2025人教B版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--第2课时　函数的导数与最值

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2025人教B版高中数学选择性必修第三册
第2课时　函数的导数与最值
基础过关练
题组一　最值的概念及其求解
1.如图所示,函数f(x)的导函数f'(x)的图象是一条直线,则(　　)
A.函数f(x)既没有最大值,也没有最小值
B.函数f(x)有最大值,没有最小值
C.函数f(x)没有最大值,有最小值
D.函数f(x)既有最大值,也有最小值
2.已知M和m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,则f'(x)(　　)
A.等于0　　　　B.小于0　　　　
C.等于1　　　　D.不确定
3.(2023广东信宜段考)函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是(　　)
A.1　　　　B.2
C.3　　　　D.4
4.(2024福建泉州期中)已知函数f(x)=sin 2x+sin x,则f(x)的最小值是(　　)
A.-
5.(多选题)(2022江苏南京金陵中学阶段检测)函数f(x)=在区间(0,+∞)上(　　)
A.有最大值,无最小值
B.有最小值,无最大值
C.函数f(x)存在唯一的零点
D.函数f(x)存在唯一的极值点
6.函数f(x)=(x∈[-2,2])的最大值是　　　　,最小值是　　　　.
7.(2024山东济宁第一中学月考)求函数f(x)=-x3-x2+3x-3在区间[-1,2]上的最大值和最小值.
题组二　函数的最值与参数
8.(2024陕西宝鸡期中)已知x=2是f(x)=2ln x+ax2-3x的极值点,则f(x)在上的最大值是(　　)
A.2ln 3-
C.-2ln 3-　　　　D.2ln 2-4
9.已知f(x)=-x3+x在区间(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)　　　　B.[-2,3)
C.[-2,1)　　　　D.(-3,1)
10.(2023浙江强基联盟联考)若函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x(x∈(1,+∞))有最小值,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1,0)　　　　B.(-∞,-1)
C.(0,1)　　　　D.(-1,1)
11.(2022豫北名校期中联考)已知函数f(x)=-x2在区间(1,2)上有最大值,则实数a的取值范围是　　　　.
12.(2024湖南长沙雅礼中学月考)已知函数f(x)=(x-k-1)ex(k∈R).
(1)当k=1时,求曲线f(x)在点(0,-2)处的切线方程;
(2)讨论f(x)在区间[0,3]上的最小值.
题组三　函数的最值与不等式问题
13.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,+∞)　　　　B.(-∞,-1)
C.[-1,+∞)　　　　D.(-∞,-1]
14.若对任意实数x1,x2∈(0,m),且x1A.e　　　　B.　　　　D.1
15.已知函数f(x)=-ax,x∈(0,+∞),当x2>x1时,不等式 恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,e]　　　　B.(-∞,e)
C.
16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且对任意不相等的实数x1,x2∈[0,+∞),有 <0恒成立,若关于x的不等式f(2mx-ln x-3)≥2f(3)-f(-2mx+ln x+3)在x∈[1,3]上恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.
C.
17.已知函数f(x)=x3-3x2+2,x1,x2是区间[-1,1]内的任意两个值,若M≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,则M的最小值是　　　　.
18.已知函数f(x)=x--2aln x(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值;
(2)若f(x)≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一　函数最值的求解
1.(2024山东省实验中学第二次诊断)已知函数f(x)=,则f(x)的值域为(　　)
A.[-4-2
]
C.(-∞,4-
]
2.(2022河北邢台月考)声音的波长变化曲线一般都可用多个形如y=Asin ωx的函数的和来描述,因此,我们通常将用函数y=Asin ωx的和构成的函数称为声音函数.已知某声音函数f(x)=sin x+sin 2x,则f(x)在区间[-2π,-π]∪[π,2π]上的最小值与最大值之积为　　　　.
3. (2022浙江湖州期中联考)已知函数f(x)=.
(1)求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
题组二　函数和最值的应用
4.(2024辽宁大连第八中学期中)若函数f(x)=xln(x-1)+a(x-1)在(1,+∞)上单调,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2)　　　　B.(-∞,2]
C.(-2,+∞)　　　　D.[-2,+∞)
5.(多选题)(2022浙江湖州三贤联考)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
B.函数f(x)存在三个不同的零点
C.函数f(x)的最小值是-e
D.若x∈[t,+∞)时,f(x)max=,则t的最大值为2
6.(2023山东新高考联合质量测评)已知函数f(x)=e2x,g(x)=x-1,对任意x1∈R,存在x2∈(0,+∞),使f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为　(　　)
A.1　　　　B.
C.2+ln 2　　　　D.ln 2
7.(2024河北石家庄二中月考)若不等式ex-≥a在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,1]　　　　B.[0,e]
C.[-1,1]　　　　D.[0,+∞)
8.(2023山东聊城一中期中)若函数g(x)在区间D上有定义,且 a,b,c∈D,g(a),g(b),g(c)可作为一个三角形的三边长,则称g(x)在区间D上为“M函数”.已知函数f(x)=-ln x+k在区间上为“M函数”,则实数k的取值范围为　　　　.
9.(2023山东威海期末)若不等式ae2x+x+ln a≥ln x对任意x∈(0,+∞)都成立,则实数a的取值范围为　　　　.
10.(2022北京东城一模)已知函数f(x)=.
(1)若曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线斜率为-1,求a的值;
(2)若f(x)在(1,+∞)上有最大值,求实数a的取值范围.
11.(2022江苏苏州调研)已知函数f(x)=aln x+x2-(a+2)x(a∈R).
(1)若a=1,求f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值g(a).
12.已知函数f(x)=(a∈R).
(1)当a=0时,判断函数f(x)的单调性;
(2)当x<0时, f(x)有两个极值点.
(i)求a的取值范围;
(ii)若f(x)的极大值小于整数k,求k的最小值.
13.(2023广东广州二模)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=·eax.
(1)若a∈R,讨论f(x)的单调性;
(2)若a>0,且当x∈(0,+∞)时,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.C　由题中图象可知,函数f(x)只有一个极小值点1,即f(x)在x=1处取得最小值,没有最大值.
2.A　因为M=m,所以f(x)为常数函数,故f'(x)=0,故选A.
3.B　f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),当-10,当0∴f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,∴f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(0)=2.故选B.
4.C　由题意得f'(x)=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1=(2cos x-1)(cos x+1),
因为cos x+1≥0在x∈R上恒成立,
所以当0, f(x)单调递增;
当-1所以f(x)取得最小值时,cos x=,此时sin x=±.
当sin x=-时, f(x)=sin xcos x+sin x=-.
当sin x=时, f(x)=sin xcos x+sin x=.
所以f(x)的最小值是-.故选C.
5.BD　因为f(x)=,x∈(0,+∞),
所以f'(x)=,x∈(0,+∞).
令f'(x)>0,得x>1,令f'(x)<0,得0所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)在x=1处取得极小值,即最小值,f(x)min=f(1)=e,
所以函数f(x)有最小值,无最大值,存在唯一的极值点.
因为x∈(0,+∞),所以ex∈(1,+∞),所以f(x)>0恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上不存在零点.故选BD.
6.答案　2;-2
解析　易得f'(x)=,令f'(x)=0,得x1=-1,x2=1.
又f(-2)=-,
∴f(x)max=2, f(x)min=-2.
7.解析　由f(x)=-x3-x2+3x-3,得f '(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
故当x∈(-1,1)时, f '(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,2)时, f '(x)<0,f(x)单调递减,
故f(x)在[-1,2]上的最大值为f(1)=-,
又f(-1)=, f(2)=-,所以f(x)在[-1,2]上的最小值为f(-1)=-.
8.A　由题意,得f'(x)=+2ax-3,且f'(2)=0,
∴a=,则f'(x)=,
∵x∈,∴令f'(x)>0,得≤x<1或2∴f(x)在,(2,3]上单调递增,在(1,2)上单调递减.
∵f(3)=2ln 3-,
∴f(x)在上的最大值是2ln 3-.
C　易得f'(x)=-x2+1,令f'(x)=0,可得x=±1,分析易得x=1是f(x)=
-x3+x的极大值点.
因为函数f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,所以
解得-2≤a<1,故选C.
10.A　由题意可得f'(x)=,
∵x>1,∴1-2x<0,
若a≥0,则ax+1>0,当x>1时,f'(x)<0恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,则f(x)在(1,+∞)上无最值,不合题意,舍去;
若a≤-1,则ax+1<0,当x>1时,f'(x)>0恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f(x)在(1,+∞)上无最值,不合题意,舍去;
若-1-,易知->1,
∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,则f(x)在(1,+∞)上有最小值f,即-111.答案　(-13,1)
解析　由题设得f'(x)=,
令f'(x0)=0,得2=3-a,则x0=.
因为函数f(x)在(1,2)上有最大值,即存在极大值,
所以1令g(x)=,则g'(x)=-2,
当-13所以当x∈(1,x0)时,f'(x)>0,
当x∈(x0,2)时,f'(x)<0,所以当x=x0时,f(x)取得极大值,满足题意.
综上,实数a的取值范围为(-13,1).
12.解析　(1)当k=1时, f(x)=(x-2)ex,则f '(x)=(x-1)ex,所以f '(0)=-1,
则曲线f(x)在点(0,-2)处的切线方程为y=-x-2,即x+y+2=0.
(2)易得f '(x)=(x-k)ex,
当x>k时, f '(x)>0,此时f(x)单调递增;
当x当k>3时,函数f(x)在[0,3]上单调递减,故函数f(x)的最小值为f(3)=(2-k)e3;
当k<0时,函数f(x)在[0,3]上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(0)=-1
-k;
当0≤k≤3时,函数f(x)的最小值为f(k)=-ek.
综上,f(x)min=
13.A　易得f'(x)=ex-1,
令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,
故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=1+a.
若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1,故选A.
14.A　∵x1,x2∈(0,m),x1∴x2ln x1令f(x)=,则f(x)在(0,m)上为增函数,
易知 f'(x)=,
令f'(x)>0,解得015.D　∵x∈(0,+∞),当x2>x1时,,
∴x1f(x1)设g(x)=xf(x)=ex-ax2,
易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,
即g'(x)=ex-2ax≥0在(0,+∞)上恒成立.
∴2a≤.
令m(x)=(x>0),则m'(x)=.
当x∈(0,1)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增.
∴m(x)min=m(1)=e,∴2a≤e,∴a≤.
16.B　由题意可知f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,
故f(2mx-ln x-3)≥2f(3)-f(-2mx+ln x+3),x∈[1,3]恒成立可以转化为f(2mx-ln x-3)≥f(3),x∈[1,3]恒成立,
即|2mx-ln x-3|≤3,x∈[1,3]恒成立,
即0≤2mx-ln x≤6,x∈[1,3]恒成立,
即2m≥且2m≤,x∈[1,3]恒成立.
令g(x)=(x∈[1,3]),则g'(x)=,
当x∈[1,e)时,g'(x)>0,当x∈(e,3]时,g'(x)<0,所以g(x)在[1,e)上单调递增,在(e,3]上单调递减,所以g(x)max=g(e)=.
令h(x)=(x∈[1,3]),则h'(x)=<0,故h(x)在[1,3]上单调递减,
所以h(x)min=h(3)=.
所以≤m≤1+.
故实数m的取值范围为.
故选B.
17.答案　4
解析　易得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)(x∈[-1,1]).
当-1≤x<0时, f'(x)>0,此时f(x)单调递增;
当0所以当x=0时, f(x)取得极大值,也是最大值,
即f(x)max=f(0)=2,
又f(-1)=-2, f(1)=0,
所以f(x)min=f(-1)=-2.
对任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤=4,
所以M≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,等价于M≥4恒成立,即M的最小值为4.
18.解析　(1)易得f'(x)=1+(x>0),
依题意有f'(2)=0,即1+-a=0,
解得a=.
检验:当a=时, f'(x)=1+(x>0).
此时,函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,满足在x=2处取得极值.
综上,a=.
(2)依题意可得, f(x)≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立等价于f(x)min≥0在x∈[1,+∞)上恒成立.
f'(x)=1+,
令f'(x)=0,得x1=2a-1,x2=1.
①当2a-1≤1,即a≤1时, f'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,则f(x)在[1,+∞)上单调递增,
于是f(x)min=f(1)=2-2a≥0,解得a≤1,此时a≤1.
②当2a-1>1,即a>1时,
若x∈[1,2a-1),则f'(x)≤0;
若x∈(2a-1,+∞),则f'(x)>0.
所以f(x)在[1,2a-1)上单调递减,在(2a-1,+∞)上单调递增,
于是f(x)min=f(2a-1)综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1].
能力提升练
1.D　f(x)=,易知sin x≠-1,令sin x=t,t∈(-1,1],则f(x)可转化为g(t)=,t∈(-1,1],
可得g'(t)=,
令g'(t)=0,可得t=-1+或t=-1-(舍去).
当t∈时,g'(t)>0,g(t)单调递增,
当t∈时,g'(t)<0,g(t)单调递减,
所以g(t)在t=-1+处取得极大值,也是最大值,即g(t)≤g,
当t趋近于-1时,可知g(t)=趋近于-∞,
因此f(x)的值域为(-∞,4-2].故选D.
2.答案　-
解析　当x∈[π,2π]时,由f(x)=sin x+sin 2x,得f'(x)=cos x+cos 2x=2cos2x+cos x-1,
令f'(x)=0,得cos x=-1或cos x=,
解得x=π或x=.
当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增.
所以f(x)在区间[π,2π]上的最小值是f,且f(π)=f(2π)=0,
所以f(x)在区间[π,2π]上的最大值为0.
因为f(-x)=sin(-x)+sin(-2x)=-sin x-sin 2x=-f(x),x∈[-2π,-π]∪[π,2π],关于原点对称,所以f(x)是奇函数,
所以f(x)在区间[-2π,-π]上的最大值是,最小值为0.
所以f(x)在区间[-2π,-π]∪[π,2π]上的最小值为-,最大值为,
故所求最大值与最小值之积为-.
3.解析　(1)由题意得f'(x)=,
则f'=-8,
所以切线方程为y-4=-8,即y=-8x+8.
(2)令f'(x)=0,得x=1,又x∈,
所以当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(x)min=f(1)=e,
f(x)max=max=4.
4.D　由已知得函数f(x)的定义域为(1,+∞), f'(x)=ln(x-1)++a+1,
令t=x-1,t>0,则f'(x)可转化为g(t)=ln t++a+1,
函数f(x)在(1,+∞)上单调,即g(t)在(0,+∞)上无变号零点,
易得g'(t)=,当t>1时,g'(t)>0,g(t)单调递增,当0故g(t)min=g(1)=2+a,
要使g(t)在(0,+∞)上无变号零点,需2+a≥0,
∴a≥-2.故选D.
5.ACD　易得f'(x)=.
当x∈(-∞,-1)时, f'(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈(-1,2)时, f'(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈(2,+∞)时, f'(x)<0, f(x)单调递减.
故f(x)在x=-1处取得极小值,在x=2处取得极大值,A正确.
又f(-2)=e2>0, f(-1)=-e<0, f(2)=>0,
当x→+∞时,f(x)→0,
画出函数f(x)的大致图象如图所示,
所以f(x)存在两个不同的零点,B错误.
f(x)的最小值是-e,C正确.
由图可知,要使x∈[t,+∞)时,f(x)max=,只需t∈[x1,2]即可,故t的最大值为2,D正确.故选ACD.
6.D　令f(x1)=g(x2)=m,易知m>0,则=m,x2-1=m,
所以x1=ln m,x2=m+1,则x2-x1=m+1-ln m,
令h(m)=m+1-ln m(m>0),则h'(m)=1-,
令h'(m)=0,得m=,
所以当m∈时,h'(m)<0,h(m)单调递减;
当m∈时,h'(m)>0,h(m)单调递增,
所以当m=时,h(m)取得极小值,也是最小值,为ln 2,即x2-x1的最小值为ln 2.故选D.
7.A　由ex-≥a在x∈(0,+∞)上恒成立,得xex-a(ln x+x+1)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
当a=0时,上式显然成立.
当a≠0时,令f(x)=xex-a(ln x+x+1),x∈(0,+∞),
则f '(x)=ex+xex-a,
当a<0时, f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x→0+时, f(x)→-∞,不合题意.
当a>0时,由f '(x)=0,得ex=,
画出y=ex和y=的图象,如图所示,
由图象可知,存在x0,使得,所以,得x0+ln x0=ln a,
当0x0时, f '(x)>0,
所以f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
所以当x=x0时, f(x)取得极小值,也是最小值,
所以f(x)min=f(x0)=x0-a(ln x0+x0+1)
=a-a(ln a+1)=-aln a,
由-aln a≥0,得ln a≤0,得0综上,0≤a≤1.故选A.
8.答案　(2e-4,+∞)
解析　根据题意可知,若g(x)在区间D上为“M函数”,则2g(x)min>g(x)max,且g(x)min>0.
因为f(x)在区间上为“M函数”,
所以2f(x)min>f(x)max,且f(x)min>0.
因为f(x)=-ln x+k=1--ln x+k,所以f '(x)=,
令f '(x)<0,得10,得≤x<1,
所以f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=k.
易知f +k=2+k-e, f(e)=1--ln e+k=k-,
则f <0,即f f =2+k-e.
所以解得k>2e-4,所以实数k的取值范围为(2e-4,+∞).
9.答案　
解析　因为ae2x+x+ln a≥ln x对任意x∈(0,+∞)都成立,
所以ae2x+2x+ln a≥ln x+x,即eln ae2x+(2x+ln a)≥ln x+eln x,即e2x+ln a+(2x+ln a)≥eln x+ln x对任意x∈(0,+∞)都成立.
记g(x)=ex+x,则g'(x)=ex+1>0,
所以g(x)在R上单调递增,
因为e2x+ln a+(2x+ln a)≥eln x+ln x,
所以g(2x+ln a)≥g(ln x),
根据g(x)的单调性可知,只需2x+ln a≥ln x对任意x∈(0,+∞)都成立即可,
即ln a≥ln x-2x对任意x∈(0,+∞)都成立.
记h(x)=ln x-2x,只需ln a≥h(x)max,
易得h'(x)=,故在上,h'(x)>0,h(x)单调递增,在上,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)max=h=ln -1=-ln 2-1,
所以ln a≥-ln 2-1,解得a≥.
10.解析　函数f(x)=的定义域为{x|x≠±1},
f'(x)=.
(1)由已知可得f'(2)==-1,解得a=-1.
(2)令g(x)=-x2+2ax-1(x>1).
①当a≤0时,g(x)=-x2+2ax-1<0恒成立,则f'(x)<0,
此时函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,没有最大值.
②当0此时函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,没有最大值.
③当a>1时,方程-x2+2ax-1=0的两根分别为x1=a-.
由a>1可知0x (1,a+) a+ (a+,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
所以函数f(x)在x=a+处取得极大值,也是最大值.
综上所述,实数a的取值范围是(1,+∞).
11.解析　(1)当a=1时, f(x)=ln x+x2-3x,
则f'(x)=,
当x∈[1,e]时, f'(x)≥0, f(x)单调递增,
所以f(x)在区间[1,e]上的最大值为f(e)=e2-3e+1.
(2)由题意得f'(x)=,x∈[1,e].
当≤1,即a≤2时,在区间[1,e]上, f'(x)≥0恒成立, f(x)单调递增,
所以f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(1)=1-(a+2)=-a-1.
当1<0, f(x)单调递增.
所以f(x)在区间[1,e]上的最小值为f-(a+2)·-a.
当≥e,即a≥2e时,在区间[1,e]上, f'(x)≤0恒成立, f(x)单调递减,
所以f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(e)=a+e2-(a+2)e=(1-e)a+e2-2e.
所以g(a)=
12.解析　(1)由题意得x≠0.
当a=0时, f(x)=ex,
则f'(x)=ex·=ex·<0,
∴f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减.
(2)(i)∵f(x)=,x<0,
∴f'(x)=,x<0,
由题意知f'(x)=0有两个不相等的负实数根.
令h(x)=(-x2+x-1)ex-a,x<0,
则h'(x)=ex(-x2-x)=-exx(x+1),
∴当x∈(-∞,-1)时,h'(x)<0,
当x∈(-1,0)时,h'(x)>0,
∴h(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
∵h(0)=-1-a,h(-1)=-a,且h(-2)=-a>h(0),
∴h(x)=0有两个负根只需
解得-(ii)由(i)可知,h(-2)>h(0)>0,h(-1)<0,
∴ x0∈(-2,-1),使得h(x0)=0,则a=(-,即f'(x0)=0,
且在(-2,x0)上,h(x)>0,即f'(x)>0, f(x)单调递增,
在(x0,-1)上,h(x)<0,即f'(x)<0, f(x)单调递减,
∴x0为f(x)的极大值点,
∴f(x)的极大值为f(x0)=,x0∈(-2,-1).
设g(x)=-xex,x∈(-2,-1),
则g'(x)=-ex-xex=-ex(x+1)>0,
∴g(x)在(-2,-1)上单调递增,
∴g(x)∈,即f(x0)∈,
∵f(x)的极大值小于整数k,∴kmin=1.
13.解析　(1)f'(x)=·eax+a·eax=·eax.
当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a<0时,令f'(x)>0,得0令f'(x)<0,得x>-,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)当00,>0≥恒成立.
当x>1时, 2aln eax-2aln x≥ln(ln x)-ln(ax) 2aln eax+ln(ln eax)≥2aln x+ln(ln x),
令g(x)=2ax+ln x,则原不等式等价于g(ln eax)≥g(ln x)恒成立,
因为g'(x)=2a+>0,所以函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,因此 x>1,ln eax≥ln x,
即 x>1,ax≥ln x a≥,
令h(x)=,x>1,则h'(x)=,
当10,当x>e时,h'(x)<0,所以函数h(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(e)=,因此a≥.
所以实数a的取值范围是.
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