2024-2025学年上学期人教A版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(三)（含解析）

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2024-2025学年上学期人教A版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若B点的坐标为,F是抛物线的焦点,点P为抛物线上的动点,则取得最小值的P的坐标为：( )
A. B. C. D.
2．已知，分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线C右支上的一个动点，且的最小值是，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3．设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为( ).
A. B. C. D.
4．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点E是的中点已知，，，则( )
A. B. C. D.
5．已知为双曲线的左焦点,过点的直线与圆交于A,B两点（A在,B之间）,与双曲线E在第一象限的交点为P,Q为坐标原点,若,,则双曲线E的离心率为( )
A. B. C. D.
6．若F是抛物线的焦点,P是抛物线C上任意一点,的最小值为,且A,B是抛物线C上两点,,则线段的中点到y轴的距离为( )
A.3 B.2 C. D.
7．已知双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则C的离心率为( )
A.3 B. C. D.
8．已知，，则( )
A. B. C.0 D.1
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，是双曲线的左、右焦点，是C上一点.若C的离心率为，连结交C于点B，则( )
A.C的方程为
B.
C.的周长为
D.的内切圆半径为
10．如图，已知正方体的棱长为2，点E，F分别为棱，的中点，，则( )
A.无论取何值，三棱锥的体积始终为1
B.若，则
C.点到平面的距离为
D.若异面直线与所成的角的余弦值为，则
11．已知双曲线的左焦点为F,P为C右支上的动点,过P作C的一条渐近线的垂线,垂足为A,O为坐标原点,则下列说法正确的是( )
A.点F到C的一条渐近线的距离为2
B.双曲线C的离心率为
C.则P到C的两条渐近线的距离之积大于4
D.当最小时,则的周长为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A在双曲线C上，点B在y轴上，，则双曲线C的离心率为___________.
13．设O是坐标原点,是椭圆的左焦点,椭圆上的点P关于O的对称点是Q,若,,则该椭圆的离心率是__________.
14．点到直线的距离是________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知双曲线（，）的右顶点，斜率为1的直线交C于M，N两点，且线段MN的中点为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）证明：为直角三角形；
（3）若过双曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
16．如图,四棱台的底面为菱形,,,,点E为中点,,.
（1）证明:平面;
（2）若,求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过右焦点的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，，求直线l的方程.
18．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上
(1)求椭圆C的方程；
(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆C于A、B两点，若的面积是，求直线的方程
19．已知双曲线E的渐近线为，左顶点为.
（1）求双曲线E的方程；
（2）直线交x轴于点D，过D点的直线交双曲线E于B，C，直线，分别交l于G，H，若O，A，G，H均在圆P上，
①求D的横坐标；
②求圆P面积的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：设抛物线的准线方程为：,,过P作,垂足为A,
所以,要想取得最小值,只需P,A,B在一条直线上即可,
此时,P坐标为,
故选：B.
2．答案：B
解析：方法一：不妨设，，，且，则，所以，解得，，故双曲线C的渐近线方程为.故选B.
方法二：因为，所以，解得，则，故双曲线C的渐近线方程为.故选B.
3．答案：A
解析：由，
得,
即,
所以,
所以中,边上的中线等于的一半,
则.
即,
又,
解得，
又.
所以.
故选：A
4．答案：B
解析：由已知，，
则，
故选：B.
5．答案：D
解析：依题意,可得如图所示：
设双曲线的右焦点为,
因为圆,所以半径,
过圆心O作弦的垂线,垂足为H,则H为的中点,
又,所以H为的中点,又O为的中点,
所以且,又,所以,
因为,所以,所以,
又因为,,
所以,
所以双曲线的离心率为：.
故选：D.
6．答案：B
解析：根据题意可知,
如图,取AB中点E,分别过点A、B、E作,,于点D、C、G,
DG与y轴交于点H.
根据抛物线的定义可得：,
.
因为GE为梯形ABCD的中位线,所以
所以线段的中点到轴的距离.
故选：B.
7．答案：D
解析：依题意，双曲线的渐近线方程为，因为一条渐近线与直线垂直，直线的斜率为，所以，则双曲线C的离心率.故选D.
8．答案：B
解析：，，
故选：B.
9．答案：ABD
解析：，
，
双曲线，A对.
，，，，
，，B对.
，，
，周长，C错.
令，则，
，，
内切圆半径
D对.
选ABD.
10．答案：AB
解析：对于A，因为正方体的棱长为2，点E，F分别为棱，的中点，
所以，
在正方体中，平面，
由等体积法知，，
所以无论取何值，三棱锥的体积始终为1，故A正确；
对于B，由题意可知，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示
因为正方体的棱长为2，
所以，，，，，
由，得，设，则
所以，，
所以，所以，解得，
所以，
所以，，
所以，故B正确；
对于C，由B选项建立的空间直角坐标系知，，，，
设，则，，，
所以，所以，解得，所以，
所以，，，
设平面的法向量为，则
，即，令，则，，
所以，
所以点到平面的距离为，
由于无法确定，所以点到平面的距离无法确定，故C错误；
对于D，由B选项建立的空间直角坐标系知，，，，，，，
设，则，，
所以，所以，解得，所以，
所以，，
因为异面直线与所成的角的余弦值为，则
，即，解得或（舍），故D错误.
故选：AB.
11．答案：BCD
解析：双曲线的渐近线为,左焦点,所以点F到C的一条渐近线的距离为,所以A错误;
由双曲线方程可得,,所以离心率,所以B正确;
设点,则,即,
点P到两渐近线距离分别为和,
则,所以C正确;
设双曲线的右焦点,则,所以,
若最小,则只需最小即可,
过作垂直渐近线与点A,交双曲线右支与点P,此时最小,
,由勾股定理得,所以,所以,
所以的周长为,所以D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：,
又,
则,
,
即，
.
13．答案：
解析：由,,
可得,.
【法一】则由椭圆的定义不妨设,,
由余弦定理和中线长公式得
即,
得,则,
【法二】设,,
即
化简得,
即,得.
14．答案：
解析：点到直线的距离为,
故答案为:
15．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）设，，则，，
，N两点在双曲线C上，
由得，
即，，
，即，.
又，，双曲线C的标准方程为.
（2）证明：由已知可得，直线MN的方程为，即，
联立，，则，，
，
，为直角三角形.
（3）由题意可知，直线AB的倾斜角不为0，
故设直线AB的方程为，，，，
，，
点P在双曲线C上，，
，
③.
又，，
，④.
联立，
则，
则⑤，⑥.
，B分别在第一象限和第四象限，，，
由④式得，
⑦，
将⑤⑥代入⑦得，
，即.
.
令，，
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，，.
故面积的取值范围为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接、,
因为四边形为菱形,
所以是边长为4的正三角形,
因为E为中点,所以,,
又因为,,,平面,所以平面,
又平面,
所以,
又,,,
所以,所以,
又因为,,平面,
所以平面.
（2）因为直线,,两两垂直,以D为原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
所以,,
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,得,所以,
由题意知,是平面的一个法向量,
设平面与平面的夹角为,
则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设焦距为，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点，
易知，则
，
显然时，
由题意得解得，，，
所以椭圆C的方程为；
（2）设，，
因为，所以，
所以①，
设直线l的方程为，联立得，整理得，
由韦达定理得，
把①式代入上式得，得，
解得，
所以直线l的方程为：或.
18．答案：(1)
(2)或
解析：(1)根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆C上，
又的横坐标为1，所以椭圆必不过，
则，，三点在椭圆C上
把，代入椭圆C，
得：
解得，，
所以椭圆C的方程为.
(2)由(1)知，
当直线斜率为0时，不符合题意，
当直线斜率不为0时，
可设直线的方程为：，，，
联立，
消x得：，
，
则
又，
即，
即，
化简得
解得，
所以直线的方程为：或.
19．答案：（1）
（2）①；②且
解析：（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x轴上，
可设双曲线的方程为（，），
从而渐近线方程为：，由题条件知：.
因为双曲线的左顶点为，
所以，，
所以双曲线的方程为：.
（2）如图，
①，设直线的方程为：，
将代入方程：，得，
当且时，
设，，则，.
设直线的倾斜角为，不妨设，则，
由于O，A，G，H四点共圆知：，
所以直线的倾斜角为，.
直线的方程为：，
令，则，从而，
所以，又，
得：，
又，代入上式得：
，
，
，
化简得：，解得：（舍）或.
故点D的坐标为.
②直线的方程为，由①知：，
所以.
直线方程；，所以，
若G，H在x轴上方时，G在H的上方，即时，；
若G，H在x轴下方时，即时，，
所以或.
又直线与渐近线不平行，所以.
所以，或且.
因为，
设圆P的半径为R，面积为S，则，
所以
，
当且仅当即时，上述不等式取等号，
或且.
所以且，从而且.
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