(共24张PPT)
勾股定理的逆定理
2、勾股定理应用
1、勾股定理
在直角三角形中，由已知边的长求未知边的长
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
斜边长为c，那么a2+b2=c2．
温故知新
3、 你能说出勾股定理的逆命题吗？它的逆命题是真命题还是假命题？
如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
A
B
C
a
b
c
形
数
1.探究并理解勾股定理的逆定理；
2.能利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是不是直角三角形。
学习目标
据说，古埃及人曾用结绳的方法画直角.
趣味导入
探究新知1
问题1：用量角器或者直角三角板量一量，你作出的三角形是直角三角形吗？
问题2：这三组数在数量关系符合a2+b2=c2 吗？
问题3：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
问题4：由此你有什么猜想？
尺规作图：请同学们分别以这些数为边长用结绳的方法画出三角形(单位：cm).
① 6,8,10； ② 5，12，13；
尺规作图：请同学们分别以这些数为边长用结绳的方法画出三角形(单位：cm).
① 6,8,10； ② 5，12，13；
探究新知1
问题1：用量角器或者直角三角板量一量，你作出的三角形是直角三角形吗？
它们都是直角三角形
探究新知1
问题1：用量角器或者直角三角板量一量，你作出的三角形是直角三角形吗？
问题2：这三组数在数量关系符合a2+b2=c2 吗？
①6,8,10满足62+82=102
② 5,12,13满足52+122=132
是
尺规作图：请同学们分别以这些数为边长用结绳的方法画出三角形(单位：cm).
① 6,8,10； ② 5，12，13；
探究新知1
问题1：用量角器或者直角三角板量一量，你作出的三角形是直角三角形吗？
问题2：这三组数在数量关系符合a2+b2=c2 吗？
问题3：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
是
62+82=102 ；52+122=132
32+42=52
尺规作图：请同学们分别以这些数为边长用结绳的方法画出三角形(单位：cm).
① 6,8,10； ② 5，12，13；
尺规作图：请同学们分别以这些数为边长用结绳的方法画出三角形(单位：cm).
① 6,8,10； ② 5，12，13；
探究新知1
问题1：用量角器或者直角三角板量一量，你作出的三角形是直角三角形吗？
问题2：这三组数在数量关系符合a2+b2=c2 吗？
问题3：古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
问题4：由此你有什么猜想？
是
62+82=102 ；52+122=132
32+42=52
猜想：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
A'
B'
C'
A
B
C
已知:在△ABC中，AB=5 BC=3 CA=4 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
勾股定理逆定理验证
探究新知2
证明:画一个△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=3，C'A'=4.
证△ABC ≌△A'B'C'(SSS)，
3
4
5
3
4
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
A'
B'
C'
A
B
C
a
b
c
a
利用勾股定理证明A'B' = 5.
证明:画一个△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.
证△ABC ≌△A'B'C'(SSS)，
利用勾股定理证明A'B' = c.
特殊
一般
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形.
获取新知
几何语言：在△ABC中
∵a2 + b2 = c2
∴△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
悟：①最长边所对的角为直角
②判定直角三角形的依据之一
③数形结合思想
数
形
例1：已知三角形三条边的长度分别是：
（1）1，, （2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n > 0）， 它们是否分别构成直角三角形？
典例精讲1
解：(1)在1， , 中， 是最大边长，因为 ，所以，边长为1， ,
的三角形是直角三角形。
(2)在2，3，4中，4是最大边长， ，所以，边长为2，3，4的三角形不是直角三角形。
(3)在3n，4n，5n（n>0）中，5n是最大边长， ，所以，边长为3n，4n，5n（n>0）的三角形是直角三角形。
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
如果是那么哪一个角是直角？为什么？
(1)a=9，b=12，c=15 ;
(2)a=3，b=4，c=6 ;
(4) a:b: c=3:4:5 ;
是
是
不是
是
∠C=900
∠ B=900
∠ C=900
(3) a= b= c= ;
跟踪练习1
13
A
B
C
D
A
B
C
D
3
4
5
12
2. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？
跟踪练习2
例2 如图7-17，已知AB⊥AD,AB=4,BC=12,CD=13,AD=3.
能判断BC⊥BD吗？证明你的结论。
D
A
B
C
解: BC⊥BD.证明如下：
∵ AB⊥AD
∴ △BAD是直角三角形
∴ BD2=AB2+AD2
=42+32=25
在△BCD中
∵ BC2+BD2=122+25=169=132 =CD2
∴ △BCD是直角三角形，
且CD为斜边∠ CBD=900
∴ BC⊥BD
4
3
13
12
典例精讲2
已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝900，AB＝3，BC＝13，CD＝12，AD＝4,求四边形ABCD的面积
B
A
D
C
∵∠A=900 AB=3 ,AD=4
∴ BD2=AB2+AD2=32+42=25
在△BCD 中 ∵ CD2+BD2
=122+52=169=132 =BC2
∴ △BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
= -AB×AD+ -BD×CD
= -×3×4+ -×5×12
= 36
所以四边形ABCD的面积为36.
1
2
1
2
1
2
1
2
解:连接BD
变式训练
通过本节课的学习，我们已经学习了哪些内容？你掌握了哪些知识？
勾股定理
的逆定理
内容
作用
可以由三角形三条边的长度判定它是否构成直角三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
课堂小结
满足 的三个 叫做勾股数组。
如: 3，4， ； 6，8， 等。
下列几组数中是勾股数组的是（ ）
A. 6, 8, 9 B. 3, -4, 5
C. 1.5 , 2, 2.5 D. 9, 40, 41
正整数
5
10
D
勾股数组
a2+b2=c2
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么
——毕达哥拉斯
猜 想
验 证
归 纳
应 用
升 华
数学方法
综合提升训练
1.以下列各组线段为边长，能构成直角三角形的是 .
①3，4，5 ②1，3，4
③4，4，6 ④6，8，10
⑤5，7，2 ⑥13，5，12
⑦7，25，24
①④⑥⑦
2．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c下列判断错误的是（ ）
A. 如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形.
B. 如果a2+c2=b2,则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C.如果(c-a)(c+a)=b2， 则△ABC是直角三角形.
D. ∠A:∠B:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形.
综合提升训练
B
综合提升训练
解：△ABC是直角三角形.
3.已知：在△ABC中，若△ABC的三边a，b，c满足 a:b:c=5:12:13，判断△ABC的形状.
∵a:b:c=5:12:13，
∴设a=5x，b=12x，c=13x.
则a2+b2=(5x)2+(12x)2=25x2+144x2=169x2=(13x)2= c2.
∴△ABC的形状是直角三角形.
B
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等边三角形
4.三角形三边长a、b、c满足条件（a+b）2-c2=2ab，则此三角形是（ ）
综合提升训练
挑战自我
已知 a.b.c为△ABC的三边,且满足 a2c2 – b2c2=a4 – b4 (a≠b),试判断△ABC的形状。
