辽宁省沈阳市2023-2024学年九年数下学期开学数学初限时作业训练
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·沈阳开学考）下面计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（-2a2）3＝-8a6
C．a9÷a3＝a3 D．2a2+a2＝3a4
2．（2024·沈阳开学考）下列变形正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么x+5＝y-5 B．如果x＝y，那么-2x＝-2y
C．如果x＝y，那么 D．如果，那么x＝3
3．（2024·沈阳开学考）在平面直角坐标系中，点（0，-3）在（ ）
A．x轴的正半轴 B．y轴的负半轴 C．x轴的负半轴 D．y轴的正半轴
4．（2024·沈阳开学考）抛物线y＝x2-4x+9的顶点坐标是（ ）
A．（-2，5） B．（2，5） C．（2，-5） D．（-2，-5）
5．（2024·沈阳开学考）在反比例函数 （ 为常数）上有三点 ， ， ，若 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·沈阳开学考）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
7．（2024·沈阳开学考）下列表格是某公司员工情况表，你在了解这家公司的员工的平均工资时，你最应该关注的数据是（ ）
职位 普工 文员 经理 董事长
人数 3 10 2 1
工资（元） 1200 1500 1600 8000
A．平均数 B．众数与中位数
C．方差 D．最小数
8．（2024·沈阳开学考）古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约，由此他得出，那么的度数也就是的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的．其中“”所依据的数学定理是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，同旁内角互补 D．内错角相等，两直线平行
9．（2024·沈阳开学考）如图， 外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4） D．(0，0)
10．（2024·沈阳开学考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°到矩形AGFE的位置，H是对角线AF的中点，则线段DH的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024·沈阳开学考）面对新冠肺炎疫情对经济运行的冲击，中国人民银行营业管理部（中国人民银行总行在京派驻机构）与相关部门多方动员，截至2020年4月2日，已发放优惠利率贷款573笔，金额280亿元．将280亿元用科学记数法表示应为 元．
12．（2024·沈阳开学考）|-2021|＝ ．
13．（2024·沈阳开学考）掷一枚质地均匀的硬币，前次都是正面朝上，则掷第次正面朝上的概率是 ．
14．（2024·沈阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线 上，则k的值为 ．
15．（2024·沈阳开学考）如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 .
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（2024·沈阳开学考）（1）解不等式4（x-1）+3≤2x+5，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）计算：．
17．（2024·沈阳开学考）某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
调查问卷 2023年6月 你崇拜的偶像是（ ）（单选） A．娱乐明星 B．英雄人物 C．科学家 D．其他
收集数据：
A、D、C、C、A、D、B、B、A、C、D、B、D、A、C、A、C、C、C、C、D、C、A、D、B、B、C、A、A、C、B、B、C、A、C、B、C、C、B、C、A、C、C、A、C、A、C、A、A、C、A、C、C、C、B、B、D、B、D、D．
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型 划记 人数 百分比
A．娱乐明星 正正正 15 25%
B．英雄人物 正正下
C．科学家 正正正正正 24 40%
D．其他 9 15%
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空n＝ ；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
18．（2024·沈阳开学考） 欧城物业为美化小区，要对面积为9600平方米的区域进行绿化，计划安排甲、乙两个园林队完成，已知甲园林队每天绿化面积是乙园林队每天绿化面积的2倍，并且甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天．求甲、乙两园林队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米．
19．（2024·沈阳开学考）如图，一条公路的两侧互相平行，某课外兴趣小组在公路一侧AE的点A处测得公路对面的点C与AE的夹角∠CAE=30°，沿着AE方向前进15米到点B处测得∠CBE=45°，求公路的宽度.（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73）
20．（2024·沈阳开学考） 某电脑销售公司在5月份售出甲、乙、丙三种型号的电脑若干台，每种型号的电脑不少于10台．这个月的支出包括以下三项：这批产品的进货总成本850000元，人员工资和其他支出．这三种电脑的进价和售价如表所示，人员工资y1（元）与总销售量x（台）的关系式为y1＝400x+12000，其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数图象如图所示．
型号 甲 乙 丙
进价（元/台） 4500 6000 5500
售价（元/台） 6000 8000 6500
（1）求其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式；
（2）如果该公司5月份的人员工资和其他支出共90000元，求该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑多少台？
（3）在（2）的条件下，求该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值，并求出此时三种电脑各销售了多少台？（利润＝售价-进价-人员工资-其他支出）
21．（2024·沈阳开学考） 如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝EC，过点D的切线交AC的延长线于点F．
（1）求证：BC∥DF；
（2）若sin∠BAD=，AB＝，求AF的长．
22．（2024·沈阳开学考） 如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2024·沈阳开学考） 小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
（1）【习题回顾】：如图，在等边三角形ABC的AC、BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，求∠BOQ的度数．请你解答该习题．
（2）【拓展延伸】：如图1，在等腰Rt△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，BP平分∠ABC， AQ=，∠BAC＝90°，求BP的长．小明的思路：过点A作AG∥BC交BP延长线于点G，证明△AQC≌△GPA，
（3）如图2，在Rt△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q，使CQ＝2AP，BP平分∠ABC，，∠BAC＝90°，求AQ，BP的数量关系，请你解答小明提出的问题．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2·a3=a2+3=a5，故此选项错误；
B、（-2a2）3=（-2）3a2×3=-8a6，故此选项正确；
C、a9÷a3=a9-3=a6，故此选项错误；
D、2a2+a2=3a2，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此可判断A选项；幂的乘积，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断B选项；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断D选项.
2．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、如果x=y，那么x+5=y+5或x-5=y-5，故此选项错误；
B、如果x=y，那么-2x=-2y，故此选项正确；
C、如果x=y，如c≠0，则，故此选项错误；
D、如果x=6，那么x=6×2=12，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质，等式两边同时加上、减去或乘以同一个数，等式依然成立；等式两边同时除以一个不为0的数，等式依然成立，据此逐项判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵-3＜0
∴点（0，-3）在y轴的负半轴.
故答案为：B.
【分析】根据横、纵坐标与0的大小作比较，即可判断点在平面直角坐标系中的位置.
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x+9=(x-2)2+5
∴抛物线的顶点坐标为（2，5）
故答案为：B.
【分析】将抛物线的一般式化为顶点式即可直接写出顶点的坐标.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线 上的两点，且 ，
∴点B、C在第一象限，0＜y3＜y2，
∵A（x1，y1）在第三象限，
∵y1＜0，
∴ .
故答案为：C.
【分析】利用非负数的性质，可知k2+1＞0，利用反比例函数的性质可知反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，利用已知条件，可得到y1，y2，y3的大小关系.
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，
故答案为：D.
【分析】先根据正多边形的外角的性质求出每个外角，然后根据邻补角的性质求出每个内角，最后 每个内角与每个外角的度数之比即可.
7．【答案】B
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是指一组数据从大到小（或从小到大）排列位于中间的数或中间两个数的平均数，都是与平均数比较接近的，故如果想了解这家公司的员工的平均工资时，最应该关注的数据是众数和中位数.
故答案为：B.
【分析】平均数是一组数据所有数之和除以数据的个数得来，平均数容易受极值的影响；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据从大到小（或从小到大）排列位于中间的数或中间两个数的平均数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，；方差是一组数据中各个数与平均数差的平方之和的平均数，反应一组数据的波动大小，.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：“”所依据的数学定理是两直线平行，内错角相等．
故答案为：A
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”解答即可.
9．【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为 外接圆的圆心，坐标为（5，2）.
故答案为：A.
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出 外接圆的圆心，进而即可得到坐标.
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点H作HK⊥AG于点K，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，
由旋转的性质可知，四边形AGFE是矩形，FG＝BC＝8，AG＝AB＝6，
∴DG＝AD﹣AG＝8﹣6＝2，∠AGF＝90°，
在Rt△AGF中，，
∵H是对角线AF的中点，
∴，
∵HK⊥AG，
∴，
在Rt△HKG中，，
在Rt△HKD中，，
故答案为：A．
【分析】过点H作HK⊥AG，根据矩形和旋转的性质，得到FG＝8，AG＝6，利用勾股定理，求出AF＝10，从而得到HG＝AH＝5，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到KG＝3，最后利用勾股定理，分别求出HK＝4，，即可得到答案．
11．【答案】2.8×1010
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：280亿=280×108=2.8×1010.
故答案为：2.8×1010.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时， a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几，据此可得答案.
12．【答案】2021
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：|-2021|=-(-2021)=2021
故答案为：2021.
【分析】除0以外，所有数的绝对值都是正数，负数的绝对值是其相反数.
13．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
掷第次正面朝上的概率是
故答案为：
【分析】每掷一次骰子，正面向上的概率不会改变，均为.
14．【答案】﹣3
【知识点】等腰三角形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AO垂足为D，连接CO，
∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A，B（0，2），
∴t，
∴∠BAO＝30°，
∵△ABO沿直线AB翻折，
∴AO＝CA，∠CAB＝∠BAO＝30°，
∴∠CAO＝60°，
∴△ACO为等边三角形，
∴，∠COA＝60°，
∵CD⊥AO，AC＝CO，
∴，
在Rt△CDO中，，
∴C，
∵点C恰好落在双曲线 上，
∴，
故答案为：．
【分析】直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，可求AO，BO的长度，可得∠BAO＝30°，由翻折可得△ACO为等边三角形，作CD⊥AO，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得CD，DO，即可求k的值．
15．【答案】4
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H.
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠ABC=60°，
∵AT=TB，
∴BC=BT，
∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ=60°，
∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ，
∴△TBP≌△CBQ（SAS），
∴CQ=PT，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=4，
∴CQ的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H，利用SAS证△TBP≌△CBQ ，推出CQ=PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，根据三角形中位线定理和含30°角的直角三角形的性质，即可解答.
16．【答案】（1）解：去括号，得4x-4+3≤2x+5，
移项，得4x-2x≤5+4-3，
合并同类项，得2x≤6，
系数化为1，得x≤3，
其解集在数轴上表示如下，
（2）解：原式=4-1-（-3）+2×
=3+3-
=
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先去掉括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可解不等式；数轴上点3是实心，x≤3，开口向左，在数轴上画出即可；
（2）根据负指数的性质，求出的值；任何不为零的数的0指数幂都为1；根据，计算|-3|的值；根据特殊角的三角函数值计算2cos30°的值，最后再合并同类项即可.
17．【答案】（1）72
（2）解：1600×（+40%）＝960（人），
答：其中崇拜英雄人物和科学家的共约960人；
（3）解：由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：喜欢英雄人物的人数为：60-15-24-9=12（人）
英雄人数所占的百分比为：12÷60×100％=20％
补全统计表如下：
偶像类型 划记 人数 百分比
A．娱乐明星 正正正 15 25%
B．英雄人物 正正 12 20％
C．科学家 正正正正正 24 40%
D．其他 正 9 15%
补全统计图如下：
；
12÷60=20%；n°=360°×20%=72°；
故答案为：72；
【分析】（1）根据B类型人数=总人数-A类型人数-C类型人数-D类型人数，即可求出B类型的人数，在条形统计图中直接画出即可；根据B类型的人数占比=B类型人数÷总人数×100％，及n°=360°×B类型人数占比即可求解；
（2）根据崇拜英雄人物和科学家的人数之和=该校总人数×崇拜英雄人物和科学家的人数占比之和求解即可；
（3）根据中学生崇拜偶像的类型人数，进行合理化建议即可.
18．【答案】解：设乙园林队每天能完成绿化的面积为x平方米，则甲园林队每天能完成绿化的面积为2x平方米，
根据题意得： ，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×200＝400，
答：甲园林队每天能完成绿化的面积是400平方米，乙园林队每天能完成绿化的面积是200平方米．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设未知数，分别用未知数表示甲、乙两队每天完成绿化的面积，根据工作总量除以工作效率=工作时间，及“ 甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天 ”列分式方程，解方程即可.
19．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AE于点D，
设公路的宽CD=x米，
∵∠CBD=45°，
∴BD=CD=x，
在Rt△ACD中，∵∠CAE=30°，
∴tan∠CAD= = ，即 = ，
解得：x= ≈20.5（米），
答：公路的宽为20.5米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CD⊥AE于点D，设公路的宽CD=x米， 在直角三角形BCD中，由已知可得BD=CD=x；在直角三角形ACD中，根据tan∠CAD=可得关于x的方程，解方程可求解。
20．【答案】（1）解：设y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝kx+b，
根据题意得：，
解得：
∴y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝100x+3000；
（2）解：由题意得：y1+y2＝90000，
∴400x+12000+100x+3000＝90000，
解得：x＝150
该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑150台；
（3）解：设该公司5月份销售甲种电脑t台，乙种电脑p台，则售出丙种电脑（150-t-p）台，
由题意得：4500t+6000p+5500（150-t-p）＝850000，
解得：p＝2t+50，
∵每种型号的电脑不少于10台，
∴
∴10≤t≤30，
∴W＝6000t+8000（2t+50）+6500（150-t-2t-50）-850000-90000＝2500t+110000（10≤t≤30）．
∴当t＝30时，W有最大值，最大值为：2500×30+110000＝185000（元）．
∴2t+50＝110（台），150-t-2t-50＝10（台）．
∴该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值为185000元，此时甲种电脑销售了30台，乙种电脑销售了110台，丙种电脑销售了10台．
【知识点】一元一次不等式组的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解一次函数的解析式，将已知两个点的坐标代入函数，列二元一次方程组，代入法解方程即可求出一次函数的解析式；
（2）根据该公司5月份的人员工资和其他支出共90000元，可列一元一次方程，解方程即可；
（3）根据总成本=甲型号电脑的进价×甲中电脑的台数+乙型号电脑的进价×乙中电脑的台数+丙型号电脑的进价×丙中电脑的台数，列方程，即可用含t的未知数表示p；根据每种型号的电脑不少于10台，列不等式组，即可求出t的取值范围；根据利润＝售价-进价-人员工资-其他支出，建立函数关系式，根据一次函数的性质和t的取值范围即可求出利润最大时，甲、乙、丙销售的台数.
21．【答案】（1）证明：∵AD为⊙O的直径，BE＝CE，
∴AD⊥BC，
∵DF是⊙O的切线，
∴AD⊥DF，
∴BC∥DF；
（2）解：连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵BE＝CE，AD⊥BC，
∴AB＝AC＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵sin∠CAD＝∠sin∠BAD=，AB＝，
∴CE＝BE＝4，
∴AE==8，
∵cos∠CAD=，
∴，
∴AD＝10，
∵tan∠CAD=，
∴，
∴DF＝5，
∴AF==．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得AD⊥BC；根据圆的切线的性质，可得AD⊥DF；根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，可得BC∥DF；
（2）根据圆周角定理，可得∠ACD=90°；根据等腰三角形的三线重合性质，可得AB=AC，∠BAD=∠CAD；根据三角函数的性质，列比例式，即可求出BE、AD和DF的值；根据勾股定理，可得AE和AF的值.
22．【答案】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x-3）＝a（x2-2x-3），
则-3a＝3，
解得：a＝-1，
故抛物线的表达式为：y＝-x2+2x+3；
（2）解：由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝-x+3，
如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，-x2+2x+3），则点H（x，-x+3），
则S△PBC＝S△PHC+S△PHB=×PH×OB=（-x2+2x+x-3）=-（x-）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）解：存在，点N的坐标为：（4，-）或（4，）或（-2， ）或（-2，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC=
∵抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t-3）2，
解得：t1=+3，t2=-+3，
∵，
∴x＝4，y＝t-3，
∴N1（4，），N2（4，-）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3-1）2+t2，
解得：t3=，t4=-，
∵，
∴x＝-2，y＝3+t，
∴N3（-2，），N4（-2，）；
即点N的坐标为：（4，-）或（4，）或（-2， ）或（-2，）．
【分析】（1）利用待定系数法（交点式）求解即可；
（2）根据待定系数法求直线BC的解析式，根据S△PBC＝S△PHC+S△PHB建立函数关系式，配方法求最值即可求出此时点P的坐标；
（3）根据抛物线的表达式，可得其对称轴；根据菱形的边长相等，分类讨论，列一元二次方程，即可求出M的纵坐标；根据t与x和y的关系，即可求出点N的坐标.
23．【答案】（1）解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°，AP＝CQ，
∴△ABP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ．
∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABP，
∴∠BOQ＝∠BAO+∠CAQ＝∠BAC＝60°；
（2）解：过点A作AG∥BC交BP的延长线于点G，
∴∠PAG＝∠C，∠PBC＝∠G，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP，
∴∠G＝∠ABP，
∴AG＝AB，
∵AC＝AB，
∴AG＝AC，
∵AP＝CQ，
∴△CAQ≌△AGP（SAS），
∴PG=AQ=．
∵AG∥BC，
∴△APG∽△CPB，
∴，
而，
∴，
∴，
∵PG=，
∴BP＝2；
（3）解：如图2，过点A作AG∥BC交BP的延长线于点G，
由（1）知∠PAG＝∠C，AG＝AB，
∵，
∴，
∵CQ＝2AP，
∴，
∴△APG∽△CQA，
∴，
∴，
Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∵AG∥BC，
∴△APG∽△CPB，
∴，
∴，
∴，
∴2BP=AQ．
【知识点】角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠ABP=∠CAQ；根据交的计算，即可求出∠BOQ的度数；
（2）根据角平分线的性质，可得∠PBC＝∠ABP；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得PG=AQ；根据三角形相似的判定和性质，可列比例式，进而求出BP的值；
（3）根据三角形相似的判定和性质，可列比例式，得到，，进而可得AQ和BP的数量关系.
1 / 1辽宁省沈阳市2023-2024学年九年数下学期开学数学初限时作业训练
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·沈阳开学考）下面计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（-2a2）3＝-8a6
C．a9÷a3＝a3 D．2a2+a2＝3a4
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2·a3=a2+3=a5，故此选项错误；
B、（-2a2）3=（-2）3a2×3=-8a6，故此选项正确；
C、a9÷a3=a9-3=a6，故此选项错误；
D、2a2+a2=3a2，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此可判断A选项；幂的乘积，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断B选项；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断D选项.
2．（2024·沈阳开学考）下列变形正确的是（ ）
A．如果x＝y，那么x+5＝y-5 B．如果x＝y，那么-2x＝-2y
C．如果x＝y，那么 D．如果，那么x＝3
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、如果x=y，那么x+5=y+5或x-5=y-5，故此选项错误；
B、如果x=y，那么-2x=-2y，故此选项正确；
C、如果x=y，如c≠0，则，故此选项错误；
D、如果x=6，那么x=6×2=12，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据等式的性质，等式两边同时加上、减去或乘以同一个数，等式依然成立；等式两边同时除以一个不为0的数，等式依然成立，据此逐项判断得出答案.
3．（2024·沈阳开学考）在平面直角坐标系中，点（0，-3）在（ ）
A．x轴的正半轴 B．y轴的负半轴 C．x轴的负半轴 D．y轴的正半轴
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵-3＜0
∴点（0，-3）在y轴的负半轴.
故答案为：B.
【分析】根据横、纵坐标与0的大小作比较，即可判断点在平面直角坐标系中的位置.
4．（2024·沈阳开学考）抛物线y＝x2-4x+9的顶点坐标是（ ）
A．（-2，5） B．（2，5） C．（2，-5） D．（-2，-5）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x+9=(x-2)2+5
∴抛物线的顶点坐标为（2，5）
故答案为：B.
【分析】将抛物线的一般式化为顶点式即可直接写出顶点的坐标.
5．（2024·沈阳开学考）在反比例函数 （ 为常数）上有三点 ， ， ，若 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线 上的两点，且 ，
∴点B、C在第一象限，0＜y3＜y2，
∵A（x1，y1）在第三象限，
∵y1＜0，
∴ .
故答案为：C.
【分析】利用非负数的性质，可知k2+1＞0，利用反比例函数的性质可知反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，利用已知条件，可得到y1，y2，y3的大小关系.
6．（2024·沈阳开学考）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，
故答案为：D.
【分析】先根据正多边形的外角的性质求出每个外角，然后根据邻补角的性质求出每个内角，最后 每个内角与每个外角的度数之比即可.
7．（2024·沈阳开学考）下列表格是某公司员工情况表，你在了解这家公司的员工的平均工资时，你最应该关注的数据是（ ）
职位 普工 文员 经理 董事长
人数 3 10 2 1
工资（元） 1200 1500 1600 8000
A．平均数 B．众数与中位数
C．方差 D．最小数
【答案】B
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是指一组数据从大到小（或从小到大）排列位于中间的数或中间两个数的平均数，都是与平均数比较接近的，故如果想了解这家公司的员工的平均工资时，最应该关注的数据是众数和中位数.
故答案为：B.
【分析】平均数是一组数据所有数之和除以数据的个数得来，平均数容易受极值的影响；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据从大到小（或从小到大）排列位于中间的数或中间两个数的平均数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，；方差是一组数据中各个数与平均数差的平方之和的平均数，反应一组数据的波动大小，.
8．（2024·沈阳开学考）古希腊数学家埃拉托色尼是第一个测算地球周长的人，他在当时的城市塞恩（图中的点A）竖立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的点B）竖立杆子的影子却偏离垂直方向约，由此他得出，那么的度数也就是的，所以从亚历山大到塞恩的距离也就等于地球周长的．其中“”所依据的数学定理是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．两直线平行，同旁内角互补 D．内错角相等，两直线平行
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：“”所依据的数学定理是两直线平行，内错角相等．
故答案为：A
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”解答即可.
9．（2024·沈阳开学考）如图， 外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4） D．(0，0)
【答案】A
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为 外接圆的圆心，坐标为（5，2）.
故答案为：A.
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出 外接圆的圆心，进而即可得到坐标.
10．（2024·沈阳开学考）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°到矩形AGFE的位置，H是对角线AF的中点，则线段DH的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点H作HK⊥AG于点K，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，
由旋转的性质可知，四边形AGFE是矩形，FG＝BC＝8，AG＝AB＝6，
∴DG＝AD﹣AG＝8﹣6＝2，∠AGF＝90°，
在Rt△AGF中，，
∵H是对角线AF的中点，
∴，
∵HK⊥AG，
∴，
在Rt△HKG中，，
在Rt△HKD中，，
故答案为：A．
【分析】过点H作HK⊥AG，根据矩形和旋转的性质，得到FG＝8，AG＝6，利用勾股定理，求出AF＝10，从而得到HG＝AH＝5，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到KG＝3，最后利用勾股定理，分别求出HK＝4，，即可得到答案．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2024·沈阳开学考）面对新冠肺炎疫情对经济运行的冲击，中国人民银行营业管理部（中国人民银行总行在京派驻机构）与相关部门多方动员，截至2020年4月2日，已发放优惠利率贷款573笔，金额280亿元．将280亿元用科学记数法表示应为 元．
【答案】2.8×1010
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：280亿=280×108=2.8×1010.
故答案为：2.8×1010.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时， a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几，据此可得答案.
12．（2024·沈阳开学考）|-2021|＝ ．
【答案】2021
【知识点】化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：|-2021|=-(-2021)=2021
故答案为：2021.
【分析】除0以外，所有数的绝对值都是正数，负数的绝对值是其相反数.
13．（2024·沈阳开学考）掷一枚质地均匀的硬币，前次都是正面朝上，则掷第次正面朝上的概率是 ．
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
掷第次正面朝上的概率是
故答案为：
【分析】每掷一次骰子，正面向上的概率不会改变，均为.
14．（2024·沈阳开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线 上，则k的值为 ．
【答案】﹣3
【知识点】等腰三角形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AO垂足为D，连接CO，
∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A，B（0，2），
∴t，
∴∠BAO＝30°，
∵△ABO沿直线AB翻折，
∴AO＝CA，∠CAB＝∠BAO＝30°，
∴∠CAO＝60°，
∴△ACO为等边三角形，
∴，∠COA＝60°，
∵CD⊥AO，AC＝CO，
∴，
在Rt△CDO中，，
∴C，
∵点C恰好落在双曲线 上，
∴，
故答案为：．
【分析】直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，可求AO，BO的长度，可得∠BAO＝30°，由翻折可得△ACO为等边三角形，作CD⊥AO，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得CD，DO，即可求k的值．
15．（2024·沈阳开学考）如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为 .
【答案】4
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H.
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠ABC=60°，
∵AT=TB，
∴BC=BT，
∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ=60°，
∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ，
∴△TBP≌△CBQ（SAS），
∴CQ=PT，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=4，
∴CQ的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H，利用SAS证△TBP≌△CBQ ，推出CQ=PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，根据三角形中位线定理和含30°角的直角三角形的性质，即可解答.
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（2024·沈阳开学考）（1）解不等式4（x-1）+3≤2x+5，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）计算：．
【答案】（1）解：去括号，得4x-4+3≤2x+5，
移项，得4x-2x≤5+4-3，
合并同类项，得2x≤6，
系数化为1，得x≤3，
其解集在数轴上表示如下，
（2）解：原式=4-1-（-3）+2×
=3+3-
=
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先去掉括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可解不等式；数轴上点3是实心，x≤3，开口向左，在数轴上画出即可；
（2）根据负指数的性质，求出的值；任何不为零的数的0指数幂都为1；根据，计算|-3|的值；根据特殊角的三角函数值计算2cos30°的值，最后再合并同类项即可.
17．（2024·沈阳开学考）某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
调查问卷 2023年6月 你崇拜的偶像是（ ）（单选） A．娱乐明星 B．英雄人物 C．科学家 D．其他
收集数据：
A、D、C、C、A、D、B、B、A、C、D、B、D、A、C、A、C、C、C、C、D、C、A、D、B、B、C、A、A、C、B、B、C、A、C、B、C、C、B、C、A、C、C、A、C、A、C、A、A、C、A、C、C、C、B、B、D、B、D、D．
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型 划记 人数 百分比
A．娱乐明星 正正正 15 25%
B．英雄人物 正正下
C．科学家 正正正正正 24 40%
D．其他 9 15%
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空n＝ ；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
【答案】（1）72
（2）解：1600×（+40%）＝960（人），
答：其中崇拜英雄人物和科学家的共约960人；
（3）解：由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家．
【知识点】用样本估计总体；统计表；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：喜欢英雄人物的人数为：60-15-24-9=12（人）
英雄人数所占的百分比为：12÷60×100％=20％
补全统计表如下：
偶像类型 划记 人数 百分比
A．娱乐明星 正正正 15 25%
B．英雄人物 正正 12 20％
C．科学家 正正正正正 24 40%
D．其他 正 9 15%
补全统计图如下：
；
12÷60=20%；n°=360°×20%=72°；
故答案为：72；
【分析】（1）根据B类型人数=总人数-A类型人数-C类型人数-D类型人数，即可求出B类型的人数，在条形统计图中直接画出即可；根据B类型的人数占比=B类型人数÷总人数×100％，及n°=360°×B类型人数占比即可求解；
（2）根据崇拜英雄人物和科学家的人数之和=该校总人数×崇拜英雄人物和科学家的人数占比之和求解即可；
（3）根据中学生崇拜偶像的类型人数，进行合理化建议即可.
18．（2024·沈阳开学考） 欧城物业为美化小区，要对面积为9600平方米的区域进行绿化，计划安排甲、乙两个园林队完成，已知甲园林队每天绿化面积是乙园林队每天绿化面积的2倍，并且甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天．求甲、乙两园林队每天能完成绿化的面积分别是多少平方米．
【答案】解：设乙园林队每天能完成绿化的面积为x平方米，则甲园林队每天能完成绿化的面积为2x平方米，
根据题意得： ，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×200＝400，
答：甲园林队每天能完成绿化的面积是400平方米，乙园林队每天能完成绿化的面积是200平方米．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设未知数，分别用未知数表示甲、乙两队每天完成绿化的面积，根据工作总量除以工作效率=工作时间，及“ 甲、乙两园林队独立完成面积为800平方米区域的绿化时，甲园林队比乙园林队少用2天 ”列分式方程，解方程即可.
19．（2024·沈阳开学考）如图，一条公路的两侧互相平行，某课外兴趣小组在公路一侧AE的点A处测得公路对面的点C与AE的夹角∠CAE=30°，沿着AE方向前进15米到点B处测得∠CBE=45°，求公路的宽度.（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73）
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AE于点D，
设公路的宽CD=x米，
∵∠CBD=45°，
∴BD=CD=x，
在Rt△ACD中，∵∠CAE=30°，
∴tan∠CAD= = ，即 = ，
解得：x= ≈20.5（米），
答：公路的宽为20.5米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CD⊥AE于点D，设公路的宽CD=x米， 在直角三角形BCD中，由已知可得BD=CD=x；在直角三角形ACD中，根据tan∠CAD=可得关于x的方程，解方程可求解。
20．（2024·沈阳开学考） 某电脑销售公司在5月份售出甲、乙、丙三种型号的电脑若干台，每种型号的电脑不少于10台．这个月的支出包括以下三项：这批产品的进货总成本850000元，人员工资和其他支出．这三种电脑的进价和售价如表所示，人员工资y1（元）与总销售量x（台）的关系式为y1＝400x+12000，其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数图象如图所示．
型号 甲 乙 丙
进价（元/台） 4500 6000 5500
售价（元/台） 6000 8000 6500
（1）求其他支出y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式；
（2）如果该公司5月份的人员工资和其他支出共90000元，求该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑多少台？
（3）在（2）的条件下，求该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值，并求出此时三种电脑各销售了多少台？（利润＝售价-进价-人员工资-其他支出）
【答案】（1）解：设y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝kx+b，
根据题意得：，
解得：
∴y2（元）与总销售量x（台）的函数关系式为y2＝100x+3000；
（2）解：由题意得：y1+y2＝90000，
∴400x+12000+100x+3000＝90000，
解得：x＝150
该公司5月份共售出甲、乙、丙三种型号的电脑150台；
（3）解：设该公司5月份销售甲种电脑t台，乙种电脑p台，则售出丙种电脑（150-t-p）台，
由题意得：4500t+6000p+5500（150-t-p）＝850000，
解得：p＝2t+50，
∵每种型号的电脑不少于10台，
∴
∴10≤t≤30，
∴W＝6000t+8000（2t+50）+6500（150-t-2t-50）-850000-90000＝2500t+110000（10≤t≤30）．
∴当t＝30时，W有最大值，最大值为：2500×30+110000＝185000（元）．
∴2t+50＝110（台），150-t-2t-50＝10（台）．
∴该公司5月份销售甲、乙、丙三种产品总利润W的最大值为185000元，此时甲种电脑销售了30台，乙种电脑销售了110台，丙种电脑销售了10台．
【知识点】一元一次不等式组的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解一次函数的解析式，将已知两个点的坐标代入函数，列二元一次方程组，代入法解方程即可求出一次函数的解析式；
（2）根据该公司5月份的人员工资和其他支出共90000元，可列一元一次方程，解方程即可；
（3）根据总成本=甲型号电脑的进价×甲中电脑的台数+乙型号电脑的进价×乙中电脑的台数+丙型号电脑的进价×丙中电脑的台数，列方程，即可用含t的未知数表示p；根据每种型号的电脑不少于10台，列不等式组，即可求出t的取值范围；根据利润＝售价-进价-人员工资-其他支出，建立函数关系式，根据一次函数的性质和t的取值范围即可求出利润最大时，甲、乙、丙销售的台数.
21．（2024·沈阳开学考） 如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝EC，过点D的切线交AC的延长线于点F．
（1）求证：BC∥DF；
（2）若sin∠BAD=，AB＝，求AF的长．
【答案】（1）证明：∵AD为⊙O的直径，BE＝CE，
∴AD⊥BC，
∵DF是⊙O的切线，
∴AD⊥DF，
∴BC∥DF；
（2）解：连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵BE＝CE，AD⊥BC，
∴AB＝AC＝，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵sin∠CAD＝∠sin∠BAD=，AB＝，
∴CE＝BE＝4，
∴AE==8，
∵cos∠CAD=，
∴，
∴AD＝10，
∵tan∠CAD=，
∴，
∴DF＝5，
∴AF==．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可得AD⊥BC；根据圆的切线的性质，可得AD⊥DF；根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，可得BC∥DF；
（2）根据圆周角定理，可得∠ACD=90°；根据等腰三角形的三线重合性质，可得AB=AC，∠BAD=∠CAD；根据三角函数的性质，列比例式，即可求出BE、AD和DF的值；根据勾股定理，可得AE和AF的值.
22．（2024·沈阳开学考） 如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x-3）＝a（x2-2x-3），
则-3a＝3，
解得：a＝-1，
故抛物线的表达式为：y＝-x2+2x+3；
（2）解：由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝-x+3，
如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，-x2+2x+3），则点H（x，-x+3），
则S△PBC＝S△PHC+S△PHB=×PH×OB=（-x2+2x+x-3）=-（x-）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）解：存在，点N的坐标为：（4，-）或（4，）或（-2， ）或（-2，）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC=
∵抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t-3）2，
解得：t1=+3，t2=-+3，
∵，
∴x＝4，y＝t-3，
∴N1（4，），N2（4，-）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3-1）2+t2，
解得：t3=，t4=-，
∵，
∴x＝-2，y＝3+t，
∴N3（-2，），N4（-2，）；
即点N的坐标为：（4，-）或（4，）或（-2， ）或（-2，）．
【分析】（1）利用待定系数法（交点式）求解即可；
（2）根据待定系数法求直线BC的解析式，根据S△PBC＝S△PHC+S△PHB建立函数关系式，配方法求最值即可求出此时点P的坐标；
（3）根据抛物线的表达式，可得其对称轴；根据菱形的边长相等，分类讨论，列一元二次方程，即可求出M的纵坐标；根据t与x和y的关系，即可求出点N的坐标.
23．（2024·沈阳开学考） 小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
（1）【习题回顾】：如图，在等边三角形ABC的AC、BC边上各取一点P，Q使AP＝CQ，AQ，BP相交于点O，求∠BOQ的度数．请你解答该习题．
（2）【拓展延伸】：如图1，在等腰Rt△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，BP平分∠ABC， AQ=，∠BAC＝90°，求BP的长．小明的思路：过点A作AG∥BC交BP延长线于点G，证明△AQC≌△GPA，
（3）如图2，在Rt△ABC的AC、BC边上各取一点P、Q，使CQ＝2AP，BP平分∠ABC，，∠BAC＝90°，求AQ，BP的数量关系，请你解答小明提出的问题．
【答案】（1）解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAP＝∠C＝60°，AP＝CQ，
∴△ABP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABP＝∠CAQ．
∵∠BOQ＝∠BAO+∠ABP，
∴∠BOQ＝∠BAO+∠CAQ＝∠BAC＝60°；
（2）解：过点A作AG∥BC交BP的延长线于点G，
∴∠PAG＝∠C，∠PBC＝∠G，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP，
∴∠G＝∠ABP，
∴AG＝AB，
∵AC＝AB，
∴AG＝AC，
∵AP＝CQ，
∴△CAQ≌△AGP（SAS），
∴PG=AQ=．
∵AG∥BC，
∴△APG∽△CPB，
∴，
而，
∴，
∴，
∵PG=，
∴BP＝2；
（3）解：如图2，过点A作AG∥BC交BP的延长线于点G，
由（1）知∠PAG＝∠C，AG＝AB，
∵，
∴，
∵CQ＝2AP，
∴，
∴△APG∽△CQA，
∴，
∴，
Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∵AG∥BC，
∴△APG∽△CPB，
∴，
∴，
∴，
∴2BP=AQ．
【知识点】角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠ABP=∠CAQ；根据交的计算，即可求出∠BOQ的度数；
（2）根据角平分线的性质，可得∠PBC＝∠ABP；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得PG=AQ；根据三角形相似的判定和性质，可列比例式，进而求出BP的值；
（3）根据三角形相似的判定和性质，可列比例式，得到，，进而可得AQ和BP的数量关系.
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