2024-2025学年上学期北师大版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测(一)（含解析）

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2024-2025学年上学期北师大版（2019）高二年级期末教学质量模拟检测
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点E是的中点已知，，，则( )
A. B. C. D.
2．若F是抛物线的焦点,P是抛物线C上任意一点,的最小值为,且A,B是抛物线C上两点,,则线段的中点到y轴的距离为( )
A.3 B.2 C. D.
3．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，G是的重心，记，，，则等于( )
A. B. C. D.
4．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
5．已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为( )
A. B. C.2 D.1
6．利用按比例分配的分层随机抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排，则不同的排列方法种数为( )
A. B. C. D.
7．设,则“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．观察下列散点图的分布规律和特点，其中两个变量存在相关关系的有( )
A. B.
C. D.
10．已知棱长为3的正四面体，，，，，则下列选项正确的是( )
A.当时，
B.当时，
C.当时，的最大值为
D.当时，则的最大值为
11．设点,分别为椭圆的左、右焦点,点P是椭圆C上任意一点,若使得成立的点恰好是4个,则实数m的取值可以是( )
A.1 B.3 C.5 D.4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若关于x的方程有两个不等实根，则实数k的取值范围是____________.
13．过点，，三点的圆的标准方程为____________.
14．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点E，F分别为，的中点，点T为内的一个动点（包括边界），若平面，则点T的轨迹的长度为____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知直线，直线
(1)若，求实数a的值；
(2)若，求实数a的值.
16．如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面；
17．已知双曲线的左 右焦点分别为,.
(1)若点A的坐标是,且的面积为,求双曲线C的渐近线方程;
(2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且（O为原点）,求双曲线C的离心率.
18．如图所示,已知是平行六面体.
(1)化简,并在图中标出其结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面对角线上的分点,设,试求,,的值.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与C交于A，B两点，的周长为.
(1)求C的方程；
(2)若的面积为，求的方程；
(3)若与交于M，N两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知，，
则，
故选：B.
2．答案：B
解析：根据题意可知,
如图,取AB中点E,分别过点A、B、E作,,于点D、C、G,
DG与y轴交于点H.
根据抛物线的定义可得：,
.
因为GE为梯形ABCD的中位线,所以
所以线段的中点到轴的距离.
故选：B.
3．答案：D
解析：易知，设中点为E，
则，
所以，故选D
4．答案：C
解析：由题意，得，即，故选C.
5．答案：D
解析：依题意在区间上有零点，
整理得在上有解，
表示坐标系aOb中，直线（x看成参数）上的点，
所以表示原点到直线上的点的距离的平方，
设
，
由于，
所以当时，取得最小值为，
所以的最小值为1.
故选：D
6．答案：C
解析：因为是按比例分配的分层随机抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球，所以红球有个，黑球有个，由于红球是完全相同的，黑球也是完全相同的，则有1种抽取方法，进而将4个黑球安排在10个位置中的4个，有种方法，剩余6个位置安排红球，有1种方法，由分步乘法计数原理，可得共有种不同的排列方法.故选C.
7．答案：A
解析:若直线与直线平行,则,解得或,经检验或时两直线平行.故选A.
8．答案：C
解析：根据点关于平面对称时,
横坐标,纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数可知,
点关于平面的对称点为,
故选:C.
9．答案：ABC
解析：相关关系对应的图形是散点图，ABC都能反映两个变量的变化规律，它们都具有相关关系；
D中的点散乱地分布在坐标平面内，不能反映两个变量的变化规律，不具有相关关系.
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：由正四面体，可知，，
选，，为空间内的基底向量，
当，，
，所以
，故A正确；
因为，
当，，故B错误；
，
又，所以，
整理得，当且仅当时取等号，
化简得，解得，故C正确；
，
所以
，
由，所以，
因为，所以，
所以，所以，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：设, ,, ,,
由可得,又点P在椭圆C上,即,
,要使得成立的点恰好是4个,则,解得.
故选：BD.
12．答案：
解析：由题意，得.
设，则.
由题意，知过定点的直线与半圆有两个交点.
如图，记O为原点，则直线PO的斜率为，所以.由直线与圆有两个交点，得圆心到直线l的距离小于半径1，
即，所以，解得.所以k的取值范围是.
13．答案：
解析：设圆的标准方程为，
因为圆过点，，三点，
所以①，
②，
③，
由①-②得到④，
由②-③得到⑤，
由④⑤解得，代入①，得，
所以圆的标准方程为，
故答案为：.
14．答案：
解析：由题知，，，两两垂直，
以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
记的中点为G，连接，
因为为正方形，E为中点，
所以，且，
所以为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
记点T的轨迹与交于点H，
由题知平面，
因为，是平面内的相交直线，
所以平面平面，
所以即为点T的轨迹，
因为，，，
，，
所以，，
，
设，
则，
设为平面的法向量，
则，
令得，
因为，
所以，
解得，则，
又
所以，
所以.
故答案为：
15．答案：(1)；
(2)或.
解析：(1)由
则
即，
所以或，
当，，，两线重合，不合题设；
当，，，符合题设；
综上，
(2)由，则
即，
所以
即或.
16．答案：证明见解析
解析：由题意，以点A为坐标原点，，,分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
故，
，
即，
又平面，
故平面.
17．答案：(1)
(2)2
解析：(1)因为,的面积为,
所以,
即,
所以,
解得或（舍去）,
所以,
所以双曲线C的渐近线方程是.
(2)因为以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,如图,
,所以,
在中,由余弦定理可得：
,
所以,则,
所以,,,
所以,,
所以双曲线C的离心率为2.
18．答案：(1)答案见解析
(2),,.
解析：(1)取的中点G,过G作DC的平行线GH,使,连接AH,
则;
其结果如图所示.
(2).
,,.
19．答案：（1）；
（2）或；
（3）
解析：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，
的周长为，所以，
所以，故C的方程为.
（2）易知的斜率不为0，设，，，
联立，得，
所以，.
所以，
由，
解得，所以的方程为或.
（3）由（2）可知，
因为的斜率是的斜率的2倍，所以，
得
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
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