人教版数学九年级上册课件22.3 实际问题与二次函数 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
第3课时 实物抛物线
创设情境
学习目标
1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力.
3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，会用转化和数形结合的思想解决实际问题.
请说出这个二次函数的解析式类型.
x
y
x
y
x
y
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k
（4）y=ax2+bx+c
O
O
O
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
探究新知
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数.
你能想出办法来吗？
探究新知
利用二次函数解决实物抛物线问题
1
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
x
O
y
-2
-4
2
1
-2
-1
A
因此 ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
水面宽3m时 , 即 时，
因此拱顶离水面高1.125m
我们来比较一下
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
谁最合适
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m. 水面下降1m时，水面宽度增加多少？
(2,-2)
(-2,-2)
x
y
O
例1
解：
以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2.
将点(-2，-2)代入解析式，
可得-2=a · (-2)2.
x
y
O
(2,-2)
(-2,-2)
水面
水面下降一米，即此时y=-3.
如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？
y
O
(2,1)
(-2,1)
水面
x
(0,3)
解：
依题意建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+3.
将点(-2，1)代入解析式，
可得1=a · (-2)2+3.
你还有其他的方法吗？

y
O
(2,0)
(-2,0)
x
(0,2)
还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算.
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
拓展提高
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).
数学化
设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25.
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;
同理，点 D的坐标为(-2.5,0) .
不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
D
o
A
x
y
●
C
课堂小结
归纳总结
构建脉络
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
（二次函数的图象和性质）