2024-2025学年上学期苏教版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(一)（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年上学期苏教版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(一)（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-23 11:26:56 | ||
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文档简介
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2024-2025学年上学期苏教版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(三)
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则( )
A. B. C. D.
2．如图，一个工业凹槽的截面是某抛物线的一部分，抛物线方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A. B.1 C.2 D.
3．抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C.2 D.4
4．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A. B. C. D.
5．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A.1 B. C. D.
6．点到直线距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
7．若直线是圆的一条对称轴，则( )
A. B. C.1 D.
8．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C.或 D.或
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A.C的准线为 B.直线AB与C相切
C. D.
10．已知直线，圆，点.下列命题中的真命题有( )
A.若A在C上，则l与C相切 B.若A在C内，则l与C相离
C.若A在C外，则l与C相离 D.若A在l上，则l与C相切
11．在平面直角坐标系中，已知点，，圆.若圆C上存在点M，使得，则实数a的值可以是( )
A. B.0 C.2 D.4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．直线，的斜率，是关于a的方程的两根，若，则实数______.
13．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值___________.
14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设点，点P为曲线E上任一点，求的最大值.
16．已知圆C的圆心为，且圆C__________.在下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上，并完成解答.
①与直线相切；
②与圆相外切；
③经过直线与直线的交点.
（1）求圆C的方程.
（2）圆，是否存在实数m，使得圆N与圆C公共弦的长度为2？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
17．某湿地公园内有一直角梯形区域，，，.相关部门欲在A，B两处各建一个景点，将CD边建成人行步道（人行步道的宽度忽略不计）.
（1）若分别以A，B为圆心的两个圆都与直线CD相切，且这两个圆外切，求A，B两点之间的距离.
（2）若，今欲在人行步道（线段CD）上设一观景台P，已知观景台P在过A，B两点的圆与直线CD相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，问观景台P设在何处时，观赏和拍摄的效果最佳？
18．已知直线和直线的交点为P.
（1）求过点P且与直线平行的直线方程；
（2）若直线l与直线垂直，且P到l的距离为，求直线l的方程.
19．已知抛物线C的顶点为坐标原点，C关于x轴对称且过点.
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l与C交于，两点，且，，求直线l的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：为等边三角形，，
，，，
中，由余弦定理有，
，，.
故选:B.
2．答案：B
解析：如图，设小球圆心，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径.抛物线上点到圆心距离的平方为.若小球触及凹槽的最底部，则的最小值在处取到，又，所以，即，所以，所以清洁钢球的最大半径为1.
3．答案：C
解析：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C.
4．答案：D
解析：结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零.设，，的中点为，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得，即，化简得，即，因此.由双曲线方程可得渐近线方程为.对于A，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C，，此时直线AB的斜率与渐近线的斜率相同，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D，因为，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意.故选D.
5．答案：B
解析：设圆为圆C，化简得，圆心为，半径.如图，设，则，，易知，则，所以.故选B.
6．答案：B
解析：点到直线的距离.当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立.综上，点到直线距离的最大值为.故选B.
7．答案：A
解析：依题意可知圆心坐标为，又直线是圆的一条对称轴，所以圆心在该直线上，即，解得，故选A.
8．答案：C
解析：当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在该直线上，所以，解得，所以直线方程为.故所求直线方程为或.故选C.
9．答案：BCD
解析：如图，因为抛物线C过点，所以，解得，所以的准线方程为，所以A错误；
因为，所以直线AB的方程为，即，由得，，所以直线AB与C相切，所以B正确；
设，，直线PQ的方程为，由得，所以，，且，得或，所以，所以C正确；
，所以D正确.
10．答案：ABD
解析：圆心到直线的距离，若点A在圆上，则，则，所以直线l与圆C相切，故A正确；若点A在圆内，则，则，所以直线l与圆C相离，故B正确；若点A在圆外，则，则，所以直线l与圆C相交，故C错误；若点A在直线l上，则，即，则点A也在圆C上，，所以直线l与圆C相切，故D正确.
11．答案：BC
解析：设，由，得，整理得，所以点M的轨迹是以为圆心，半径的圆.圆的圆心为，半径，由于点M存在，两圆有公共点，所以，即，，其中恒成立，由得，，则，解得，所以实数a的值可以是B，C选项，故选BC.
12．答案：
解析：因为，而且斜率存在，
所以，
又，是关于a的方程的两根，
所以，解得.
故答案为：.
13．答案：2或或或（填一个即可）
解析：方法一：由题知，的半径，圆心.设圆心C到直线的距离为d，则弦长，所以，解得或，所以或.由点到直线的距离公式可知，当时，，解得；当时，，解得.综上，或.
方法二：由题知，的半径，圆心，圆心C到直线的距离，所以.直线方程可化为，所以直线的斜率为且过定点.因为点在上，设为A（如图），所以，解得，所以点B的纵坐标为.代入方程，得，解得点B坐标为或或或.因为，所以直线AB的斜率为或，故或.
14．答案：
解析：由题意可知，动直线经过定点，
动直线，即，经过定点，
所以，
显然动直线和动直线始终垂直，
又因为P是两条直线的交点，所以，
所以，
设，则，，
因为且，可得，
所以，
因为，所以，
所以，即.
所以的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）在曲线E上任取一点，则在圆上，
所以，即，
所以曲线E的方程为.
（2）设，则
，，
所以当时，，
所以，即的最大值为.
16．答案：（1）
（2）存在实数
解析：（1）设圆C的半径为r.
若选条件①，圆C与直线相切，
则圆心C到直线的距离是圆C的半径，即，
所以圆C的方程为.
若选条件②，圆C与圆相外切，圆M的圆心为，半径为2，
所以，所以，
所以圆C的方程为.
若选条件③，圆C经过直线与直线的交点，
由得所以，
所以圆C的方程为.
（2）圆的圆心为，半径为m，
两个圆有公共弦，则，即，解得.
由得，两圆公共弦所在直线的方程为，
又两圆的公共弦长为2，则圆心C到公共弦所在直线的距离为
，且，
解得或，
又，所以.经检验符合题意.
故存在实数，使得圆N与圆C公共弦的长度为2.
17．答案：（1）
（2）观景台P设在C处时，观赏和拍摄的效果最佳
解析：（1）因为分别以A，B为圆心的两个圆都与直线CD相切，
所以这两个圆的半径分别为和，
又因为两个圆外切，所以两个圆心A，B之间的距离为，
故A，B两点之间的距离为.
（2）以C（O）为原点，CD所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则，设，
由，得，解得.
所以，.
因为观景台P在过A，B两点的圆与直线CD相切的切点处，
所以设过A，B两点的圆的方程为，
已知此圆与线段CD切于点，则，
由A，B两点在圆上，把两点的坐标代入得
解得或（舍）.
所以圆的方程为，
所以切点为，即观景台P应设在梯形的顶点C处.
所以观景台P设在C处时，观赏和拍摄的效果最佳.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）联立解得即交点.
设与直线平行的直线方程为.
把代入可得，可得，所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线l的方程为，
到l的距离为，解得或，
直线l的方程为或.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可设，
将点的坐标代入，得，所以，
故C的标准方程为.
（2）设线段AB的中点为，
则，，即.
不妨设，当时，直线，此时，，不合题意.
当时，，此时，
所以直线，即，①
由得，
由，得，
则，，
故
，即，
解得（舍去）或，
所以，满足，
故直线l的方程为或.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年上学期苏教版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(三)
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若为等边三角形，则( )
A. B. C. D.
2．如图，一个工业凹槽的截面是某抛物线的一部分，抛物线方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A. B.1 C.2 D.
3．抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C.2 D.4
4．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A. B. C. D.
5．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A.1 B. C. D.
6．点到直线距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
7．若直线是圆的一条对称轴，则( )
A. B. C.1 D.
8．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C.或 D.或
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A.C的准线为 B.直线AB与C相切
C. D.
10．已知直线，圆，点.下列命题中的真命题有( )
A.若A在C上，则l与C相切 B.若A在C内，则l与C相离
C.若A在C外，则l与C相离 D.若A在l上，则l与C相切
11．在平面直角坐标系中，已知点，，圆.若圆C上存在点M，使得，则实数a的值可以是( )
A. B.0 C.2 D.4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．直线，的斜率，是关于a的方程的两根，若，则实数______.
13．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值___________.
14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设点，点P为曲线E上任一点，求的最大值.
16．已知圆C的圆心为，且圆C__________.在下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上，并完成解答.
①与直线相切；
②与圆相外切；
③经过直线与直线的交点.
（1）求圆C的方程.
（2）圆，是否存在实数m，使得圆N与圆C公共弦的长度为2？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
17．某湿地公园内有一直角梯形区域，，，.相关部门欲在A，B两处各建一个景点，将CD边建成人行步道（人行步道的宽度忽略不计）.
（1）若分别以A，B为圆心的两个圆都与直线CD相切，且这两个圆外切，求A，B两点之间的距离.
（2）若，今欲在人行步道（线段CD）上设一观景台P，已知观景台P在过A，B两点的圆与直线CD相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，问观景台P设在何处时，观赏和拍摄的效果最佳？
18．已知直线和直线的交点为P.
（1）求过点P且与直线平行的直线方程；
（2）若直线l与直线垂直，且P到l的距离为，求直线l的方程.
19．已知抛物线C的顶点为坐标原点，C关于x轴对称且过点.
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l与C交于，两点，且，，求直线l的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：为等边三角形，，
，，，
中，由余弦定理有，
，，.
故选:B.
2．答案：B
解析：如图，设小球圆心，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径.抛物线上点到圆心距离的平方为.若小球触及凹槽的最底部，则的最小值在处取到，又，所以，即，所以，所以清洁钢球的最大半径为1.
3．答案：C
解析：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C.
4．答案：D
解析：结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零.设，，的中点为，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得，即，化简得，即，因此.由双曲线方程可得渐近线方程为.对于A，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C，，此时直线AB的斜率与渐近线的斜率相同，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D，因为，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意.故选D.
5．答案：B
解析：设圆为圆C，化简得，圆心为，半径.如图，设，则，，易知，则，所以.故选B.
6．答案：B
解析：点到直线的距离.当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立.综上，点到直线距离的最大值为.故选B.
7．答案：A
解析：依题意可知圆心坐标为，又直线是圆的一条对称轴，所以圆心在该直线上，即，解得，故选A.
8．答案：C
解析：当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在该直线上，所以，解得，所以直线方程为.故所求直线方程为或.故选C.
9．答案：BCD
解析：如图，因为抛物线C过点，所以，解得，所以的准线方程为，所以A错误；
因为，所以直线AB的方程为，即，由得，，所以直线AB与C相切，所以B正确；
设，，直线PQ的方程为，由得，所以，，且，得或，所以，所以C正确；
，所以D正确.
10．答案：ABD
解析：圆心到直线的距离，若点A在圆上，则，则，所以直线l与圆C相切，故A正确；若点A在圆内，则，则，所以直线l与圆C相离，故B正确；若点A在圆外，则，则，所以直线l与圆C相交，故C错误；若点A在直线l上，则，即，则点A也在圆C上，，所以直线l与圆C相切，故D正确.
11．答案：BC
解析：设，由，得，整理得，所以点M的轨迹是以为圆心，半径的圆.圆的圆心为，半径，由于点M存在，两圆有公共点，所以，即，，其中恒成立，由得，，则，解得，所以实数a的值可以是B，C选项，故选BC.
12．答案：
解析：因为，而且斜率存在，
所以，
又，是关于a的方程的两根，
所以，解得.
故答案为：.
13．答案：2或或或（填一个即可）
解析：方法一：由题知，的半径，圆心.设圆心C到直线的距离为d，则弦长，所以，解得或，所以或.由点到直线的距离公式可知，当时，，解得；当时，，解得.综上，或.
方法二：由题知，的半径，圆心，圆心C到直线的距离，所以.直线方程可化为，所以直线的斜率为且过定点.因为点在上，设为A（如图），所以，解得，所以点B的纵坐标为.代入方程，得，解得点B坐标为或或或.因为，所以直线AB的斜率为或，故或.
14．答案：
解析：由题意可知，动直线经过定点，
动直线，即，经过定点，
所以，
显然动直线和动直线始终垂直，
又因为P是两条直线的交点，所以，
所以，
设，则，，
因为且，可得，
所以，
因为，所以，
所以，即.
所以的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）在曲线E上任取一点，则在圆上，
所以，即，
所以曲线E的方程为.
（2）设，则
，，
所以当时，，
所以，即的最大值为.
16．答案：（1）
（2）存在实数
解析：（1）设圆C的半径为r.
若选条件①，圆C与直线相切，
则圆心C到直线的距离是圆C的半径，即，
所以圆C的方程为.
若选条件②，圆C与圆相外切，圆M的圆心为，半径为2，
所以，所以，
所以圆C的方程为.
若选条件③，圆C经过直线与直线的交点，
由得所以，
所以圆C的方程为.
（2）圆的圆心为，半径为m，
两个圆有公共弦，则，即，解得.
由得，两圆公共弦所在直线的方程为，
又两圆的公共弦长为2，则圆心C到公共弦所在直线的距离为
，且，
解得或，
又，所以.经检验符合题意.
故存在实数，使得圆N与圆C公共弦的长度为2.
17．答案：（1）
（2）观景台P设在C处时，观赏和拍摄的效果最佳
解析：（1）因为分别以A，B为圆心的两个圆都与直线CD相切，
所以这两个圆的半径分别为和，
又因为两个圆外切，所以两个圆心A，B之间的距离为，
故A，B两点之间的距离为.
（2）以C（O）为原点，CD所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
则，设，
由，得，解得.
所以，.
因为观景台P在过A，B两点的圆与直线CD相切的切点处，
所以设过A，B两点的圆的方程为，
已知此圆与线段CD切于点，则，
由A，B两点在圆上，把两点的坐标代入得
解得或（舍）.
所以圆的方程为，
所以切点为，即观景台P应设在梯形的顶点C处.
所以观景台P设在C处时，观赏和拍摄的效果最佳.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）联立解得即交点.
设与直线平行的直线方程为.
把代入可得，可得，所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线l的方程为，
到l的距离为，解得或，
直线l的方程为或.
19．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可设，
将点的坐标代入，得，所以，
故C的标准方程为.
（2）设线段AB的中点为，
则，，即.
不妨设，当时，直线，此时，，不合题意.
当时，，此时，
所以直线，即，①
由得，
由，得，
则，，
故
，即，
解得（舍去）或，
所以，满足，
故直线l的方程为或.
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