期末能力提升卷（含解析）-2024-2025学年数学八年级上册苏科版

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期末能力提升卷-2024-2025学年数学八年级上册苏科版
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 南充校级期末）下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023秋 慈利县期末）下列各数中，不是无理数的是（　　）
A． B．π
C． D．0.1010010001
3．（2024春 韩城市期末）8的立方根是（　　）
A．±4 B．2 C．4 D．±2
4．（2023秋 文昌校级期末）下列函数（其中x是自变量）中，不是正比例函数的个数有（　　）
①y＝﹣x；②y+2＝2（x+1）；③y＝k2x（k是常数）；④y2＝x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023秋 东莞市校级期末）2002年国际数学家大会在北京召开，如图①是大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（　　）
A．三角形内角和定理 B．三角形全等
C．勾股定理 D．轴对称图形
6．（2023秋 安徽期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝3cm，CDBC，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0＜t＜10），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值最多有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023秋 阳城县期末）如图，等腰直角三角形DEF的斜边中点O与等腰直角三角形ABC的斜边中点重合，D，E两点分别在AB、BC上，若AB＝4，AD＝1，则△DEF的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023秋 灵武市期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．y1随x的增大而增大
B．b＜n
C．当x＜2时，y1＞y2
D．关于x，y的方程组的解为
二．填空题（共7小题）
9．（2024春 江都区期末）比较大小： 　 　．
10．（2023秋 金安区校级期末）在平面直角坐标系中，点P（2，2）到x轴的距离是 　 　．
11．（2023秋 临潼区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若△ABC的周长26cm，△AEC的周长18cm，则AB的长为 　 　．
12．（2023秋 蓬溪县期末）Rt△ABO在数轴上如图，点O在原点，OB＝2，AB＝1，以点O为圆心，OA为半径画弧，交数轴负半轴于点C，则点C所表示的数为 　 　．
13．（2023秋 蜀山区期末）一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），若函数经过点（﹣2，0）和（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集为 　 　．
14．（2023秋 襄汾县期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠ADE的度数为 　 　．
15．（2023秋 迎江区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，，BC＝2，点M在线段BC上运动（不包含点B），连接AM，将△ABM沿直线AM翻折得到△AB′M．
（1）当B′M⊥BC时，则∠BAM＝　 　．
（2）在点M运动过程中，点B′到直线BC距离的最大值是 　 　．
三．解答题（共10小题）
16．（2023秋 廉江市校级期末）．
17．（2023秋 裕安区校级期末）已知点P（a﹣3，a+1）解答下列各题：
（1）若点P在y轴上，试求出a的值；
（2）若Q（1，2），且PQ∥x轴，试求p的坐标．
18．（2023秋 仓山区校级期末）如图，BD平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：AD＝CD．
19．（2023秋 平桥区校级期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AC＝EB．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．
20．（2023秋 金安区校级期末）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，已知A（﹣2，3），B（﹣1，1），C（0，2），
（1）作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位长度，作出平移后的△A2B2C2．
21．（2023秋 平果市期末）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△ACD，连接BD，过点A作AE⊥BD交BC于点E，交DC的延长线于点F．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若∠AFD＝∠BAC，CF＝2，DF＝7，求AF的长．
下面是小颖同学求AF长的过程，请将解题过程补充完整；
（2）解：如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF，CG，
∵∠AFD＝∠BAC＝60°，FG＝FC，∴△FCG是等边三角形，
∴　 　．
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠GCF＝60°，
∴　 　，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF，
∴　 　．
由（1）知AF为BD的垂直平分线，
∴BF＝FD，
∴　 　．
∴AF＝AG+FG＝DF+CF＝7+2＝9．
22．（2023秋 瑞金市期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若△DAF的周长为20，求BC的长．
23．（2023秋 万安县期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）在x轴上找一点D，使得S△ACD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2023秋 安庆期末）某校运动会需购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元，
（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计过购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数表达式，并求最少费用w的值．
25．（2023秋 长治期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连接BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连接BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
期末能力提升卷-2024-2025学年数学八年级上册苏科版
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B B C C C C
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 南充校级期末）下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、C、D的图形均不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
2．（2023秋 慈利县期末）下列各数中，不是无理数的是（　　）
A． B．π
C． D．0.1010010001
【解答】解：由无理数的概念可知：...均是无理数，
是分数，不是无理数，
故选：C．
3．（2024春 韩城市期末）8的立方根是（　　）
A．±4 B．2 C．4 D．±2
【解答】解：∵23＝8，∴，
故选：B．
4．（2023秋 文昌校级期末）下列函数（其中x是自变量）中，不是正比例函数的个数有（　　）
①y＝﹣x；②y+2＝2（x+1）；③y＝k2x（k是常数）；④y2＝x2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①y＝﹣x是正比例函数；
②y+2＝2（x+1），整理得y＝2x，是正比例函数；
③y＝k2x（k是常数），当k＝0时，不是函数，当k≠0时，是正比例函数；
④y2＝x2，不是函数；
所以不是正比例函数的个数有2个，
故选：B．
5．（2023秋 东莞市校级期末）2002年国际数学家大会在北京召开，如图①是大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（　　）
A．三角形内角和定理 B．三角形全等
C．勾股定理 D．轴对称图形
【解答】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的，
∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理．
故选：C．
6．（2023秋 安徽期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝3cm，CDBC，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0＜t＜10），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值最多有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3cm，∠B＝60°，
∴AB＝2BC＝6cm，
①当∠EDB＝90°时，
∵BC＝3cm，CDBC，
∴BD＝2cm，
∵∠C＝90°，
∴∠EDB＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
∴，
解得：BE＝4，
即AE＝6﹣4＝2（cm），
当从A到E时，时间t＝2秒，
当从A到B再到E时，时间t＝6+4＝10秒，
∵0＜t＜10，此时舍去；
②当∠BED＝90°时，
∵∠DEB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∴，
解得：BE＝1（cm），
∴AE＝5cm，
当从A到E时，时间t＝5秒，
当从A到B再到E时，时间t＝6+1＝7（秒），
综合上述，时间t＝2或5或7共3个，
故选：C．
7．（2023秋 阳城县期末）如图，等腰直角三角形DEF的斜边中点O与等腰直角三角形ABC的斜边中点重合，D，E两点分别在AB、BC上，若AB＝4，AD＝1，则△DEF的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：连接BO，EO，
∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AC的中点，
∴OB⊥AC，OBAC，
∴OB＝OA，
同理：OE⊥DF，OE＝OD，
∵∠AOD+∠BOD＝∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOE＝∠AOD，
在△OBE和△OAD中，
，
∴△OBE≌△OAD（SAS），
∴BE＝AD＝1，
∵BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3，
∵∠DBE＝90°，
∴DE，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DE，
∴△DEF的面积DE×EFDE2＝5．
故选：C．
8．（2023秋 灵武市期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A．y1随x的增大而增大
B．b＜n
C．当x＜2时，y1＞y2
D．关于x，y的方程组的解为
【解答】解：A、y1随x的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与y轴的交点在y2＝mx+n（m≠0）的图象与y轴的交点的下方，即b＜n，故选项B正确；
C、由图象可知：当x＜2时，y1＜y2，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为（2，3），
∴关于x，y的方程组的解为；
故选项D正确；
故选：C．
二．填空题（共7小题）
9．（2024春 江都区期末）比较大小： 　＞　．
【解答】解：∵，，18＜12，
∴．
故答案为：＞．
10．（2023秋 金安区校级期末）在平面直角坐标系中，点P（2，2）到x轴的距离是 　2　．
【解答】解：点P（2，2）到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，
所以点P（2，2）到x轴的距离为2，
故答案为：2．
11．（2023秋 临潼区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若△ABC的周长26cm，△AEC的周长18cm，则AB的长为 　8cm　．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
∴AE＝BE，
∵△ABC的周长是26cm，
∴BC+AB+AC＝26（cm），
∵△AEC的周长18cm，
∴AC+AE+EC＝18（cm），
∴BC+AC＝18（cm），
∴AB＝8（cm），
故答案为：8cm．
12．（2023秋 蓬溪县期末）Rt△ABO在数轴上如图，点O在原点，OB＝2，AB＝1，以点O为圆心，OA为半径画弧，交数轴负半轴于点C，则点C所表示的数为 　　．
【解答】解：由题意得，OB＝2，AB＝1，∠ABO＝90°，OC＝OA，
∴，
∴，
∵点C在点O左侧，
∴点C所表示的数为，
故答案为：．
13．（2023秋 蜀山区期末）一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），若函数经过点（﹣2，0）和（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集为 　x＞0　．
【解答】解：如图所示，即为一次函数y＝kx+b的函数图象，
由函数图象可知，当一次函数的函数值大于1时自变量的取值范围为x＞0，
∴关于x的不等式kx+b＞1的解集为x＞0，
故答案为：x＞0．
14．（2023秋 襄汾县期末）如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠ADE的度数为 　70°　．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠ADE＝∠B，
∴∠EAC＝∠DAB＝40°，
∴△ABD中，∠B（180°﹣∠BAD）＝70°，
∴∠ADE＝∠B＝70°，
故答案为：70°．
15．（2023秋 迎江区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，，BC＝2，点M在线段BC上运动（不包含点B），连接AM，将△ABM沿直线AM翻折得到△AB′M．
（1）当B′M⊥BC时，则∠BAM＝　15°　．
（2）在点M运动过程中，点B′到直线BC距离的最大值是 　　．
【解答】解：（1）如图，
由折叠性质可知：∠B＝∠B′＝30°，∠AMB＝∠AMB′，
∵∠AMB+∠AMB′+∠BMB′＝360°，
∴∠AMB＝∠AMB′＝135°，
∵∠BAM+∠AMB+∠B＝180°，
∴∠BAM＝15°，
故答案为：15°；
（2）如图，AB′＝AB，当垂足E在线段AB′上时，点B′到直线BC距离的最大；
∴∠AEM＝∠B′EM＝90°，
由折叠性质可知：∠BAM＝∠B′AM，∠B＝∠B′＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∴∠EAM＝∠BAM＝∠B′＝30°，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共10小题）
16．（2023秋 廉江市校级期末）．
【解答】解：原式＝﹣2+1﹣（﹣8）+1
＝﹣1+8+1
＝8．
17．（2023秋 裕安区校级期末）已知点P（a﹣3，a+1）解答下列各题：
（1）若点P在y轴上，试求出a的值；
（2）若Q（1，2），且PQ∥x轴，试求p的坐标．
【解答】解：（1）∵点P（a﹣3，a+1）在y轴上，
∴a﹣3＝0，
解得a＝3；
（2）∵点P（a﹣3，a+1），Q（1，2），且PQ∥x轴，
∴a+1＝2，
解得a＝1，
∴a﹣3＝1﹣3＝﹣2，
∴P（﹣2，2）．
18．（2023秋 仓山区校级期末）如图，BD平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：AD＝CD．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠1＝∠2，
∴180°﹣∠1＝180°﹣∠2，
∴∠ADB＝∠CDB，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AD＝CD．
19．（2023秋 平桥区校级期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AC＝EB．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若DB＝12，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB，
∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∴∠DEB＝∠A．
在△ACB和△EBD中，
，
∴△ACB≌△EBD（ASA）；
（2）解：∵△ACB≌△EBD，
∴BC＝DB，AC＝EB．
∵E是BC的中点，
∴EBBC．
∵DB＝12，BC＝DB，
∴BC＝12，
∴AC＝EBBC＝6．
20．（2023秋 金安区校级期末）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，已知A（﹣2，3），B（﹣1，1），C（0，2），
（1）作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向右平移4个单位长度，作出平移后的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
21．（2023秋 平果市期末）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△ACD，连接BD，过点A作AE⊥BD交BC于点E，交DC的延长线于点F．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若∠AFD＝∠BAC，CF＝2，DF＝7，求AF的长．
下面是小颖同学求AF长的过程，请将解题过程补充完整；
（2）解：如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF，CG，
∵∠AFD＝∠BAC＝60°，FG＝FC，∴△FCG是等边三角形，
∴　CG＝CF　．
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠GCF＝60°，
∴　∠ACG＝60°﹣∠BCG＝∠BCF　，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF，
∴　AG＝BF　．
由（1）知AF为BD的垂直平分线，
∴BF＝FD，
∴　AG＝DF　．
∴AF＝AG+FG＝DF+CF＝7+2＝9．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵△ACD是等腰三角形，
∴AC＝AD，
∴AB＝AD，即△ABD是等腰三角形，
∵AG⊥BD，
∴AG平分∠BAD，
∵点E是AG线段上的一点，即点A，G，E三点共线，
∴AE平分∠BAD；
（2）解：如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF，CG，
∵∠AFD＝∠BAC＝60°，FG＝FC，
∴△FCG是等边三角形，
∴CG＝CF，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠GCF＝60°，
∴∠ACG＝60°﹣∠BCG＝∠BCF，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS），
∴AG＝BF，
由（1）可知AF为BD的垂直平分线，
∴BF＝FD，
∴AG＝DF，
∴AF＝AG+FG＝DF+CF＝7+2＝9．
故答案为：CG＝CF，∠ACG＝60°﹣∠BCG＝∠BCF，AG＝BF，AG＝DF．
22．（2023秋 瑞金市期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若△DAF的周长为20，求BC的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；
（2）∵△DAF的周长为20，
∴DA+DF+FA＝20，
由（1）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．
23．（2023秋 万安县期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）在x轴上找一点D，使得S△ACD＝S△ABC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝﹣2，
∴B（0，4），A（﹣2，0），
∵点C是OB的中点，
∴C（0，2）；
（2）∵OA＝2，OC＝2，BC＝OB﹣OC＝4﹣2＝2，
∴S△ABC＝BC OA 2×22，
∵S△ACD＝S△ABC，
∴S△ACD＝AD OC AD×22，
∴AD＝2，
当点D在点A左侧时，OD＝OA+AD＝2+2＝4，
∴D（﹣4，0），
当点D在点A右侧时，OD＝OA﹣AD＝2﹣2＝0，
∴D（0，0），
综上，D（﹣4，0）或（0，0）；
（3）存在，设点P的坐标为（m，0），
①∠APB＝90°时，点P与原点重合，坐标为（0，0）；
②∠ABP＝90°时，则AP2＝AB2+BP2，
∵AP＝m+2，AB2＝OA2+OB2＝22+42＝20，BP2＝OB2+OP2＝42+m2，
∴（m+2）2＝20+42+m2，
解得m＝8，
∴P（8，0），
综上，P（0，0）或（8，0）．
24．（2023秋 安庆期末）某校运动会需购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元，
（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计过购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍．设购买A种奖品m件，购买费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数表达式，并求最少费用w的值．
【解答】解（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，由题意，得
，
解得，
答：A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元；
（2）由题意，得
w＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500
∴，
解得：70≤m≤75．
∵m是整数，
∴m＝70，71，72，73，74，75．
∵w＝﹣5m+1500，
∴k＝﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝75时，w最小＝1125．
∴应买A种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．
25．（2023秋 长治期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．
（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；
（2）如图2，点M为CE上一点，连接BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；
（3）如图3，点P为线段AD上一点，连接BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBA∠ABC＝30°，
∴∠A＝∠DBA，
∴AD＝BD，
∵DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴CEAB＝BE，
∴△BCE是等边三角形；
（2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，
∴BC＝BE，BM＝BN，∠EBC＝∠MBN＝60°，
∴∠CBM＝∠EBN，
在△CBM和△EBN中，
，
∴△CBM≌△EBN（SAS），
∴∠BEN＝∠BCM＝60°，
∴∠BEN＝∠EBC，
∴EN∥BC；
（3）解：DQ＝AD+DP；理由如下：
延长BD至F，使DF＝PD，连接PF，如图所示：
∵∠PDF＝∠BDC＝∠A+∠DBA＝30°+30°＝60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴PF＝PD＝DF，∠F＝60°，
∵∠PDQ＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠F＝∠PDQ＝60°，
∴∠BDQ＝180°﹣∠BDC﹣∠PDQ＝60°，
∴∠BPQ＝∠BDQ＝60°，
∴∠Q＝∠PBF，
在△PFB和△PDQ中，
，
∴△PFB≌△PDQ（AAS），
∴DQ＝BF＝BD+DF＝BD+DP，
∵∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∴DQ＝AD+DP．
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