2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--第1课时　函数的导数与极值

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
6.2.2　导数与函数的极值、最值
第1课时　函数的导数与极值
基础过关练
题组一　极值的概念及其应用
1.(多选题)(2024陕西西安西北工业大学附属中学期末)下列关于函数极值的说法正确的是(　　)
A.导数值为0的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值可能大于它的极大值
C.函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值
D.若f(x)在区间(a,b)上有极值,则f(x)在区间(a,b)上不单调
2.(2024天津第一中学月考)已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.(多选题)(2023湖北新高考协作体联考)定义在区间上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间(1,4)上单调递增
B.函数f(x)在区间(1,3)上单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
4.(2024天津北辰期中)已知f(x)=,则f(x)(　　)
A.在(-∞,+∞)上单调递增
B.在(-∞,1)上单调递减
C.有极大值,无极小值
D.有极小值3,无极大值
5.函数f(x)=(x2-1)3+2的极值点是(　　)
A.x=2　　　　B.x=-1
C.x=1或x=-1或x=0　　　　D.x=0
6.已知函数f(x)=(x2+x-5)e3-x,则函数f(x)的单调递增区间是　　　　,函数f(x)的极大值点是　　　　.
7.(2024黑龙江鸡西实验中学月考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是8x-y-2=0.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的极值.
题组二　含参函数的极值问题
8.(2024山东大联考)若函数f(x)=x3-2ax2+4x+a不存在极值,则a的取值范围是(　　)
A.[-)
C.[-2,2]　　　 　D.(-2,2)
9.(2021河南开封三模)设函数f(x)=,若f(x)的极小值为,则a=(　　)
A.-　　　　D.2
10.(2024山东菏泽东明第一中学月考)若函数f(x)=aln x+(a≠0)既有极大值也有极小值,则下列结论一定正确的是(　　)
A.a<0　　　　B.b<0　　　　C.ab>-1　　　　D.a+b>0
11.若函数f(x)=x3-3x2在区间(a-2,a+1)内存在极大值,则a的取值范围是　　　　.
12.已知f(x)=a2ln x-x2+ax(a≠0).
(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
题组三　函数极值的综合应用
13.(2023江苏南京第一中学质检)已知函数f(x)=x3+ax2-bx(a>0,b>0)在x=-1处取得极值,则的最小值为(　　)
A.2　　　　B.　　　　D.4
14.若函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.
C.(0,4e2)　　　　D.(0,+∞)
15.(2024四川兴文第二中学月考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)=2c有三个实数根,求实数c的取值范围.
能力提升练
题组一　极值的求解及其应用
1.函数f(x)=ex-x2-2x的极值点的个数为(　　)
A.0　　　　B.1
C.2　　　　D.3
2.(多选题)对于函数f(x)=,下列说法正确的有　　(　　)
A.函数f(x)的单调递减区间为(0,e)
B. f(x)在x=e处取得极大值
C. f(x)有两个不同的零点
D.π4>4π
3.(多选题)已知函数f(x)=x+sin x-xcos x的定义域为[-2π,2π),则(　　)
A. f(x)为奇函数
B. f(x)在[0,π)上单调递增
C. f(x)恰有4个极大值点
D. f(x)有且仅有4个极值点
4.(多选题)(2024内蒙古呼和浩特期末)已知定义在(a,b)上的函数f(x)和g(x)的导函数f'(x),g'(x)的图象如图所示,g'(x)的图象在x=x2处与f'(x)的图象相切,则关于函数h(x)=f(x)-g(x)的判断正确的是(　　)
A.h(x)在区间(x1,x2)上先增后减
B.x2为h(x)的极小值点
C.h(x)在区间(x1,x3)上单调递增
D.h(x)有1个极大值点,1个极小值点
5. (2024辽宁抚顺期末)已知函数f(x)=aln x+bx2+x的图象在点(1,c)处的切线方程为6x-y-2=0.
(1)求a,b,c的值;
(2)求f(x)的单调区间与极值.
题组二　含参函数的极值问题
6.(2024山东德州模拟)函数f(x)=ln x+x2-ax在上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　
C.
7.若函数f(x)=x2+(a-1)x-aln x没有极值,则　(　　)
A.a=-1　　　　B.a≥0
C.a<-1　　　　D.-18.(多选题)(2024北京海淀模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)(a∈R)有两个极值点x1,x2(x1A.0C.x2-x1>
9.(2024辽宁大连金州高级中学期中)已知函数f(x)=cos2ωx-2sin ωx·
cos ωx-sin2ωx-(ω>0)在区间上恰有一个极小值点,三个零点,则ω的取值范围是　　　　.
10.(2024浙江台州期末)已知函数f(x)=(x+a)·ln x.
(1)当a=0时,求f(x)的单调区间和极值;
(2)当a>0时,若f(x)有极小值,求实数a的取值范围.
(2024黑龙江绥化期末联考)已知函数f(x)=exsin x-ax(a∈R),g(x)=excos x.
(1)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)在上有两个极值点,求实数a的取值范围.
题组三　函数极值的综合应用
12.已知函数f(x)=(x2-3)·ex,关于x的方程[f(x)]2-mf(x)+1=0恰有四个不同的实数根,则正数m的取值范围为(　　)
A.(0,2)　　　　B.(2,+∞)　　　　
C.
13.(2024山东烟台期中)若过点(2,m)有三条直线与函数 f(x)=(x-1)3-3x+1的图象相切,则实数m的取值范围为　　　　.
14.(2023安徽皖江名校联盟联考)已知函数f(x)=.
(1)若m=-2,求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程;
(2)若x=0为函数f(x)的极值点,且函数g(x)=f(x)-λ有两个零点,求实数λ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.BD　
2.B　在(a,b)上,设f'(x)的图象与x轴的交点从左到右依次为A,B,C(O),D,
由函数取得极大(小)值点x0的充要条件:在x0左侧附近的导数大(小)于0,右侧附近的导数小(大)于0,并结合图象可知,函数f(x)在点A,D处取得极大值,在点B处取得极小值,在点C(O)处无极值.
故函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为2.
故选B.
3.AD　在区间(1,4)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,故A正确.
在区间(1,3)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,故B错误.
当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(0,4)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
故函数f(x)在x=0处取得极小值,无极大值,故C错误,D正确.故选AD.
4.C　 易知f'(x)=.
令f'(x)>0,得x<1;令f'(x)<0,得x>1.
故f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极大值f(1)=,无极小值,故选C.
5.D　对f(x)=(x2-1)3+2求导,得
f'(x)=3(x2-1)2·(x2-1)'=6x(x2-1)2.
令f'(x)=0,得x=0或x=±1.
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以x=0是f(x)的极值点,而x=±1不是.
6.答案　(-2,3);3
解析　由题意得f'(x)=-(x2-x-6)·e3-x=-(x-3)·(x+2)·e3-x.
令f'(x)>0,得-2令f'(x)<0,得x<-2或x>3.
所以函数f(x)的递增区间是(-2,3),递减区间为(-∞,-2),(3,+∞),
当x=3时,函数f(x)取得极大值,即函数 f(x)的极大值点为3.
7.解析　(1)f'(x)=3x2+2ax+b,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f'(1)=3+2a+b,
又f(1)=a+b+3,所以
解得a=2,b=1.
(2)由(1)知f(x)=x3+2x2+x+2, f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1),令f'(x)=0,得x=-或x=-1,
当x∈(-∞,-1)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(x)极大值 =f(-1)=2, f(x)极小值 =f.
8.A　由f(x)=x3-2ax2+4x+a,得f '(x)=3x2-4ax+4,
因为函数f(x)不存在极值,所以f '(x)≥0在R上恒成立,则Δ=16a2-4×3×4≤0,得-≤a≤.故选A.
9.B　f'(x)=(x≠-a),
令f'(x)=0,得x=1-a.
令f'(x)>0,得x>1-a;令f'(x)<0,得x<1-a且x≠-a.
∴f(x)在(-∞,-a)和(-a,1-a)上单调递减,在(1-a,+∞)上单调递增,∴f(x)在x=1-a处取得极小值,极小值为f(1-a)=e1-a=,
∴1-a=,解得a=.
故选B.
10.B　由已知得函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=,
因为函数f(x)既有极大值又有极小值,所以函数f '(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点,
即方程ax2-4x-2b=0(a≠0)有两个不同的正实数根,
所以即ab>-2,a>0,b<0.
故选B.
11.答案　(-1,2)
解析　由题意得f'(x)=3x2-6x,
令f'(x)>0,得 x<0或x>2;
令f'(x)<0,得0所以x=0是f(x)的极大值点,x=2是f(x)的极小值点.
因为函数f(x)=x3-3x2在区间(a-2,a+1)内存在极大值,
所以0∈(a-2,a+1),所以解得-1所以a的取值范围是(-1,2).
12.解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=-1时, f(x)=ln x-x,
则f'(x)=,令f'(x)=0,得x=1,
当x∈(0,1)时, f'(x)>0;
当x∈(1,+∞)时, f'(x)<0,
所以f(x)的单调递减区间为(1,+∞),单调递增区间为(0,1).
(2)f'(x)=-(a2+a)x+a
=-,x>0.
当a>0时,(a+1)x+a>0,令f'(x)>0,得01.所以f(x)在x=1处取得极大值.
当a≤-1时,(a+1)x+a<0,令f'(x)>0,得01.
所以f(x)在x=1处取得极大值.
当a=-时, f'(x)=≥0,则 f(x)无极值.
当-10,得0-;令f'(x)<0,得1所以 f(x)在x=1处取得极大值.
当-0,得01;令f'(x)<0,得-所以 f(x)在x=1处取得极小值.
综上,实数a的取值范围为∪(0,+∞).
13.B　f'(x)=3x2+2ax-b,所以f'(-1)=3-2a-b=0,即2a+b=3,
则,
当且仅当,即a=时取等号.
故选B.
14.B　令g(x)=x2ex,则g'(x)=2xex+x2ex=xex(x+2).
令g'(x)=0,得x=0或x=-2,
∴g(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增.
∴g(x)极大值=g(-2)=,g(x)极小值=g(0)=0.
f(x)=x2ex-a恰有三个零点,即y=g(x)的图象与直线y=a有三个交点,结合图象(略),可知015.解析　(1)f'(x)=3x2+2ax+b,
由题意得
此时f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
当x<-或x>1时, f'(x)>0,当-所以a=-,b=-2.
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+c,且f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,
当x=-时, f(x)取得极大值,为f+c,当x=1时, f(x)取得极小值,为f(1)=-+c,
因为方程f(x)=2c有三个实数根,所以-+c,解得-,
所以实数c的取值范围是.
能力提升练
1.C　由题意得f '(x)=ex-2x-2,令f '(x)=0,得ex=2(x+1),
令g(x)=ex,h(x)=2(x+1),在同一坐标系内作出两函数的图象,如图所示,
由图象可知,函数g(x)与h(x)的图象有两个交点,则方程ex=2(x+1)有两个不同的根,
故f '(x)=0有两个不同的根,且两个根左右的单调性不同,由极值点的定义可知,函数f(x)有两个极值点.故选C.
2.BD　因为f(x)=(x>0),
所以f'(x)=(x>0),
令f'(x)>0,得0e,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞),故A错误;
函数f(x)在x=e处取得极大值f(e)=,故B正确;
令f(x)==0,得x=1,
所以函数f(x)只有一个零点,故C错误;
因为4>π>e,所以,即πln 4<4ln π,即ln 4π4π,故D正确.故选BD.
3.BD　∵f(x)的定义域为[-2π,2π),
∴f(x)是非奇非偶函数,故A错误.
易得f'(x)=1+cos x-(cos x-xsin x)=1+xsin x.
当x∈[0,π)时, f'(x)>0,则f(x)在[0,π)上单调递增,故B正确.
当x=0时,显然f'(0)≠0,当x≠0时,令f'(x)=0,得sin x=-,
分别作出y=sin x,y=-,x∈[-2π,0)∪(0,2π)的图象,如图所示,
由图可知,这两个函数的图象在区间[-2π,0)∪(0,2π)上有4个公共点,且两图象在这些公共点处都不相切,故f(x)在区间[-2π,0)∪(0,2π)上的极值点的个数为4,又f'(0)≠0,所以f(x)在[-2π,2π)上有4个极值点,且f(x)只有2个极大值点,故C错误,D正确.故选BD.
4.CD　由已知得h'(x)=f'(x)-g'(x),
令h'(x)=0,得x=x1或x=x2或x=x3,
列表如下:
x (a,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,x3) x3 (x3,b)
h'(x) - 0 + 0 + 0 -
h(x) ↘ 极小值 ↗ ↗ 极大值 ↘
由表可知h(x)在(x1,x3)上单调递增,h(x)的极大值点为x3,极小值点为x1,故选CD.
5.解析　(1)由题可得,f'(x)=+2bx+1,且c=6-2=4,∴
(2)由(1)得f(x)=-ln x+3x2+x,
∴f'(x)=-(x>0).
令f'(x)>0,解得x>;令f'(x)<0,解得0∴f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,
∴f(x)在x=处取得极小值f +ln 3,无极大值.
6.B　∵f(x)=ln x+x2-ax(x>0),
∴f'(x)=+x-a(x>0).
∵函数f(x)=ln x+x2-ax在上有且仅有一个极值点,
∴y=f'(x)在上有且只有一个变号零点.
令f'(x)=0,得a=+x.
设g(x)=+x,易知g(x)=+x在上单调递减,在[1,3]上单调递增,
∴g(x)极小值=g(1)=2,
易得g,
当a=时,f(x)有一个极小值点,为x=2,当a=时,f(x)无极值点.再结合g(x)的图象可知,a的取值范围是.
故选B.
规律方法　函数在已知区间上有极值点,求参数的范围问题,可以从两个方面去思考:
(1)根据区间上极值点的个数情况,估计出大致函数图象,从而推导出导数需要满足的条件,进而求出参数满足的条件;
(2)也可以先求导,通过导数分析函数的单调情况,再依据函数在区间内的零点情况,推导出函数本身需要满足的条件,此时,由于函数比较复杂,常常需要构造新函数,借助导数研究函数的单调性、极值等,层层推理得解.
7.A　易得f'(x)=(x-1),x>0,
当a≥0时,+1>0.令f'(x)<0,得00,得x>1,所以f(x)在x=1处取极小值,不满足题意.
当a<0时,方程+1=0必有一个正数解x=-a.
若a=-1,则f'(x)=≥0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值,满足题意.
若a≠-1,则 f'(x)=0必有2个不同的正数解, f(x)存在2个极值,不满足题意.
综上,a=-1.
8.ACD　f'(x)=ln x+1-2ax(x>0),
因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,
所以f'(x)有两个变号零点,
设g(x)=ln x+1-2ax(x>0),
则g'(x)=,
若a≤0,则g'(x)>0,所以函数f'(x)单调递增,则函数f'(x)最多只有一个变号零点,不符合题意,舍去.
若a>0,则00,x>时,g'(x)<0,
所以函数f'(x)在上单调递增,在上单调递减,
若f'(x)有两个变号零点,则f'>0,
解得0此时x→0+时,f'(x)→-∞,x→+∞时,f'(x)→-∞,
则f'(x)有两个变号零点,满足题意,
故a的取值范围为0由A可知x1<当00,
则x1<1<,-x1>-1,
则x2-x1>-1,故C正确.
由A可知函数f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,
因为x1<1所以故D正确.故选ACD.
9.答案　
解析　f(x)=cos2ωx-2sin ωxcos ωx-sin2ωx-
=cos 2ωx-sin 2ωx-,
令2ωx-=t,因为ω>0,且x∈,所以-,记g(t)=-sin t-,
所以原题可转化为g(t)在上恰有一个极小值点,三个零点,则π,
解得<ω≤,
故ω的取值范围为.
10.解析　(1)当a=0时, f(x)=xln x, f'(x)=ln x+1.
当x>时, f'(x)>0, f(x)单调递增;
当0故f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,
∴f(x)在x=处取得极小值f,无极大值.
(2)f(x)有极小值 f'(x)在x>0时有左负右正的变号零点﹒
f'(x)=ln x+=ln x++1,
令g(x)=f'(x),则g'(x)=,
令g'(x)=0,解得x=a.
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x (0,a) a (a,+∞)
g'(x) - 0 +
g(x) ↘ 极小值ln a+2 ↗
①若ln a+2≥0,即a≥e-2,则g(x)≥0,∴f'(x)不存在变号零点,不符合题意.
②若ln a+2<0,即0g(1)=a+1>0,∴ x0∈(a,1),使得g(x0)=0.
当x∈(a,x0)时,g(x)<0, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈(x0,1)时,g(x)>0, f'(x)>0, f(x)单调递增,
∴f(x)有极小值f(x0).
综上,实数a的取值范围为(0,e-2).
11.解析　(1)当a=0时, f(x)=exsin x,
则f'(x)=ex(sin x+cos x)=.
因为对任意x∈R,ex>0恒成立,
所以当2kπ0;
当2kπ+π所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z;单调递减区间是,k∈Z.
(2)F(x)=exsin x-ax-excos x=ex(sin x-cos x)-ax,
则F'(x)=ex(sin x-cos x+cos x+sin x)-a=2exsin x-a,
由题意可知2exsin x-a=0在上有两个实根,即a=2exsin x有两个实根.
设h(x)=2exsin x,
则h'(x)=2ex(sin x+cos x)=2.
当x∈时,x+,
所以当时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当所以h(x)极大值=h,
又h,h(π)=0,
所以当a∈(2)时,方程a=2exsin x在上有两个实根,即F(x)有两个极值点.
所以实数a的取值范围为(2).
12.D　易知f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex,
令f'(x)=0,得x=-3或x=1.
当x<-3时, f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,且f(x)>0;
当-3当x>1时, f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)的极大值为f(-3)=,极小值为f(1)=-2e,作出函数f(x)的大致图象,如图.
令f(x)=t,则方程t2-mt+1=0有两个不同的实数根,且一个根在内,另一个根在内,或者两个根都在(-2e,0)内.
因为两根之和m为正数,
所以两个根不可能都在(-2e,0)上.
令g(x)=x2-mx+1,
因为g(0)=1>0,所以只需g<0,
即+1<0,得m>,
即正数m的取值范围为.
13.答案　(-5,-4)
解析　由已知得f(x)=x3-3x2,f(x)的定义域为R, f'(x)=3x2-6x,
设切点坐标为(x0,),
则切线方程为y-(-6x0)(x-x0),
因为切线过点(2,m),所以m-(-6x0)·(2-x0),即m=-2-12x0,
依题意知直线y=m与曲线y=-2x3+9x2-12x有三个交点.
设g(x)=-2x3+9x2-12x,则g'(x)=-6x2+18x-12=-6(x-1)(x-2).
令g'(x)<0,得x<1或x>2;令g'(x)>0,得1所以g(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上单调递减,在(1,2)上单调递增,
当x=1时,g(x)取得极小值,为g(1)=-5;当x=2时,g(x)取得极大值,为g(2)=-4,
故实数m的取值范围为(-5,-4).
14.解析　(1)依题意得f(x)=,则f'(x)=,
故f'(2)=2,又f(2)=0,所以所求切线方程为y=2x-4.
(2)令g(x)=f(x)-λ=0,则f(x)=λ.
易得f'(x)=
=,
则f'(0)==0,解得m=4,经检验符合题意.
所以f(x)=,其定义域为R,
f'(x)=,
令f'(x)=0,解得x=0或x=4,
当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,4)时,f'(x)<0,当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,
故函数f(x)在(-∞,0)和(4,+∞)上单调递增,在(0,4)上单调递减,又f(0)=2,f(4)=-,f(2)=0,
当x<0时,f(x)>0,当x>2时,f(x)<0,所以f(x)的大致图象如图所示,
观察可知,实数λ的取值范围为∪(0,2).
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