2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--第1课时　函数和、差、积、商的求导法则

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教B版高中数学选择性必修第三册
6.1.4　求导法则及其应用
第1课时　函数和、差、积、商的求导法则
基础过关练
题组一　函数和、差、积、商的求导法则
1.(2024福建福州期中)函数y=log2x+sin的导数y'=(　　)
A.　　　　 B.xln 2
C.　　　　D.xln 2+cos
2.(2024重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)=xex+cos x,则=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　
C.0　　　　D.2
3.(2024湖北武汉问津教育联合体联考)下列求导运算结果正确的是(　　)
A.　　　　B.(xln x)'=ln x+1
C.(sin π)'=cos π　　　 　D.
4.(2023陕西商洛洛南期末)已知f(x)=ex-x2, f '(x)为f(x)的导函数,若f '(a)=f(a),则a=(　　)
A.0　　　　B.-1　　　　
C.2　　　　D.0或2
(2023江苏南京师范大学附属中学期末)已知函数f(x)=,则
f '=　　　　.
6.求下列函数的导数:
(1)y=x-2+x2;(2)y=3xex-2x+e;
(3)y=;(4)y=x2-4sin cos .
题组二　函数和、差、积、商求导法则的应用
7.(2024广东深圳宝安中学月考)已知曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则P点的坐标为(　　)
A.(1,3)　　　　B.(-1,3)
C.(1,3)或(-1,3)　　　　D.(1,-3)
8.(2024山东滕州第一中学月考)下列函数的图象与直线y=-2x+m(m为常数)相切的有(　　)
A.y=ex+1　　　　B.y=xln x
C.y=sin x+1　　　　D.y=x3+1
9.(2024河南洛阳强基联盟联考)曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标,曲线的曲率定义如下:记f '(x)是f(x)的导函数, f ″(x)是f '(x)的导函数,那么曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的曲率K=,则曲线f(x)=sin x+cos x在点处的曲率为(　　)
A.0　　　　B.
10.(2024四川广安模拟)若P是函数f(x)=的图象上任意一点,直线l为曲线f(x)在点P处的切线,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A.
11.(2023湖北荆州中学月考)在平面直角坐标系中,P是曲线x2=4y上的一个动点,则点P到直线x+y+4=0的距离的最小值是　　　　.
能力提升练
题组　函数和、差、积、商求导法则的综合应用
1.(2024北京第一七一中学月考)设函数f(x)的导函数为f '(x),且f(x)=x2+2x·f '(1),则f '(0)=(　　)
A.0　　　　B.-4　　　　C.-2　　　　D.2
2.(2024福建泉州德化第二中学月考)已知函数f(x)=g(x)+2x,且曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
3.(2024江西赣州二十四校期中)函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)(x-9)(x-12)的图象在x=4处的切线的斜率为(　　)
A.-900　　　　B.-960　　　　
C.900　　　　 D.960
4.(2024四川绵阳模拟)若函数f(x)=x2-ax与函数g(x)=ln x+2x的图象在公共点处有相同的切线,则实数a=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.e　　　　D.-2e
5.(2024广东湛江模拟)已知f1(x)=xex+sin x+cos x, fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1'(x), f3(x)=f2'(x),……, fn+1(x)=fn'(x),n∈N*,则f2 024(0)=(　　)
A.2 021　　　　B.2 022　　　　
C.2 023　　　　D.2 024
6.(2024重庆杨家坪中学月考)若曲线y=(x-a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围为　　　　　.
7.(2024重庆第八中学校月考)若直线y=kx是曲线y=aln x的切线,也是曲线y=ex的切线,则a=　　　　.
8.(2024江苏苏州盛泽中学月考)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0),给出定义:设f '(x)是函数f(x)的导数,f ″(x)是f '(x)的导数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数的图象都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=,则f(x)的拐点为　　　　, f +f +f +…+
f =　　　　.
9.(2023陕西宝鸡月考)已知f(x)=x3+bx2+cx(b,c∈R),f '(1)=0,当x∈[-1,3]时,曲线y=f(x)的切线斜率的最小值为-1,求b,c的值.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.A　
2.A　由f(x)=xex+cos x得f '(x)=ex+xex-sin x,
∴=f '(0)=1.故选A.
3.B　,故A错误;
(xln x)'=ln x+x·=ln x+1,故B正确;
(sin π)'=0,故C错误;
,故D错误.
故选B.
4.D　由题意得f '(x)=ex-ex,则由f '(a)=f(a)得ea-ea=ea-a2,解得a=0或a=2.
5.答案　
解析　由题意得,
f '(x)=
=,∴f '.
6.解析　(1)y'=2x-2x-3.
(2)y'=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2.
(3)y'=.
(4)∵y=x2-4sin cos =x2-2sin x,
∴y'=2x-2cos x.
7.C　直线x+2y-1=0的斜率为-,故曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线斜率为2,而f '(x)=3x2-1,
所以f '(xP)=3-1=2,解得xP=±1,故P点的坐标为(1,3)或(-1,3).故选C.
8.B　对于A,y'=ex+1,令ex+1=-2,该方程无解,故A错误;
对于B,y'=ln x+1,令ln x+1=-2,得x=e-3,故B正确;
对于C,y'=cos x,令cos x=-2,该方程无解,故C错误;
对于D,y'=3x2,令3x2=-2,该方程无解,故D错误.
故选B.
9.D　对f(x)=sin x+cos x求导,得f '(x)=cos x-sin x,
对f '(x)求导,得f ″(x)=-sin x-cos x,所以f '=0, f ″,
所以曲线f(x)=sin x+cos x在点处的曲率K=.故选D.
10.C　由已知得f '(x)
=
=-,
由题意得sin x+cos x≠0,所以x≠-+kπ,k∈Z,
所以2x≠-+2kπ,k∈Z,所以-1所以0<1+sin 2x≤2,所以,
设P(x0,y0),则函数f(x)的图象在点P处的切线l的斜率为f '(x0)=-≤-,显然直线l的倾斜角为钝角,所以直线l的倾斜角的取值范围是.故选C.
11.答案　
解析　设直线l与直线x+y+4=0平行且与曲线y=x2相切,切点为(x0,y0),
由y=x2,得y'=x,所以y'x0=-1,
则x0=-2,故切点坐标为(-2,1),
所以点P到直线x+y+4=0的距离的最小值即为点(-2,1)到直线x+y+4=0的距离,即.
能力提升练
1.B　由f(x)=x2+2x·f '(1)得f '(x)=2x+2f '(1),
令x=1,得f '(1)=2×1+2f '(1),解得f '(1)=-2,
则f '(x)=2x-4,
所以f '(0)=-4.
故选B.
2.B　∵曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y=2x+1,∴g'(1)=2,
∵函数f(x)=g(x)+2x,∴f '(x)=g'(x)+2,
∴f '(1)=g'(1)+2=2+2=4,即曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为4.
故选B.
3.D　令g(x)=x(x-1)(x-2)(x-9)(x-12),则f(x)=(x-4)g(x),
则f '(x)=g(x)+(x-4)g'(x),
所以f '(4)=g(4)=4×3×2×(-5)×(-8)=960,
所以函数f(x)的图象在x=4处的切线的斜率为960.故选D.
4.B　设函数f(x)=x2-ax与函数g(x)=ln x+2x的图象的公共点的坐标为(x0,y0),
由已知得f '(x)=2x-a,g'(x)=+2,
则
令函数h(x)=x2+ln x-1,显然函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(1)=0,
则当h(x)=0时,x=1,因此在+ln x0-1=0中,x0=1,此时a=-1,经检验a=-1符合题意.故选B.
5.B　因为f1(x)=xex+sin x+cos x,
所以f2(x)=f1'(x)=(x+1)ex+cos x-sin x,
f3(x)=f2'(x)=(x+2)ex-sin x-cos x,
f4(x)=f3'(x)=(x+3)ex-cos x+sin x,
f5(x)=f4'(x)=(x+4)ex+sin x+cos x,
……
f2 024(x)=f2 023'(x)=(x+2 023)ex-cos x+sin x,
所以f2 024(0)=(0+2 023)e0-cos 0+sin 0=2 023-1=2 022.故选B.
6.答案　(-∞,0)∪(4,+∞)
解析　由y=(x-a)ex得y'=(x-a+1)ex,设切点坐标为(x0,(x0-a)),
则切线斜率k=(x0-a+1),
切线方程为y-(x0-a)(x-x0),
因为切线过坐标原点,所以0-(x0-a)=(x0-a+1)·(0-x0),整理得-ax0+a=0,
又曲线有两条过坐标原点的切线,所以该方程有两个不同的实数解,所以Δ=a2-4a>0,解得a<0或a>4.
故a的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞).
7.答案　e2
解析　设直线y=kx与曲线y=ex的切点坐标为(x1,).
对函数y=ex求导,得y'=(ex)'=ex,则切线方程为y-(x-x1).
因为切线过原点,所以0-(0-x1),解得x1=1,故切点坐标为(1,e),所以k=e.
对函数y=aln x求导,得y'=(aln x)'=,
由=e得x=,
根据y=ex得切点纵坐标为e·=a,
根据y=aln x得切点纵坐标为a·ln=a(ln a-1),
由a=a(ln a-1)得a=e2或a=0(舍去).
8.答案　;2 022
解析　f '(x)=x2-x+3,则f ″(x)=2x-1,
令f ″(x)=0,解得x=,又f =1,∴f(x)的拐点为,即函数f(x)图象的对称中心为,
∴f(1-x)+f(x)=2.
∴f +f +f +…+f
=f +f +f +f +…+f +f =×(2×2 022)=2 022.
9.解析　f '(x)=x2+2bx+c=(x+b)2+c-b2,
则f '(1)=1+2b+c=0①.
若-b≤-1,即b≥1,则f '(x)在[-1,3]上单调递增,所以f '(x)min=f '(-1)=1-2b+c=-1②,
由①②可得b=,不满足b≥1,故舍去.
若-1<-b<3,即-3由①③可得b=-2,c=3或b=0,c=-1.
若-b≥3,即b≤-3,则f '(x)在[-1,3]上单调递减,所以f '(x)min=f '(3)=9+6b+c=-1④,
由①④可得b=-,不满足b≤-3,故舍去.
综上可知,b=-2,c=3或b=0,c=-1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)