2024-2025学年上学期人教A版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(二)（含解析）

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2024-2025学年上学期人教A版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若过点的直线l与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为( )
A.4 B. C. D.
2．已知圆和圆,则与的位置关系是( )
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
3．如果椭圆的方程是,那么它的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
4．已知点,,若,则( )
A.1 B. C.1或 D.或5
5．若空间中四点A,B,C,D满足,则( )
A. B.3 C. D.
6．我国古代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”，意思是说，有一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切），如图所示已知圆O的半径为2丈，过C作圆O的两条切线，切点分别为M，N，若，则对角线AC长度为( )
A.丈 B.丈
C.丈 D.丈
7．抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B.1 C.2 D.4
8．已知向量，，则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
10．已知椭圆C:的左,右焦点分别为,,点P为椭圆C上一动点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.的最大值为6
C.的周长为10
D.存在点P,使得为等边三角形
11．已知曲线,则下列结论正确的有( )
A.若,则C是焦点在轴上的椭圆
B.若,则C是圆
C.若,则C是焦点在轴上的椭圆
D.若,则C是两条平行于y轴的直线
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若直线与直线平行，则与之间的距离为___________.
13．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为___________.
14．若点和点关于直线对称，则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在空间四边形中，连接，设M，G分别是，的中点，化简下列各向量表达式：
(1)；
(2).
16．平面几何中有一定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（三角形外接圆的圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称，.
（1）若，点B在第二象限，直线轴，求点B的坐标；
（2）若A，D，E三点共线，有一内切椭圆，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.
17．化简：.
18．如图,在平面四边形ABCD中,,,且,以BD为折痕把和向上折起,使点A到达点E的位置,点C到达点F的位置,且E,F不重合.
(1)求证：;
(2)若点G为的重心（三条中线的交点）,平面ABD,求直线与平面所成角的余弦值.
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，E，F分别是线段和上的点，.
(1)试确定点F的位置，使得平面，并证明；
(1)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：可化为，可得圆心，半径.
当时，最小，此时点C到l的距离，
所以的最小值为.
故选：C
2．答案：A
解析：由,可得与的圆心距是5,又,所以与外切,故选A.
3．答案：C
解析：由,则它的焦点坐标是,故选C.
4．答案：C
解析：因为点,,所以,
所以,则.
故选:C.
5．答案：A
解析：,
,
即,则.
故选:A.
6．答案：A
解析：记OC与MN相交于E，
过O作AB的垂线，与AB相交于F点，如图所示，
丈，丈，
则丈，
在中，，
则，
中，丈，
中，丈，
，则丈，
所以丈
故选：A.
7．答案：C
解析：因为抛物线的焦点到准线的距离为p，
所以由抛物线可得，
则焦点到其准线的距离为2.
故选：C
8．答案：B
解析：∵，
故选:B
9．答案：BCD
解析：A选项：令，
则，解得，
即，，共面，故A选项不符合题意；
B选项：设，
则，此方程组无解，
即，，不共面，故B选项符合题意；
C选项：设，则，
此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意；
D选项：设，
则，
此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意；
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：由椭圆,可得,,则,
对于选项A,椭圆C的离心率,故A正确;
对于选项B,当点P为椭圆C的右顶点时,可得,故B正确;
对于选项C,的周长为,故C错误;
对于选项D,当点P为椭圆C的短轴的端点时,可得,,此时为等边三角形,故D正确.
故选:ABD
11．答案：ABD
解析：对于A,若,则,
所以C是焦点在轴上的椭圆,故A正确;
对于B,若,则曲线,
所以C是圆,故B正确;
对于C,若,则,
所以C是焦点在轴上的椭圆,故C错误;
对于D,若,则,
所以C是两条平行于y轴的直线,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：因为直线与直线平行，
所以直线斜率存在，且，得到，此时，即，满足，
所以与之间的距离，
故答案为：.
13．答案：
解析：法一：因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量，
又直线上有两个点，，
所以直线l的方向向量为，
所以直线l与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
法二：由题知两平面与的法向量分别为，，
设直线l的一个方向向量，
则即，取，则，
又平面的法向量，
所以直线l与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为点和点关于直线对称，
所以l是线段的垂直平分线，由，可得，解得.
又的中点坐标为，所以，解得.
故.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)，
∵G是的中点，
∴；
(2)∵M是的中点，
∴，
∴.
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为，D和E关于原点O对称，所以.
设BC与x轴的交点为，如图所示.
由题意可得，
即，解得.
设，因为，所以，
则，解得.
所以.
（2）证明：因为D和E关于原点O对称，且A，D，E三点共线，
所以A，D，E，O四点共线，即点A，D，E，O都在x轴上.
因为，所以轴.
因为的外心为E，所以，所以点B与点C关于x轴对称.
设BC与x轴的交点为，，，，（，且）.
由题意可得，即，化简得.
直线CD的斜率为，直线AB的斜率为，
所以，化简得.①
直线AB的方程为.
由有一内切椭圆，可得F为BC与椭圆的切点，所以.
联立整理得.
，
即.
因为，所以，
即，即.
结合①可得.
设椭圆T的焦距为2c，则，
所以D，E为椭圆T的两个焦点.
17．答案：
解析：原式
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)由题知,,
设BD的中点为H,连接EH,FH,因为,所以,
又因为,所以,且平面EFH,,
所以平面,又平面EFH,所以.
(2)中,由勾股定理得,,所以为等边三角形.
连接AG并延长交BD于H,.过G作 ,
以G为原点,如图所示建立空间直角坐标系.
在中,,,
,,,,
,,,
设平面ABE的法向量为,
由,,不妨取,
设BD与平面ABE所成角为,
则,
.
故BD与平面ABE所成角的余弦值为.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：(1)取F为三等分点，且，过F作，
则，所以为平行四边形，
所以，又面，面，
所以平面，证毕；
(2)由题意平面底面，平面底面，，
所以面，所以直线与平面所成角的平面角为，
在中，由，得.
设中点为O，设中点为Q，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，取，可得，
易求平面法向量，设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为
（其他做法，请参照给分）
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