期末重难点真题检测卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级上册苏科版

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一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 泉州期末）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程kx2＝3x+1有实数根的概率是（　　）
A． B．1 C． D．
2．（2023秋 硚口区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣5x＝0 B．x+1＝0 C．y﹣2x＝0 D．2x3﹣2＝0
3．（2023秋 博白县期末）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86分，方差如下表：你认为派谁去参赛更合适（　　）
选手 甲 乙 丙 丁
方差 1.5 2.6 3.5 3.68
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2023秋 宣化区期末）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个根，则另一个根是（　　）
A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1
5．（2023秋 商洛期末）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2
6．（2023秋 宁津县期末）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．1+（1+x）2＝73 B．1+x2＝73
C．1+x+x2＝73 D．x+（1+x）2＝73
7．（2023秋 黔东南州期末）如图，AD是⊙O的直径，点B，C在⊙O上，若∠BCD＝45°，AB＝10，则AD的长为（　　）
A． B．20 C． D．
8．（2023秋 宁波期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　）
A． B．2 C． D．
9．（2024春 宁阳县期末）如图，一农户建议围一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（　　）
A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．x（25﹣2x）＝80
二．填空题（共8小题）
10．（2024春 乳山市期末）如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖的概率为 　 　．
11．（2024春 民勤县期末）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝1.2，S乙2＝2.5，则两人成绩比较稳定的是 　 　（填“甲”或“乙”）．
12．（2023秋 市北区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2＝0的一个解，则常数k的值为 　 　．
13．（2023秋 连云港期末）某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为 　 　．
14．（2023秋 东坡区期末）已知实数m，n满足m2﹣am+1＝0，n2﹣an+1＝0，且m≠n，若a≥3，则代数式（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是 　 　．
15．（2023秋 石城县期末）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为 　 　．
16．（2022秋 越秀区校级期末）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE＝2，则BC＝　 　．
17．（2023秋 巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为　 　．
三．解答题（共9小题）
18．（2023秋 衡山县期末）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣5＝0（配方法）；
（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）．
19．（2024春 榆阳区期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？
20．（2023秋 丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．
21．（2023秋 船山区期末）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为 　 　元，平均每天的销售量为 　 　件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？
22．（2023秋 琼中县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．
（1）求CE的长度；
（2）求OC的长度．
23．（2023秋 阿克苏市期末）如图，等腰△ABC中AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC、CA的延长线分别交于点E、D，EF垂直DC于F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，EF＝4，求AD的长．
24．（2023秋 綦江区期末）近来，由于智能聊天机器人ChatGPT的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．国内互联网公司也推出了自己的AI聊天机器人：百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45%
B 88 87 c 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
25．（2023秋 召陵区期末）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交边AC于点D，恰有∠CBD＝∠A．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）在⊙O上取点E，使得＝．
①求证：DE∥BC；
②若∠BED＝30°，BD＝6，求阴影部分的面积．
26．（2022秋 顺义区期末）在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：∠ACB＝∠AOB．
期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 泉州期末）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程kx2＝3x+1有实数根的概率是（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：一元二次方程kx2＝3x+1化为一般式为kx2﹣3x﹣1＝0，
∵方程有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣且k≠0，
∴任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程kx2＝3x+1有实数根的概率＝＝．
故选：D．
2．（2023秋 硚口区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣5x＝0 B．x+1＝0 C．y﹣2x＝0 D．2x3﹣2＝0
【解答】解：A、x2﹣5x＝0是一元二次方程；
B、x+1＝0是一元一次方程；
C、y﹣2x＝0是二元一次方程；
D、2x3﹣2＝0不是一元二次方程．
故选：A．
3．（2023秋 博白县期末）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86分，方差如下表：你认为派谁去参赛更合适（　　）
选手 甲 乙 丙 丁
方差 1.5 2.6 3.5 3.68
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：∵S甲2＝1.5，S乙2＝2.6，S丙2＝3.5，S丁2＝3.68，
而1.5＜2.6＜3.5＜3.68，
∴甲的成绩最稳定，
∴派甲去参赛更合适．
故选：A．
4．（2023秋 宣化区期末）已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个根，则另一个根是（　　）
A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2t＝2，
解得t＝1，
即方程的另一个根为1．
故选：C．
5．（2023秋 商洛期末）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）
A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π（cm）．
故选：A．
6．（2023秋 宁津县期末）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．1+（1+x）2＝73 B．1+x2＝73
C．1+x+x2＝73 D．x+（1+x）2＝73
【解答】解：依题意得：1+x+x2＝73，
故选：C．
7．（2023秋 黔东南州期末）如图，AD是⊙O的直径，点B，C在⊙O上，若∠BCD＝45°，AB＝10，则AD的长为（　　）
A． B．20 C． D．
【解答】解：连接BD，
∵∠BCD＝45°，
∵∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴，
故选：A．
8．（2023秋 宁波期末）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AB＝4，则CD的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【解答】解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AB＝4，
∴OD＝2，CE＝DE＝CD，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴DE＝OD＝，
∴CD＝2DE＝2，
故选：C．
9．（2024春 宁阳县期末）如图，一农户建议围一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（　　）
A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．x（25﹣2x）＝80
【解答】解：∵篱笆的总长度为25m，与墙垂直的一边长为x m，
∴平行于墙的一边长为25+1﹣2x＝（26﹣2x）m．
根据题意得：x（26﹣2x）＝80．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
10．（2024春 乳山市期末）如果所示的地板由15块方砖组成，每一块方砖除颜色外完全相同，小球自由滚动，随机停在黑色方砖的概率为 　　．
【解答】解：∵总面积为15块方砖的面积，其中黑色方砖有5个，
∴小球停在黑色方砖的概率为＝，
故答案为：．
11．（2024春 民勤县期末）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝1.2，S乙2＝2.5，则两人成绩比较稳定的是 　甲　（填“甲”或“乙”）．
【解答】解：∵，
1.2＜2.5，
∴成绩较为稳定的运动员是甲，
故答案为：甲．
12．（2023秋 市北区期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2＝0的一个解，则常数k的值为 　﹣2　．
【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程（k﹣1）x2+x+k2＝0得k﹣1﹣1+k2＝0，
解得k1＝﹣2，k2＝1，
∵k﹣1≠0，
∴k的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
13．（2023秋 连云港期末）某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为 　4.86（1+x）2＝6　．
【解答】解：设平均每次增产的百分率是x，根据题意可得：
4.86（1+x）2＝6．
故答案为：4.86（1+x）2＝6．
14．（2023秋 东坡区期末）已知实数m，n满足m2﹣am+1＝0，n2﹣an+1＝0，且m≠n，若a≥3，则代数式（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是 　3　．
【解答】解：∵m2﹣am+1＝0，n2﹣an+1＝0，
∴m2+1＝am，n2+1＝an，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝am+an﹣2m﹣2n＝a（m+n）﹣2（m+n）＝（a﹣2）（m+n），
∵实数m，n满足m2﹣am+1＝0，n2﹣an+1＝0，且m≠n，
∴m、n可看作关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的两根，
∴m+n＝a，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝a（a﹣2）＝a2﹣2a＝（a﹣1）2﹣1，
∵a≥3，
∴当a＝3时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，最小值为（3﹣1）2﹣1＝3．
故答案为：3．
15．（2023秋 石城县期末）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为 　144°　．
【解答】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
连接OA、OC，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故答案为：144°．
16．（2022秋 越秀区校级期末）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE＝2，则BC＝　4　．
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AD＝DB，
∵OE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∴BC＝2DE＝2×2＝4．
故答案为：4
17．（2023秋 巩义市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为　　．
【解答】解：连接OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴⊙O分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，
∴四边形CEOF是正方形，
设⊙O的半径为r，
∴CE＝CE＝r，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴AD＝AF＝3﹣r，BE＝BD＝4﹣r，AD+BD＝5，
∴（3﹣r）+（4﹣r）＝5，解得：r＝1，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积＝，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
18．（2023秋 衡山县期末）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣5＝0（配方法）；
（2）（x﹣3）2＝2（3﹣x）．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
∴，
解得：，；
（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
19．（2024春 榆阳区期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；
（2）现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？
【解答】解：（1）从袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中是红球的有6种结果，
所以从袋中任意摸出一个球为红球的概率为＝；
（2）设取走了x个红球，
根据题意，得：＝，
解得x＝3，
答：取走了3个红球．
20．（2023秋 丰台区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．
【解答】（1）证明：a＝1，b＝m，c＝m﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac
＝m2﹣4×1×（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵该方程两个实数根的和为3，
∴﹣m＝3，
∴m＝﹣3．
21．（2023秋 船山区期末）某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出20件，每件盈利40元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为 　（40﹣x）　元，平均每天的销售量为 　（20+2x）　件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？
【解答】解：（1）∵每件玩具降价x元，
∴每件玩具的利润为（40﹣x）元，销量为（20+2x）件．
故答案为：（40﹣x）；（20+2x）．
（2）依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴x＝20．
答：每件玩具应降价20元．
22．（2023秋 琼中县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OE＝3，CD＝8．
（1）求CE的长度；
（2）求OC的长度．
【解答】解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴CE＝CD＝×8＝4；
（2）∵∠OEC＝90°，OE＝3，CE＝4，
∴OC＝＝5．
23．（2023秋 阿克苏市期末）如图，等腰△ABC中AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC、CA的延长线分别交于点E、D，EF垂直DC于F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，EF＝4，求AD的长．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OE，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C，
∵OE＝OB，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，而EF⊥DC，
∴∠OEF＝∠EFC＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，
∴BE＝CE，
如图所示，连接BD，
∵AF＝2，EF＝4，∠AFE＝90°，
∴AE＝，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠AEF+∠AEO＝90°，∠OEB+∠AEO＝90°，
∴∠AEF＝∠OEB，
∴∠OBE＝∠AEF，
∵∠AEB＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△ABE，
∴，即，
解得AB＝10，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD，
∵，
∴，
∴BD＝2EF＝8，
∴AD＝＝6．
24．（2023秋 綦江区期末）近来，由于智能聊天机器人ChatGPT的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题．国内互联网公司也推出了自己的AI聊天机器人：百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 88 b 96 45%
B 88 87 c 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝　15　，b＝　88.5　，c＝　98　；
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
【解答】解：（1）由题意得，a%＝1﹣10%﹣45%﹣×100%＝15%，即a＝15，
把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88，89，故中位数b＝＝88.5，
在B款的评分数据中，98出现的次数最多，故众数c＝98；
故答案为：15，88.5，98；
（2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88比B款的中位数87高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；
（3）240×10%+300×＝69（人），
答：估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有69人．
25．（2023秋 召陵区期末）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交边AC于点D，恰有∠CBD＝∠A．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）在⊙O上取点E，使得＝．
①求证：DE∥BC；
②若∠BED＝30°，BD＝6，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC与⊙O相切；
（2）①证明：∵＝，
∴∠A＝∠EDB＝∠E，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠CBD＝∠E，
∴DE∥BC；
②解：如图，连接OE，
∵＝，
∴AB⊥DE，BE＝BD＝6，
∵∠BED＝30°，
∴∠EBO＝60°，
∵OB＝OE，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠OEB＝∠BOE＝60°，OB＝BE＝6，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝BF，
∴S△BDF＝S△OEF，
∴S阴影部分＝＝6π．
26．（2022秋 顺义区期末）在证明圆周角定理时，某学习小组讨论出圆心与圆周角有三种不同的位置关系（如图1，2，3所示），小敏说：当圆心O在∠ACB的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．小亮说：当圆心O在∠ACB的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，把问题转化为圆心O在∠ACB的边上时的特殊情形来解决．请选择图2或图3中的一种，完成证明．
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 已知：如图，在⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB． 求证：∠ACB＝∠AOB．
【解答】证明：如图2：
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO，
∴∠AOD＝2∠ACO，
同理可得：∠BOD＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD
＝2∠ACO+2∠BCO
＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
如图3：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO，
∴∠AOD＝2∠ACO，
同理可得：∠BOD＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD
＝2∠BCO﹣2∠ACO
＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB．
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