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22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
九年级
第22章第一节《二次函数》
问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？
追问1：你是怎么想到的？
图象和性质
类比一次函数
通过具体实例认识这种函数
研究图象和性质
解决实际问题
探索与相应方程的联系
整体建构 引入新知
追问2：怎样研究二次函数的图象和性质？
y=ax2
函数
一次函数
y=kx+b（k≠0）
二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
类 比
一般
b=0
y=kx
第一次特殊化
b=0
c=0
第一次特殊化
k=±1
k=±2
k=±
k取有代表性的几组数
第二次特殊化
k＞0
k＜0
归纳性质
描点法
作图
特殊
一般
明确方向 探索新知
明确方向 探索新知
知识点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质
问题1：二次函数 y = ax + bx + c 定义中系数 a≠0，
b、c 呢？
都可以为 0
最特殊：
y = ax (a≠0)
从特殊到一般
y = ax + bx + c (a≠0)
问题2：怎么研究 y = ax (a≠0) 的图象和性质？
a 的具体数值
从特殊到一般
y = ax (a≠0)
操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征.
探究1：从函数解析式研究图象和性质.
(1) 自变量 x 的取值范围是什么？
(2) 函数值 y 的取值范围是什么？
(3) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？
可以猜测图象的对称性吗？
全体实数
( y≥0 )
相等. 如： x =±2 时， y = 4.
猜想：关于 y 轴对称. 如： (2，4) 与 (-2，4) 等.
明确方向 探索新知
明确方向 探索新知
探究2：用“描点法”法作图
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … …
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数.
列表表示几组对应值：
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y).
3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到
y = x2 的图象．(能用直线连接吗？)
同学们展示下自己的结果，并交流下做法？
8
思考：二次函数 y = x2 的图象有什么特征？
(可以从以下几个方面考虑)
(1) 你能描述图象的形状吗？
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
(3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？
当 x＞0 时呢？
(4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？
你是如何知道的？
(1) 你能描述图象的形状吗？
类似
抛物线 y = x2
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
8
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
8
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … …
9
4
1
0
1
9
4
这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴.
图象是轴对称图形
(3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？
当 x＞0 时呢？
观察图象可以发现：
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
(-2，4)
(-1，1)
(2，4)
(1，1)
3
2
y = x2
点击
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(4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？
你是如何知道的？
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点，为 (0，0).
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
3
2
顶点
y = x2
同化顺应 建构新知
例1 在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
解：列表如下：
x ··· 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
同化顺应 建构新知
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
描点、连线，如图所示：
x
y
y = 2x2
思考：(1) 函数 y = 2x2 的图象与函数 y = x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？
想一想
点击视频
开始播放
共同点：是开口向上，对称轴是 y 轴，
顶点是原点，也是抛物线的最低点；
不同点：是开口大小不同.
(2) 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
当 a＞0 时，a 越大，开口越小.
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
x
y
y = 2x2
y = x2
y＝ax2 a > 0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向上
a 越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x < 0 时，y 随 x 增大而减小；
当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大.
归纳总结
y＝ax2 a ＜ 0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
小组讨论，如何归纳总结出下表？
知识点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质
合作探究
点击视频
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(1) 在同一直角坐标系中，画出函数
观察图象，思考这些抛物线有什么相同点和不同点？
想一想
当 a＜0 时，a 越小，抛物线的开口越小.
共同点是开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点；
不同点是开口大小不同.
(2) 当 a＜0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
2
2
-2
-4
-6
4
4
-8
x
y
y = -2x2
O
y = -x2
问题：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？
y
2
4
-2
-4
O
-2
-4
-6
x
(2， 4)
( 2， 4)
(3， 9)
( 3， 9)
y = -x2
-8
观察图象可以发现：
当 x＜0 时，
y 随 x 的增大而增大；
当 x＞0 时，
y 随 x 的增大而减小.
顶点是抛物线的最高点，
为 (0，0).
顶点
归纳总结
y＝ax2 a ＜ 0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向下
当 x = 0 时，y最大值 = 0
a 越小，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当 x > 0 时，y 随 x 增大而增小；当 x < 0 时，y 随 x 增大而减大.
观察下列图象，抛物线 y = ax2 与 y = ax2 (a＞0) 的关系是什么？
二次项系数互为相反数时， 开口方向相反，开口大小相同，它们关于 x 轴对称.
x
y
O
y = ax2
y = ax2
想一想
已知二次函数的图像经过点A(2,-4)。
（1）求a的值，并写出这个二次函数的表达式；
学以致用 应用新知
解：设二次函数解析式为y=ax2
∵图象经过点A（2，-4）
∴ 22a=-4
解得a=-1，
∴二次函数表达式为y=-x2
（2）这条抛物线的开口方向为 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，顶点是这条抛物线上的最 点，二次函数有最__ 值 。
（3） 若点(-2 ，y1）(-1 ，y2） 在函数的图象上，试判断
y1与y2的大小关系．
y=-x2
上
y轴
（0，0）
高
大
变式1：已知二次函数，点(-2 ，y1）(-1 ，y2）在函数的图象上，且y1＜y2，试判断a的符号．
变式2：已知二次函数y=（m-3）x2，点（x1，y1）（x2，y2）在函数的图象上，0＜x1＜x2时，y1＞y2,则m的取值范围是 ．
变式3：若点(-2 ，y1）(1 ，y2）在所求二次函数的图象上，试判断 y1与y2的大小关系．
变式4：若点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是
变式5：-1≤x≤2时，此二次函数的最大值和最小值分别是多少？
总结反思 形成经验
（1）本节课研究了什么内容，其研究路径是怎样的，用到了哪些数学思想与方法？
（2）类比一次函数的研究，接下来我们会研究二次函数哪一类特殊类型的表达式？
二次函数
y = ax2 的图象及性质
画法
描点法
在对称轴两侧对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4 个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
y＝ax2 a > 0 a < 0
图象
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向上
开口向下
| a | 越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x = 0 时，y最大值 = 0
y
O
x
y
O
x
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0 时，y随x增大而增大
当x>0时，y随x增大而增大；
当x<0 时，y随x增大而减小
