河南省开封市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考试题 数学（含答案）

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开封五校2024~2025学年上学期期中联考
高二数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第2节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线和直线的位置关系为（）
A. 垂直 B. 平行
C. 重合 D. 相交但不垂直
2. 已知双曲线焦距为4，则的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
3. 已知向量，若，则（）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（）
A. 13 B. 21 C. 29 D. 31
5. 已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知椭圆左、右焦点分别为的离心率为，过点的直线与交于点（在轴下方），若，则的周长与的比值为（）
A. B. C. D.
7. 3D打印是快速成型技术一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆：()左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（）
A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（）
A. 平行于轴的两条直线
B. 单位圆
C. 焦点在轴上的双曲线
D. 焦点在轴上的椭圆
10. 已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（）
A. B. 2 C. 3 D. 4
11. 如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（）
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线经过点，其方程为
C. 曲线围成的图形面积小于
D. 存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线与间的距离为______．
13. 已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为______．
14. 在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 根据所给条件求曲线的标准方程：
（1）已知椭圆的右焦点为，且过点；
（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点.
16. 已知圆.
（1）直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）设直线与圆相交于，两点，点为圆上的一动点，求的面积S的最大值.
17. 如图，在四棱锥中，，，，点为棱上一点．
（1）证明：；
（2）当二面角的余弦值为时，求．
18. 已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为面积和的面积，求的最大值．
19. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．
开封五校2024~2025学年上学期期中联考
高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】A
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】BC
10.
【答案】BC
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.【答案】##
13.【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【分析】（1）根据右焦点得到左焦点，也得到c，再根据定义求得a，再得到b，即可.
（2）所求双曲线的方程为，代入定点可解.
【小问1详解】
由题意知的右焦点为，则其左焦点为，
所以，所以，
所以，所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设所求双曲线的方程为，
又过点，
所以，解得，
所以所求双曲线的方程为，即标准方程为.
16.
【分析】（1）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解；
（2）根据垂径定理求弦长，结合圆的性质求面积最大值.
【小问1详解】
由题意得，圆的半径，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得，解得，
所以直线的方程为；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆相切；
综上，直线的方程为或.
【小问2详解】
由题意得圆心到直线的距离，
所以，
点到直线的距离的最大值为，
则面积的最大值.
17. 【分析】（1）根据线线垂直先证平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量法求解即可．
【小问1详解】
因为，所以，所以，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以．
【小问2详解】
因为，所以，则．
由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
可知，设，
则，
设平面的一个法向量，
则即令，解得，，
故，
设平面的一个法向量为，
由，得令，解得，故，
所以，
即，整理，得，解得或（舍去）．
故．
18.
【解析】
【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解；
（2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得；
（ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可.
【小问1详解】
设双曲线的焦距为，且，
因为到直线的距离为，故，
则，故双曲线的方程为：．
【小问2详解】
如图，
（ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程，
消元得，则，
因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
原点到直线的距离，
设，，联立，则，
，，，
则，
而，
令，则，
当即时取到等号．
综上所述，的最大值为．
19.
【分析】（1）首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得，从而得到，再由离心率公式计算可得；
（2）①设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案；
②由题知椭圆的标准方程为，进而结合点在椭圆上得，故设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而得其对应的方程，再与椭圆联立方程并结合韦达定理，弦长公式得、，进而得．
【小问1详解】
对于椭圆：，则长轴长为，短轴长为，焦距为，
椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
依题意可得，所以，
则椭圆的离心率.
【小问2详解】
①由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
设，则直线的方程为，即，
记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以为关于的方程的两根，
所以．
又点在椭圆上，
所以，
所以，为定值．
②由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点，
设，易知直线、的斜率均存在且不为，
所以，
因为在椭圆上，所以，即，
所以．
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为．
由，得，
设，，则，，
所以
，
同理可得，
所以．
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