2024-2025学年上学期北师大版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(二)（含解析）

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2024-2025学年上学期北师大版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6,8,以AB所在的直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则以A,B为焦点,且过点C的双曲线方程为( )
A. B. C. D.
2．已知直线与椭圆C：交于A，B两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆C的离心率是( )
A. B. C. D.
3．已知椭圆,为坐标原点,直线与椭圆C交于A,B两点.若为直角三角形,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
4．下列直线中,倾斜角最大的是( )
A. B. C. D.
5．在平面直角坐标系xOy中，A为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆C与直线交于另一点D若，则点A的横坐标为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6．在两条异面直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，，则两条异面直线a，b所成的角为( )
A. B. C. D.
7．已知椭圆E：（）的左焦点为F，过焦点F作圆的一条切线l交椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
8．已知直线经过两点，，则直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知直线与直线平行,且与间的距离为,则的方程可以是( )
A. B. C. D.
10．已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是( )
A.对任意的，恒成立 B.对任意的，恒成立
C.存在，使得成立 D.存在，使得成立
11．在正方体中，P为的中点，则下列说法正确的是( )
A. B.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．从2024年伊始,各地旅游业爆火,兵马俑是陕西省旅游胜地.某大学一个寝室6位同学A,B,C,D,E,F慕名而来,游览结束后,在门前站一排合影留念,要求A,B相邻,C在D的左边,则不同的站法共有____________;（用数字做答）
13．如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为____________.
14．已知抛物线经过点，则抛物线C的准线方程是____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知点,,若点在线段上,则的取值范围为__________.
16．已知圆过点,直线和均平分圆C．
(1)求圆的标准方程;
(2)过点P的直线l与圆C相交于M点,且,求直线l的一般式方程．
17．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高.
(1)求所在直线的方程；
(2)求高所在直线的方程.
18．已知椭圆的一个顶点为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过点能否作一条直线l,使直线l与椭圆交于A,B两点,且使得M是线段的中点,若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.
19．已知直线,直线.
（1）若,求实数a的值;
（2）若,求实数a的值.
参考答案
1．答案：A
解析：依题意,双曲线焦点在x轴上,焦距,即,
实轴长,即,于是虚半轴长,
所以所求双曲线方程为.
故选:A
2．答案：C
解析：取右焦点，连接，，由在以线段为直径的圆上，
故，结合对称性可知四边形为矩形，有，
有，又，
由，则，，
由椭圆定义可得，
故，
则.
故选：C.
3．答案：B
解析：由椭圆的对称性可得,
则,
则不妨取,,
将点的坐标代入得:,
所以,
所以C的离心率.
故选:B.
4．答案：C
解析：对于A,直线的斜率,则倾斜角;
对于B,直线的倾斜角;
对于C,直线的斜率,则倾斜角;
对于D,直线的倾斜角,
所以直线的倾斜角最大.
故选:C.
5．答案：D
解析：设,因为,所以
则圆C的方程为,
联立,
解得,由,
得,
解得或,
又,所以,
即,所以点A的横坐标为4.
故选：D
6．答案：C
解析：
7．答案：A
解析：由题意可知：圆的圆心为点O，半径为b，，
设椭圆E的右焦点为，连接，
因为，可知点Q为的中点，
且点O为的中点，则，，
由椭圆定义可知：，
因为Q为切点，可知，则，
可得，
即，
解得，即，
所以椭圆E的离心率.
故选：A.
8．答案：C
解析：因为，
所以，因为，
所以与共线，
故直线l的一个方向向量是.
故选:C
9．答案：AD
解析：直线,即,
设所求直线的方程为,
由题意可得,解得或-2．
故所求直线的方程为或．
故选：AD．
10．答案：ACD
解析：A.直线，直线，
又，，故恒成立，选项正确，符合题意；
B.，，
又，故，不成立，选项错误，不符合题意；
C.，，
又当时，，故成立，选项正确，符合题意；
D.，，
又当时，，
且，使得成立，选项正确，符合题意；
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：
12．答案：120
解析：先将A,B “捆绑”看成一个元素,与另外四人在五个位置上进行全排,
再考虑C在D的左边,最后“解绑”,故有种方法.
故答案为：120.
13．答案：
解析：
设双曲线的方程为，
由题意得，则，
，
则，，
所以双曲线的方程为.
故答案为：.
14．答案：
解析：抛物线经过点，
，解得，则，
准线方程为.
15．答案：
解析：表示过点和点的直线斜率,
如图,
因为,,结合图形可知或,
所以的取值范围为.
故答案为：
16．答案：(1)
(2),
解析：(1)由点P在圆C上,则①,
又直线和均平分圆C,则直线和均过圆心C,
联立方程组,解得,
所以直线和的交点坐标为,即圆心C的坐标为,
由圆可知,圆心C的坐标为,
则,解得,
将代入①,得,
所以圆C的方程为：,即,
故圆C的标准方程为：.
(2)由题可知,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为,即,
取弦的中点为N,则,
由,且为等腰三角形,则,
又,则圆心到直线l的距离为,
由点到直线的距离公式可知：,解得,,
所以直线l的方程为,即直线l的一般式方程为：,.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为是边的中点，所以，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即.
（2）因为是边的中点，所以，
因为是边上的高，所以，所以.
所以，因此高所在直线的方程为：，即
18．答案：(1)
(2).
解析：(1)椭圆C的顶点为,,
又,,
,
椭圆C的方程为：.
(2）当过点M的直线斜率不存在时,显然不成立,
设直线的斜率为k,则其方程为：,如图,
联立方程组,消去y并整理,
得：,
由M在椭圆内部可知,方程有两不等实根,
设,,
,且点是线段的中点,
,,
故存在这样的直线,方程为：,即,
19．答案：（1）3
（2）或
解析：（1）因为,所以,
整理得,
解得或.
当时,,,,重合;
当时,,,符合题意.
故.
（2）因为,所以,
解得或.
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