2024-2025学年上学期人教A版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(一)（含解析）

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2024-2025学年上学期人教A版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且过两点,的椭圆方程为( )
A. B.
C. D.
2．如图，在正方体中，，M，N分别是棱，的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C.1 D.
3．直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
4．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5．已知坐标原点不在圆的内部，则m的取值可能为( )
A.1 B. C.2 D.
6．已知直线的倾斜角为，则实数m的值为( )
A. B. C. D.
7．已知点，，直线，若A，B位于直线l的两侧，则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8．已知空间向量，，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线是( )
A. B. C. D.
10．已知直线l过点,且在x轴上的截距是y轴上的截距的3倍,则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
11．下列圆中与圆相切的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示,忽略杯盏的厚度,这只杯盏的轴截面如图2所示,其中光滑的曲线是抛物线的一部分,已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为,则该抛物线的焦点到准线的距离为____________.
13．过原点的一条直线与圆相切,交曲线于点P,若,则p的值为___________．
14．设双曲线的左、右焦点分别为,,P为双曲线右支上一点,且,则的大小为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知抛物线的准线方程为．
(1)求抛物线C的方程;
(2)直线交抛物线C于A、B两点,求弦长．
16．如图,已知正方体的棱长为2,M为的中点.
(1)求证：平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．求满足下列条件的圆的标准方程.
（1）圆心为，经过点；
（2）圆心在直线上，且与y轴交于点，.
18．定义：P是圆C外一点，过点P所作的圆C的两条切线，（M，N为切点）相互垂直，记圆D经过点P，M，N，C，则称P为圆C的“伴随点”，圆D为“伴随圆”.已知O为坐标原点，圆，P为圆O的“伴随点”，圆G为“伴随圆”.
(1)求点P所在曲线的方程.
(2)已知点P的横坐标为6，且位于第一象限.
（i）求圆G的方程；
（ii）已知M，N为过点P所作的圆O的两条切线的切点，直线与x，y轴分别交于点E，F，过点且斜率为k的直线l与圆G有两个不同的交点A，B，若，求l的方程.
19．如图,在四棱锥中,是正三角形,四边形为等腰梯形,且有,E,F分别是,的中点,动点Q在上.
（1）证明:平面平面;
（2）当时,求平面与平面所成角的余弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：设椭圆方程为,
把点,代入得：所以
故选：D．
2．答案：B
解析：如图，以D为原点，，，方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下所示：
易知，，，
，，;
取，
，
则，，
所以点到直线的距离为.
故选：B.
3．答案：C
解析：由,得,所以直线斜率为,
又当直线斜率存在时,直线的一个方向向量为,所以直线的一个方向向量为,
故选:C.
4．答案：D
解析：记为点P，则直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线l的斜率k的取值范围是.
故选：D.
5．答案：A
解析：依题意，方程表示圆，则，解得.
因为坐标原点不在圆的内部，所以.
综上所述，，结合选项可知A符合题意.
故选：A
6．答案：C
解析：直线的倾斜角为，
所以斜率一定存在，且，
直线即，
所以斜率，即.
故选：C
7．答案：B
解析：由，可得，
所以直线l恒过点，
则，，
由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可，
故k的取值范围为.
故选：B
8．答案：C
解析：设与的夹角为.由，得，
两边平方得，所以，
解得.又，所以.
故选：C.
9．答案：AD
解析：点在抛物线外,过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条：
其中两条是抛物线的切线;一条平行于抛物线的对称轴;
可得：直线是过且与抛物线相切的直线,
直线是过且平行于抛物线的对称轴的直线,
BC选项的直线不满足条件．
故选：AD.
10．答案：BD
解析：当截距为0时,设直线l的方程为,
将点代入可得,所以,即;
当截距不等于0时,设直线l的方程为,
将点代入可得,解得,
所以直线l的方程为,即,
所以直线l的方程为或.
故选:BD
11．答案：AB
解析：由题知，圆C的圆心为，半径为4.
A选项，的圆心为，半径为2，故，
由于，所以圆C与内切，A正确；
B选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆C与外切，B正确；
C选项，的圆心为，半径为4，故，
由于，故圆C与不相切，C错误;
D选项，的圆心为，半径为1，故，
由于，故圆C与不相切，D错误.
故选：AB.
12．答案：
解析：如图,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为y轴,建立直角坐标系,
依题意可得A的坐标为,
设抛物线的标准方程为,则,解得.
故该抛物线的焦点到准线的距离为.
故答案为：.
13．答案：6
解析：易知圆和曲线关于x轴对称,不妨设切线方程,,
所以,解得：,由解得：或,
所以,解得：．
当时,同理可得．
故答案为：6．
14．答案：
解析：因为双曲线,则,,所以,
因为P为双曲线右支上一点,所以,又,
所以,,,
由余弦定理,
即,解得,又,
所以.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)8
解析：(1)由抛物线的准线方程为,得,．
抛物线C的方程为．
(2)设,,
由消去y,得,则,．
又直线l过抛物线C的焦点,
．
16．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)以点A为坐标原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为正方体的棱长为2,M是的中点,
所以、、、、、、,
,.
设平面的法向量为,由,
令,则,,所以.
因为,所以,
因为平面,所以平面;
(2)由(1)知,平面的法向量.
又平面的法向量为.
设平面与平面的夹角为,
则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由两点间的距离公式可得圆的半径
故圆的标准方程为
（2）因为圆与y轴交于点，，所以圆心在直线上.
又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，
所以圆的半径，
故圆的标准方程为.
18．答案：(1)；
(2)（i）；（ii）.
解析：（1）因为P为圆O的“伴随点”，所以四边形为正方形，
则，
所以点P的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
故点P所在曲线的方程为.
（2）由题可知.
（i）因为四边形为正方形，所以圆心G的坐标为，
半径为，
故圆G的方程为.
（ii）因为直线为圆G与圆O的公共弦所在直线，
所以直线的方程为.
令，可得，令，可得，
所以.
由题意，可知直线l的方程为，
代入方程，整理得.
设，，则，，
所以
.
由题意可得，解得或.
经检验，当时，不满足；
当时，满足.
故l的方程为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为四边形等腰梯形,E,F分别为,的中点,所以,
又因为,所以,
又因为,,,所以平面,
而平面,所以平面平面.
（2）当时.
假设,所以,
得到,所以.
如图建立空间直角坐标系,得,,,
,.
设平面的一个法向量,
,.
则
取得.
设平面的一个法向量,,,
取得.
设平面与平面所成角为,
则,
所以平面与平面所成角的余弦值为.
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