中,作AM⊥BC于M,交EF于N,
则易得AN⊥EF,AM=AC·sin C=3.
设NF=x,则EF=2x,AN=x,则NM=3-x.
此时S梯形BCFE=(3-x2).
故四棱锥P-BCFE的体积V=x=x(3-x2)=3x-x3,x∈(0,).
设f(x)=3x-x3,x∈(0,),则f'(x)=3-3x2,
令f'(x)=0,得x=1(负值舍去).
故f(x)=3x-x3在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减.故f(x)的最大值为f(1)=2.
所以四棱锥P-BCFE的体积的最大值为2.
6.B　由题意可得圆柱和圆锥的体积相等,
底面半径为4,高为3的圆锥的体积为×π×42×3=16π,
底面半径为r,高为h的圆柱的体积为πr2h,
所以πr2h=16π,所以r2h=16,即h=.
圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·,
则S'=4πr-.
令S'>0,可得r>2,令S'<0,可得0所以r=2时,圆柱的表面积有极小值,也是最小值,最小值为2π×22+=24π,故选B.
7.C　设圆锥的高为h,则圆柱的高为3h,底面圆半径r=,
则该模型的体积V=πr2·3h+πr2·h=h(36-h2)π,
令f(x)=-x3+36x,则f'(x)=-3x2+36,
令f'(x)=0,得x=2或x=-2(舍去),
当00,当x>2时,f'(x)<0,
则f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,故当x=2时,f(x)有最大值,即当h=2时,Vmax=160π,故选C.
8.解析　(1)在Rt△OAB中,OA=,0设圆柱的底面半径为r,则=2πr,即16-x2=4π2r2,即r2=,
所以V=πr2x=,定义域为{x|0(2)由(1)得V=,0令V'=0,即=0,所以x=(负值舍去),
当00,当所以V=上单调递增,在上单调递减.
当x=时,圆柱形罐子的体积V最大,最大体积是.
9.答案　25
解析　由题可知池底面积为=1 250(m2),为定值,即池底维修费用为定值,则泳池的维修费用的多少由池壁维修费用决定.
由题意得0设f(x)=,
则f'(x)=,
令f'(x)>0,得25所以f(x)在(0,25)上单调递减,在(25,25]上单调递增,故当x=25时,f(x)取最小值,此时泳池的维修费用最低.
10.解析　设圆柱的高为h,底面半径为r.
∵该圆柱形罐子的容积为128π,
∴128π=πr2h,即h=.
∴该圆柱形罐子的表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr·.
令g(r)=2πr2+(r>0),
则g'(r)=4πr-.
令g'(r)>0,得r>4;令g'(r)<0,得0∴g(r)在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.
∴当r=4时,g(r)取得极小值,也是最小值,即材料最省,此时.
能力提升练
1.D　设∠EAB=θ,θ∈,则AE= km,EF=(200-200tan θ)km,
所以路线总长(单位:km)为4AE+EF=+200-200tan θ=200.
令f(θ)=,θ∈,
则f'(θ)=,
当θ∈时, f'(θ)<0, f(θ)单调递减,当θ∈时, f'(θ)>0, f(θ)单调递增,
所以f(θ)的最小值是f ,则路线总长(单位:km)的最小值为200+200.故选D.
2.答案　160
解析　设底面长为x m,则底面宽为 m.
设总造价为y元,
则y=20×4+10×2×+80,
则y'=20-,
令y'=0,得x=2(负值舍去).
∴当00,
∴当x=2时,ymin=160.
3.答案　2;4
解析　当x=5时,y=11,
将其代入y=+10(x-6)2中,得+10=11,
∴a=2,
∴y=+10(x-6)2.
设该商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)元,则f(x)=(x-3)=2+10(x-3)·(x-6)2,3则f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)·(x-6),
令f'(x)=0,得x=4或x=6(舍去).
当30,函数f(x)在(3,4)上单调递增;
当4∴当x=4时,函数f(x)取得最大值.
∴当销售价格为4元/千克时,该商场每日销售该商品所获得的利润最大.
4.解析　(1)该种型号的汽车以40 km/h的速度从甲地匀速行驶到乙地需=2.5(h),
故耗油×2.5=17.5(L).
(2)当该种型号的汽车匀速行驶的速度为x km/h时,从甲地到乙地需 h,设耗油h L,
依题意得h=(0则h'=(0令h'=0,得x=80.
当x∈(0,80)时,h'<0;当x∈(80,120]时,h'>0,所以当x=80时,h取得极小值,也是最小值,为11.25.
故当该种型号的汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25 L.
5.解析　设该产品每月的生产数量为S(x)万件,比例系数为k,则S(x)=,
由S(50)=20,得k=20e50,
∴y=(x-40-m)·.
(1)当m=8时,y=(x-48)·,46≤x≤51,
则y'=(49-x),令y'=0,得x=49,
当46≤x<49时,y'>0,当49∴当x=49时,利润y最大,为20e≈20×2.7=54(万元).
(2)令y≥20,即(x-40-m)·≥20,
得m≤x-40-.
设f(x)=x-40-,则f'(x)=1-,
令f'(x)=0,得x=50.
x 46 (46,50) 50 (50,51) 51
f'(x) + 0 -
f(x) 6- ↗ 极大值 ↘ 11-e
∴m≤min{f(46),f(51)},即m≤6-≈6.0.
故每件产品投入的资金最多为6.0元时,可使工厂每月利润至少达到20万元.
6.解析　(1)设AA1,BB1都与MN垂直,A1,B1是相应垂足.
由条件知,当O'B=40时,
BB1=-×403+6×40=160,则AA1=160.
由O'A2=160,得O'A=80.
所以AB=O'A+O'B=80+40=120.
所以桥AB的长度为120米.
(2)以O为原点,OO'所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图所示).
设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-x3+6x,
EF=160-y2=160+x3-6x.
因为CE=80,所以O'C=80-x.
设D(x-80,y1),则y1=(80-x)2,
所以CD=160-y1=160-x2+4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x)万元,
则f(x)=k
=k(0f '(x)=kx(x-20),
令f '(x)=0,得x=20.
当x变化时, f '(x),f(x)的变化情况如下表.
x (0,20) 20 (20,40)
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=20时, f(x)取得极小值,也是最小值.
故当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
7.D　如图,设正三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,连接AO并延长,交底面BCD于E,则AE⊥平面BCD,连接DE并延长,交BC于F,则DF⊥BC,连接OD.
设正三棱锥的底面边长为a,高为h,
由题易得OE=h-4,DE=a,
则在直角三角形OED中,OD2=OE2+DE2,即42=(h-4)2+,整理得8h-h2=,
∵>0,∴8h-h2>0,∴0∵正三棱锥的体积V=(8h2-h3),0∴V'=(16h-3h2),0令V'=0,解得h=或h=0(舍去),
∴函数V=(8h2-h3)在上单调递增,在上单调递减,
∴当h=时,V取得最大值.
8.D　在题图1中,过点P作PT⊥CD于点T(图略),
设GC=x,0所以点P到平面EFGH的距离h=,
又底面正方形EFGH的面积S=4×S△OFG=2x2,
所以正四棱锥P-EFGH的体积V=x2·.
令t=,则x=,0则V=(200-t2)(40-t2),
当400,
所以当t2=40时,V取最大值,
所以Vmax=.故选D.
9.答案　2
解析　设OO1=x m,则1由题意可得正六棱锥的底面边长为 m,
所以底面正六边形的面积为6× m2.
设帐篷的体积为V(x) m3 ,
则V(x)=(16+12x-x3),
则V'(x)=(12-3x2).
令V'(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.
当10,V(x)单调递增;
当2所以当x=2时,V(x)取得极大值,也是最大值.
故OO1=2 m时,帐篷的体积最大.
10.答案　
解析　由题意,设小圆柱体的底面半径为cos θ,
则高为1+sin θ,θ∈,
小圆柱体的体积V=π·cos2θ·(1+sin θ),
设sin θ=t,t∈(0,1),
则V=π·(1-t2)(1+t)=π·(-t3-t2+t+1),
V'=π·(-3t2-2t+1)=π·(-3t+1)(t+1),
令V'=0,得t=(负值舍去).
故当00,当所以当t=时,Vmax=.
11.答案　π;25π
解析　设直角三角形的两直角边的长分别为a,b,则a+b=3,不妨设以长度为b的直角边所在直线为轴进行旋转,易知形成的旋转体为圆锥,其体积V=πa2(3-a)(0令V'=0,解得a=0(舍去)或a=2.
所以当00;当2所以当a=2时,所形成旋转体的体积最大,最大值为π,此时圆锥的底面半径为2,高为1.
设外接球的半径为R,则R2=(R-1)2+22,解得R=.所以该旋转体的外接球的半径为,其表面积为4πR2=25π.
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