参考答案：
一单选题：
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A C D D A B
二．多项选择题：
9 10 11
BCD ABD ACD
三填空题：
12. 25 13.2 65 14.-1
5
四解答题：
15.【解析】（1）记 AB a, AD b, AA1 c，
因为平行六面体 ABCD A1B1C1D1的各条棱长均为 2，
A1AB A1AD BAD 60 ，
r r r
所以 a b c 2， a b a c b c 2 2 cos60 2 ，.............................................2
1 =
3 ...................................................................................................................4
5
= ( 31 )2 =
2 34..............................................................................................6
5 5
（2）记 AB a, AD b, AA1 c，
因为平行六面体 ABCD A1B1C1D1的各条棱长均为 2，
A1AB A1AD BAD 60 ，
r r r
所以 a b c 2， a b a c b c 2 2 cos60 2 ，
因为 AC1 AB BC CC1 AB AD AA1 a b c，
A1B AB AA1 a c, BD AD AB b a，..................................................8
所以
2 2AC1 A1B a b c a c a a b a c a c b c c 4 2 2 2 2 4 0，.........11
同理 AC1 BD 0，则 AC1 A1B, AC1 BD，
又 A1B BD B, A1B,BD 平面 A1BD ，所以 AC1 平面 A1BD ..........................13
16 （1）首先根据圆的弦长公式设圆心到直线距离为 d,
可得 MN = 2 R2 d2 = 2 30,所以 d = 6...........................................................................2
若直线斜率不存在时，直线方程为 x=2 此时 d=2 不满足题意。.................................................3
{#{QQABaQQAggCIAAIAABgCEwUCCEGQkhAAASgOBAAIsAAByBFABAA=}#}
所以直线斜率存在，设直线方程为 y-3=k(x-2)
2 2k
圆心到直线距离为 d = = 6
k2
,
+1
所以即得直线斜率 k = 2 ± 3..................................................................................................6
所学直线方程为 y = ( 2 + 3)x + 7 2 3或 y = ( 2 3)x + 7 + 2 3.........................7
(2)设圆心到直线 AB的距离为 1，圆心到直线 CD的距离为 2,
21 +
2 2
2 = = 8.......................................................................................................10
= 2 36 21 , = 2 36
2
2 ............................................................................12
四边形 ABCD 的面积为
1
S = 2 = 2 (36
21 )(36
2
2 ) = 2 362 36 × 8 + ( 1 )22
又因为 2 + 21 2 ≥ 2 1 2，“=”成立当且仅当 1 = 2时，即 1 2 ≤ 4
所以 ≤ 64；.........................................................................................................................15
(没验证等号成立的条件扣 1 分)
17. (1)首先 F(1,0),得 c=1，设 A( 1, 1),B( 2, 2)..........................................................................1
3
当直线 l 过 F 时，直线方程为：y = (x 1).......................................................2
3
y = 3 (x 1)
与椭圆联立方程： 3
2 2
得
2 + 2 = 1
(a2 + 3b2)x2 2a2x + a2 3a2b2 = 0
2
1 + =
2a 4 2 2
2 2 2 = ,且a b = 1，........................................................................5a +3b 13
解得 a = 2, b = 3
2 2
所以椭圆方程为： + = 1...........................................................................6
4 3
（2）M(-2,0)设直线 l 方程为 y + 3 = k(x + 2),A( 1, 1),B( 2, 2)
y + 3 = k(x + 2)
与椭圆联立方程： 2 2 得+ = 1
4 3
(3 + 4k2)x2 + (16k2 8 3k)x + 16k2 16 3k = 0
2
> 0, + = 16k +8 3k , = 16k
2 16 3k
1 2 2 1 2 2 ...............................................................93+4k 3+4k
+ = 1 + 2 = 2 3( 1 + 11 2 ) = 2 3
1+ 2+4 ..................12
1+2 2+2 1+2 2+2 1 2+2( 1+ 2)+4
16k2+8 3k
2 +4
将韦达定理代入计算，即得 + = 2 3 3+4k1 2 = 3............1516k2 16 3k+2( 16k2+8 3k)+4
3+4k2 3+4k2
{#{QQABaQQAggCIAAIAABgCEwUCCEGQkhAAASgOBAAIsAAByBFABAA=}#}
18（1）根据题目意思，在四棱锥 中，有 // ,因为 平面 , 平面 ，
所以 //平面 ，
又因为 平面 且平面 ∩平面 = ，所以 // ，
又因为 平面 , 平面 ，
所以 //平面 ..............................................................................................................4
(2)因为 AE ⊥ ,DE ⊥ ,所以∠ = ,以 E点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系
所以 (0,0,0), (2 3, 0,0), (2 3, 4,0), (0, 1, 3), (0,1, 3)，
= (0,4,0), = (2 3, 5, 3), = (2 3, 2,0)，.................................5
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
B C = 4 1 = 0则
,
= 2 3 1 + 5 1 3 1 = 0
令x1 = 1，得 1 = 2，
所以 = (1,0,2)为平面 的一个法向量，..........................................7
设平面 的法向量为m = 2, 2, 2 ，
D C = 2 3 2 + 2 则 2 = 0
,
= 2 3 2 + 5 2 3 2 = 0
令y2 = 3，得 2 = 1, 2 = 3，
所以 = ( 1, 3, 3)为平面 的一个法向量，..................................9
所以 cosθ = |m n | 65|m | | | = , n 13
2 26
所以其正弦值为 ；...........................................................................................11
13
3 R S = 4πR2 = 80 , R = 2 15（ ） 设球的半径为 ，根据球的体积为 则 ,..............................12
3 3
由（2）可知，三角形 BCD 4 3为等边三角形，且设其中心为 G( , 2,0),..........................................13
3
4 3
所以设球心的坐标为 O( , 2, ),设 A(0,2 , 2 )
3
{#{QQABaQQAggCIAAIAABgCEwUCCEGQkhAAASgOBAAIsAAByBFABAA=}#}
2 15
= =
3
z = 2 3, 16即： + (2 2 )2 + ( 2 3 2 )2 = 20...........................................16
3 3 3 3
解方程即得θ = π................................................................................................................17
3
19.(1)①根据椭圆的光学性质，若经过左顶点反射，路程为 2(a c) = 6c,则 e = 1；
4
1
若经过右顶点反射，路程为 2(a+c)=6c，则 e = ；
2
2
若经过的反射点不过左右顶点时，路程为 4a=6c，则 e = ；
3
1 1 2
所以椭圆的离心率可以为 ， ， ..................................................3
4 2 3
②设 Q(4,t)(t ≠ 0),M(x1, y1), N(x2, y2),
2
根据题目已知条件可知椭圆方程为 + 2 = 1.......................................................................4
4
则 QA1: x =
6 y 2,QA2: x =
2 y + 2,
t t
x = 6 y 2
t 6
分别与椭圆联立： 2 得到 1 = 2 ................................................................5+ 2 = 1 +9
4
x = 2 y + 2
t
2 得到 =
2
2 2 ..............................................................6
+ 2 = 1 +1
4
1
1 = 2 1 2 =
2
1 2 = = (
2+9)( 2+1)
1 2 2 ...................................................8 2 ( 1)( 2 2) ( +3)
令 m = t2 + 3 > 3
1 = ( +6)( 2)则 2 = 12(
1 )2 + 4 1 + 1, (0 < 1 < 1 ),
2 3
1 = 1当且仅当 ∈ (0, 1 ),即 m=6 4，t =± 3时， 1取最大值 ..............................................10
6 3 2 3
（2）设直线 MN 的方程为 x = my + 5
根据双曲线的光学性质可知 M 1 的内心为 I 为 与 的交点，
1 1 = 1
9 16 y x = 9(y y )联立 2 1 2 2 消去 得到 .................................................................................11 = 1 x1y2 x2y1
9 16
9
又因为x1 = my1 + 5, x2 = my1 + 5 代入计算即得 x = ......................................................135
下证 M 1 2的内心在直线 x=3 上，
{#{QQABaQQAggCIAAIAABgCEwUCCEGQkhAAASgOBAAIsAAByBFABAA=}#}
设 M 1 2的内心为 I，与其三边的切点分别为 A,B,D，
根据切线长定理可知 MA = MD, F1A = F1B, F2D = F2B
首先 MF1 MF2 = 2a = 6,即F1A F2D = 6
所以F1B F2B = 6,又因为F1B + F2B = 10，所以F1B = 8，
所 以 M 1 2 的 内 心 在 直 线 x=3 上 ， 同 理 可 知 N 1 2 的 内 心 也 在 直 线 x=3
上.....................................................................................................................................15
1 F2 1 2 2 1 2 ( 3)= 5 3 5，所以
1
= 9 = ,
I 1 2 2 1 2 (3 ) 3 35
5
所以存在常数 t= ，使得 F2 1 2 = I 1 2................................................................................173
{#{QQABaQQAggCIAAIAABgCEwUCCEGQkhAAASgOBAAIsAAByBFABAA=}#}湖北省“腾 云”联盟
2024-2025学年度上学期12月联考
高二数学试卷
命题学校：阳新一中命题教师：陈君威、张红霞审题教师：叶信于
考试时间：2024年12月17日上午9：00一11：30试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2,选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂，黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3,非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.已知直线斜率的绝对值为1，则其倾斜角为
A号
B±8
C
4
兴
2.己知在空间直角坐标系中，点P(2,-1,1),则P关于X轴对称点坐标为
A.(-2,-1,1)
B.(2,1,-1)
C.(2,1,1)
D.(2,-1,-1)
3.已知方程
y2
=1表示椭圆，则实数m的范围是
m+12m-3
A.(-1,)U(后，)
B.(-1,)
C.(-1,3)
D.()
4.已知向量在基底{a,,}下的坐标为(2，-3，-1)，则在基底{a,a+6,6+下的坐标
为
A.(4,-2,1)
B.(-2,4,-1)
C.(4,-2,-1)
D.(-4,-2,-1)
5.下面说法正确的是
A.若直线经过点P(4,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程为y=-x+6
B.过点P1,4,且斜率为3的直线方程为=3
高二数学试卷第1页共6页
C.己知直线l1:y=kx-4与直线l2:x+2y+2=0交点坐标在第三象限，则-2<
k<-月
D.直线l:(2m+1)x+(m+1)y+m=0经过定点(-1,1)
6.已知椭圆E学+号=1，F,P为左右焦点，点P在椭圆上，则下面说法正确的
3
是
A.△PF1F2面积最大值为3
B.△PF1F2周长为定值5
C+需最小值为9
D.PF1e[1,3]
7.己知双曲线x2-兰=1(a>0),若过点P2,4能作双曲线的两条切线，且存在过点
P的直线与双曲线交于AB两点，P为AB的中点，则双曲线的离心率的取值范围是()
A.1B.V53
C.13
D18.设圆01：x2+y2=1,圆02：x2+y2=9,直线l:3x+4y-25=0,过直线l
上动点P作圆O1的两条切线，切点分别为A,B;一条动直线与圆O1相切，与圆O2相交于
M,N两点，则下列说法错误的是()
A.直线l上不存在点P,使得∠APB=90
B.弦长AB存在最小值为23
C.IPM2+IPN2最小值为48
D.PM·PN的最大值为28
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。
9.曲线C:mx2+y2=1(m>0且m≠1)与曲线C2:nx2-y2=1(n>0)有共同焦点
F、F,,它们在第一象限交于点P;C,与C,的离心率分别为e、e2,则下列结论正
确的有
A.m>1
B.PE⊥PF
C.n-m=2mnD.e·e2>1
高二数学试卷第2页共6页
