2024-2025学年上学期苏教版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(三)（含解析）

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2024-2025学年上学期苏教版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(三)
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为( )
A.
B.
C.
D.
2．平面直角坐标系xOy中，P为圆上的动点，过点P引圆的切线，切点为T，则满足的点P有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3．过点且倾斜角为的直线方程为( )
A. B.
C. D.
4．已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．在圆内,过点的最长弦和最短弦分别是和,则四边形的面积为( )
A.24 B.12 C.10 D.8
6．已知椭圆的离心率为,,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若,则C的方程为( )
A. B. C. D.
7．已知过点和点的直线为,.若,,则的值为( )
A.-10 B.-2 C.0 D.8
8．过、两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图所示，边长为2的等边从起始位置（与y轴重合）绕着O点顺时针旋转至与x轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是( )
A.边所在直线的斜率的取值范围是
B.边所在直线在y轴上截距的取值范围是
C.边与边所在直线的交点为
D.当的中垂线为时，
10．下列四个选项中正确的是( )
A.方程与方程可表示同一直线
B.直线l过点，倾斜角为90°，则其方程是
C.直线l过点，斜率为0，则其方程是
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
11．如图，点，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线.则( )
A.曲线与x轴围成的图形的面积等于
B.与的公切线的方程为
C.所在圆与所在圆的公共弦所在直线的方程为
D.所在的圆截直线所得弦的长为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是___________.
13．经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是________.
14．圆心在直线上,并且经过点,与直线相切的圆的方程为______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC满足，，，.
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标.
16．已知椭圆的左顶点为A，离心率为，且与直线相切.
（1）求椭圆C的方程.
（2）若斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于M，N两点（异于点A），且，则直线l是否过定点？若过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与椭圆，A，B分别为的左、右顶点，点P在双曲线上，且位于第一象限.
（1）直线OP与椭圆相交于第一象限内的点M，设直线PA，PB，MA，MB的斜率分别为，，，，求的值；
（2）直线AP与椭圆相交于点N（异于点A），求的取值范围.
18．已知平面直角坐标系中三点，，.
（1）求直线AB的斜率和倾斜角；
（2）若以A，B，C，D为顶点可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标；
（3）若是线段AC上一动点，求的取值范围.
19．已知椭圆C过点，焦距为，设P为C上的一点，，是C的左、右焦点，若，求：
（1）椭圆的标准方程；
（2）的面积.
参考答案
1．答案：C
解析：设椭圆方程为，
双曲线的焦点坐标为，
又短轴长为2，故，解得：，
则，故椭圆方程为.
故选：C
2．答案：C
解析：设点P的坐标为，则①.由得圆的圆心坐标为，半径为1，
所以，，
因为，
所以，
化简可得②.联立①②解得或
所以点P的坐标为或，
故满足的点P有2个.
3．答案：D
解析：因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，
所以直线方程为，
即，
故选：D
4．答案：A
解析：直线与直线平行，线段AB的中点为，
，化简可得.
，，解得，
设，，
，
，.
故选A.
5．答案：B
解析：化圆为,
可得圆心坐标为,半径为3.
由圆的性质可得,最长的弦即圆的直径,故.
因为,所以.
弦最短时,弦与垂直,且经过点O,此时.
故四边形的面积为.
6．答案：B
解析：因为离心率,解得,,
,分别为C的左右顶点,则,,
为上顶点,所以.
所以,,因为
所以,将代入,解得,,
故椭圆的方程为.
故选：B.
7．答案：A
解析：因为,所以,解得,又,所以,
解得.所以.
故选：A.
8．答案：C
解析：设直线的倾斜角为，则，所以，，.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：由题意可知，、、、，
，，
对于A选项，边所在直线斜率的取值范围是，A对；
对于B选项，设边的中点为E，则，且，
设点，其中为锐角，设，则，
因为，则，
，则，
所以，直线的方程为，即，
所以，边所在直线在y轴上截距为，B错；
对于C选项，直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，
因此，边与边所在直线的交点为，C对；
对于D选项，当的中垂线为时，即，则，
则，所以，，D对.
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：对于A，方程表示直线上去掉点所形成的两条射线，与方程表示的图形不相同，A故错误；
对于B，直线l过点，倾斜角为，该直线的斜率不存在，垂直于x轴，其方程为，故B正确；
对于C，直线l过点，斜率为0，则其方程为，即，故C正确；
对于D，若直线l垂直于x轴，则直线l的斜率不存在，该直线没有点斜式和斜截式方程，故D错误.
故选：BC.
11．答案：BC
解析：，，所在圆的方程分别为，，.曲线与x轴围成的图形为一个半圆、一个矩形和两个圆，其面积为，故A错误；设与的公切线方程为（，），则，所以，，所以与的公切线的方程为，即，故B正确；由及，两式相减得，即公共弦所在直线方程，故C正确；所在圆的方程为，圆心为，圆心到直线的距离为，则所求弦长为，故D错误.
12．答案：14
解析：由，则，由P在椭圆上，故有，又.所以.
故答案为：14.
13．答案：或
解析：联立两直线方程可得：，解得，
可得两条直线交点.
直线经过原点时，可得直线方程为；
直线不经过原点时，设直线方程为，
把交点代入可得，解得a=2.
所以直线的方程为.
综上直线方程为:或
故答案为:或
14．答案：
解析：由题意设圆心为,
因为圆过点,所以圆的半径为,
因为直线与圆相切,
所以,
化简得,得,
所以圆心为,半径,
所以圆的方程为,
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得直线AB的倾斜角为，故直线AB的斜率，又点，所以直线AB的方程为，即.
（2）因为，所以直线OC的方程为，因为，所以直线OB的倾斜角为，所以斜率，直线OB的方程为.
由解得即点.又，则直线BC的斜率，因此直线BC的方程为，即.由解得即点，所以点C的坐标是.
16．答案：（1）
（2）直线l过定点
解析：（1），所以，
所以椭圆C的方程为，
由得，
由题意可得，
解得，则，所以椭圆C的方程为.
（2）直线l过定点，理由如下.
由（1）得，设直线l的方程为，，.
由得，
由，得，且，.
由，得，
即，
即，
整理得，解得或（舍去）.
当时，满足，
所以直线l的方程为，则直线l过定点.
17．答案：（1）0
（2）
解析：（1）方法一：设直线，
由得，所以解得.
设（，），则所以.
由得，
设（，），则所以.
因为，，
所以，
，
所以.
方法二：设（，），（，），
因为，，所以，
.
因为点P在双曲线上，所以，所以，所以.
因为点M在椭圆上，所以，所以，所以.
因为O，P，M三点共线，所以，
所以.
（2）设直线AP的方程为，
由可得，
解得，，所以点P的坐标为，
因为点P位于第一象限，所以解得.
由可得，
解得，，
所以点N的坐标为，
所以，
设，则，所以.
因为函数在区间上单调递增，
所以当时，，所以，
所以，
即，故的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）直线AB的斜率为，所以直线AB的倾斜角为.
（2）当点D在第一象限时，，，如图1.
设，则解得故点D的坐标为.
（3）由题意得为直线BE的斜率，如图2.
当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小，；
当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，.
故直线BE的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设椭圆C的标准方程为，
由已知得解得
故椭圆C的标准方程为.
（2）由椭圆的定义可得，
如图，在中，由余弦定理可得
，
整理得，
所以，
故.
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