2024-2025学年上学期苏教版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(二)（含解析）

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2024-2025学年上学期苏教版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(三)
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，则直线恒过定点( )
A. B. C. D.
2．下列可使非零向量，，构成空间的一组基底的条件是( )
A.，，两两垂直
B.
C.
D.
3．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于( )
A. B. C. D.4
4．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，G是的重心，记，，，则等于( )
A. B. C. D.
5．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
6．已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为( )
A. B. C.2 D.1
7．设,则“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．设圆与y轴交于A,B两点(A在B的上方),过B作圆O的切线l,若动点P到A的距离等于P到l的距离,则动点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则下列各式成立的是( )
A. B. C. D.
10．如图,在四棱锥中,已知底面,底面为等腰梯形,,,,记四棱锥的外接球为球O,平面与平面的交线为l,的中点为E,则( )
A.
B.
C.平面平面
D.l被球O截得的弦长为1
11．如图，四棱柱中，M为的中点，Q为上靠近点的五等分点，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则与的夹角为____________.
13．O为空间任意一点，若，若ABCP四点共面，则____________.
14．若关于x的方程有两个不等实根，则实数k的取值范围是____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.
16．如图，三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，，设，，.
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，求MN的长
17．如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，O为的中点，，.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值
18．在四棱锥中,已知平面,,,,E是线段上的点,.
（1）证明:平面;
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
19．已知动圆M与圆外切,与圆内切,记动圆M圆心的运动轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)若A,B分别是C的左 右顶点,P是圆上一点,设和的夹角为,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，
所以，
由，
可得，
所以，
当时，
所以对a，b为任意实数均成立,
故直线过定点.
故选：A.
2．答案：A
解析：由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底.
对于A，因为非零向量，，两两垂直，
所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；
对于B，，则，共线，
由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，
所以与，共面，故B错误；
对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误；
对于D，
即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误.
故选：A.
3．答案：C
解析：由题意可得，
故选：C
4．答案：D
解析：易知，设中点为E，
则，
所以，故选D
5．答案：C
解析：由题意，得，即，故选C.
6．答案：D
解析：依题意在区间上有零点，
整理得在上有解，
表示坐标系aOb中，直线（x看成参数）上的点，
所以表示原点到直线上的点的距离的平方，
设
，
由于，
所以当时，取得最小值为，
所以的最小值为1.
故选：D
7．答案：A
解析:若直线与直线平行,则,解得或,经检验或时两直线平行.故选A.
8．答案：A
解析:因为圆与轴交于A,B两点(A在B的上方),
所以,,
又因为过B作圆O的切线l,
所以切线l的方程为,
因为动点P到A的距离等于P到l的距离,
所以动点P的轨迹为抛物线,且其焦点为,准线为,
所以P的轨迹方程为.
故选:A.
9．答案：AD
解析：对于A，由题知点在直线上，所以，故A正确；对于B，函数的图象在点处的切线方程是，所以，故B错误；对于C，若，虽然满足，，但只是一种可能情况，该函数还可以为，也满足，，故C错误；对于D，由题得，所以，故D正确.故选AD.
10．答案：ABD
解析：对于A,因为,平面,平面,
所以平面,
又因平面与平面的交线为l,
所以,故A正确;
对于B,连接,,
在等腰梯形中,因为,,的中点为E,
所以四边形,都是菱形,
所以,,所以,
因为底面,面,
所以,
又,所以平面,
又因平面,所以,故B正确;
对于C,如图以A为原点建立空间直角坐标系,
则,,,
则,,,,
设平面的法向量,平面的法向量,
则,可取,
同理可取,
因为,所以与不垂直,
所以平面与平面不垂直,故C错误;
对于D,由B选项可知,,则点即为四边形外接圆的圆心,
故四棱锥的外接球的球心O在过点E且垂直于面的直线上,
设外接球的半径为R,则,则,
所以,
设与l所成的角为,点O到直线l的距离为d,
,,,
因为,直线l的方向向量可取,,
则,所以,
所以,
所以l被球O截得的弦长为,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：，
即，故A错误、B正确；
，
即，故C错误，D正确.
故选：BD.
12．答案：
解析：因为，
所以与的夹角为.
故答案为：
13．答案：
解析：空间向量共面的基本定理的推论：，
且A、B、C不共线，
若A、B、C、P四点共面，
则，
因为O为空间任意一点，
若，
且A、B、C、四点共面，
所以，，解得.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意，得.
设，则.
由题意，知过定点的直线与半圆有两个交点.
如图，记O为原点，则直线PO的斜率为，所以.由直线与圆有两个交点，得圆心到直线l的距离小于半径1，
即，所以，解得.所以k的取值范围是.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题意，，即，
又，所以，
故，
故所求椭圆的标准方程为.
（2）如图，
由题意知：直线l的斜率k存在且不为零，
设，，，，中点，
联立，消去y并整理得：，恒成立，
则，，，
，
则方程为：，即，
化简得：
设直线在y轴上截距为m，令得，
由可知，
所以直线在y轴上的截距的取值范围为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)
，
∴；
(2)，
，
，
，
，
即MN的长为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接，，
则，
在中，O为的中点，
由，得，由，，
得，，
则，
于是，
又，、平面，
所以平面.
(2)由，O为的中点，
得，又平面，
则以为原点，以、、方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，，
，，
，
设平面法向量为，
则，
令，则，
所以为平面的一个法向量，
设平面法向量为，
则，
令，则，
即，
设平面与平面的夹角为，
则
，
所以平面与平面夹角的余弦值.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接交于点F,连接,如下图所示:
因为,则,,所以,,
所以,,
又因为,所以,,
因为平面,平面,故平面.
（2）因为平面,,且,则,
以点C为坐标原点,、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
因为,则,
,,
设平面的法向量为,
则,
取,则,
所以为平面的一个法向量,
设平面的法向量为,,
则,
取,则,,
,
所以,,
因此,平面与平面夹角的余弦值为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题可知,的半径为,的半径为,
设M的半径为r, 由 M与外切,与内切,得 ,,
则.
由椭圆的定义知, 曲线C是长轴长为,左、右焦点分别为,的椭圆.
故C的方程为.
(2)由(1)可知,,,设,则,,
则,
所以 ,则,得,
若P在x轴上, 则,从而.
若P在不在x轴上,则,
且,由,得,
则, 得.
因为,所以, 则,
由,
解得.
综上所述,的取值范围为.
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