河北省邯郸市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高一上·邯郸期中）若幂函数为偶函数，则的值为（ ）
A．-2或1 B．-2 C．1 D．多个取值
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为为幂函数，所以，得或1．
时，为奇函数，不符合题意；
时，为偶函数，符号题意，故．
故答案为：C。
【分析】由函数为幂函数，求出的值，再验证函数是否为偶函数即可。
2．（2024高一上·邯郸期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算；函数的值域；简单函数定义域
【解析】【解答】解：由得，故，
因为，所以，。
故答案为：B。
【分析】求出集合，再求并集即可。
3．（2024高一上·邯郸期中）命题“实数不都是有理数”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：“实数不都是有理数”是存在量词命题，其否定是全称量词命题。
所以“实数不都是有理数”的否定是：，。
故答案为：C。
【分析】由存在量词命题的否定为全称命题即可得解。
4．（2024高一上·邯郸期中）已知命题：关于的不等式的解集为．那么，其成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为的解集为，所以恒成立。
当时，即，不符合题意；当时，则解得。
所以的解集为等价于。
命题成立的必要不充分条件应包含其充要条件结合选项可知满足。
故答案为：A。
【分析】不等式恒成立问题，分和两中情况讨论即可得解。
5．（2024高一上·邯郸期中）定义：函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，，则的最小值为（ ）
A．0 B．7 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】函数图象的作法；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，即，解得或；
令，即，解得。
故
作出的图象（图中的实线部分）。
由图象可知，在上递减，在上递增，时，的最小值为2。
故答案为：D。
【分析】根据函数的解析式，作图，即可求出函数的最小值。
6．（2024高一上·邯郸期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：由知的图象关于直线对称，
又因为在上递增，所以在上递减，所以，
因为，所以。
因为，所以。
所以，即。
故答案为：D。
【分析】易知的图象对称轴为，在上递增，在上递减，即可比较大小。
7．（2024高一上·邯郸期中）数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（ ）
A．两位中省钱小能手是钦钦
B．两位中谁是省钱小能手与价格升降有关
C．两位中省钱小能手是莎莎
D．两位中谁是省钱小能手与购买数量有关
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：设第一次所购物品的价格为，第二次为，
钦钦单次购买物品的数量为，钦钦两次所购物品的平均价格为。
设莎莎单次购买物品所花的钱数为，第一次购买物品的数量为，第二次为，
那么莎莎两次所购物品的平均价格为。
因为，，所以钦钦两次所购物品的平均价格大于莎莎两次所购物品的平均价格，所以莎莎是省钱小能手。
故答案为：C。
【分析】计算两人购物的平均价格，比较大小即可。
8．（2024高一上·邯郸期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果．例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1．对于集合，其所有子集的“和睦数”的总和为（ ）
A．82 B．74 C．12 D．70
【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：，非空子集有15个．
若子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；
若子集为双元素集，，，，，时，“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；
若子集为三元素集，，，时，“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；
若子集为四元素集时，“和睦数”为。
所以“和睦数”的总和为。
故答案为：A。
【分析】由新定义通过列举即可得解。
9．（2024高一上·邯郸期中）下列说法错误的是( ).
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数的最小值为3
C．和表示同一个函数
D．函数在上单调递减
【答案】C,D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；基本不等式
【解析】【解答】解：A、由的定义域为，得，则的定义域为，故A正确；
B、因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为3，故B正确；
C、的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，故C错误；
D、在，上均递减，但在上不单调，故D错误。
故答案为：CD。
【分析】利用抽象函数的定义域求解计算可判断A；先化简函数，再利用重要不等式求解计算可判断B；利用同一函数的定义求解判断可判断C；利用函数单调性求解计算可判断D。
10．（2024高一上·邯郸期中）享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．以他的名字命名的函数为“高斯函数”，也叫做取整函数．它的函数值表示不超过的最大整数．例如，，．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．函数的值域是
D．不等式的解集为
【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；不等式的解集
【解析】【解答】解：A、由定义得，故A错误；
B、若，即，则设，，
则，，，，，故B正确；
C、，，，所以，故C正确；
D、由，得，得，解集为，所以D正确。
故答案为：BCD。
【分析】由取整函数的定义逐项判断即可。
11．（2024高一上·邯郸期中）已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、因为的解集为，
所以，且的两根为-1和，
所以得，，所以，故A正确；
B、因为，，所以，可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
C、，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4，故C正确；
D、由得，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为，故D错误。
故答案为：ABC。
【分析】根据解集以及韦达定理得到可判断A，根据基本不等式可判断B，根据和为1的形式可判断选项CD。
12．（2024高一上·邯郸期中）若函数，且，则 ．
【答案】2
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由，得，解得。
故答案为：。
【分析】根据解析式直接代入即可得解。
13．（2024高一上·邯郸期中）已知函数对任意，，，都有，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为 对任意，，，都有 ，所以在定义域内递减，
因为的对称轴为，所以在上递减，在上递增；又因为递减，
所以解得。
故答案为：。
【分析】由题意可知分段函数在R上单调递减，列出不等式组即可得解。
14．（2024高一上·邯郸期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ，不等式的解集是 ．
【答案】；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：当时，
，．
因为是奇函数，所以，所以。
因为，是定义在上的奇函数，所以，即．
结合二次函数的性质可知在上递增，
所以解得。
所以原不等式的解集为。
故答案为：；。
【分析】利用函数为奇函数，可求时的解析式；利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可。
15．（2024高一上·邯郸期中）已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）因为等价于所以。
当时，，
所以。
（2）由，可得。
若，，解得，符合题意；
若，解得 。
综上，的取值范围为或。
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）解出集合B，代入集合A中，由交集的定义求即可；
（2）由题意可得，分和两种情况即可得解。
（1）因为等价于
所以．
当时，，
所以．
（2）由，可得．
当时，，解得，此时符合题意；
当时，解得．
综上所述，的取值范围为或．
16．（2024高一上·邯郸期中）（1）已知，，求的取值范围；
（2）已知，都是正实数，比较与的大小．
【答案】（1）设，，，即，
则解得。
又因为，，所以，，
所以，即。
（2），
因为，，所以，．
若，，即；
若，，即。
综上，时，；时，。
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质即可得解；
（2）通过作差法即可判断大小。
17．（2024高一上·邯郸期中）2024年巴黎奥运会上，中国健儿用汗水和努力诠释了“更快、更高、更强——更团结”的奥林匹克精神．他们以坚韧不拔的精神和卓越的表现，赢得了世界的瞩目与赞誉，也点燃了全国体育迷的运动热情．体育赛事如火如荼，全民健身热潮澎湃，体育消费热情高涨．某商场对9月份某品牌乒乓球套装的日销售量进行调查，发现日销售量（单位：百套）与时间（一个月内的第天）的部分数据如下表所示：
第天 3 8 15 24
百套 5 6 7 8
（1）请你依据上表中的数据，从以下两种函数模型中选择你认为更合适的一种函数模型来表示该品牌乒乓球套装日销售量（单位：百套）与时间的关系，说明你的理由．函数模型：①；②．
（2）经调查发现，日销售价格（单位：元/套）与时间（一个月内的第天）的函数关系近似表示为（常数）．第15日的日销售额为49000元，记该品牌乒乓球套装的日销售收入为（单位：百元）．根据第（1）问选择的模型，预估该商场9月份该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第几天最低．
【答案】（1）选择模型②．
理由如下：若选择模型①，将，分别代入，得解得所以。
此时，时，，时，，
所以不适合作为与的函数模型。
对于模型②，将，分别代入，得解得，
经验证，，均满足，所以模型②满足题意。
（2）由，得，得。
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以预估该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第8天最低。
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）将具体数据代入解析式即可得解；
（2）由，结合基本不等式求解即可。
（1）选择模型②．
理由如下：若选择①作为函数模型，
将，分别代入，得解得所以．
此时，当时，，当时，，
所以不适合作为与的函数模型．
对于模型②，将，分别代入，得解得
此时，
经验证，，均满足，所以模型②满足题意．
（2）由，得，所以．
，当且仅当，即时，等号成立，
所以预估该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第8天最低．
18．（2024高一上·邯郸期中）已知是定义在上的函数，，且，都有．
（1）求，的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）因为，都有，
所以是定义在上的奇函数，，解得，所以，
由，可得，解得，，满足，
所以，。
（2）证明：由（1）知，任取，
，
因为，所以，，
所以，即．
所以在上单调递减。
（3）由（2）知在上单调递减，
所以在上的最大值为，
因为对任意，都成立，
所以，，
因为存在，使得成立，所以，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，
即，解得或，
所以的取值范围为。
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由题意知是定义在上的奇函数，再根据奇函数的性质即可得解；
（2）由（1）可求出解析式，再根据定义法证明单调性即可；
（3）根据单调性得到最大值，再根据恒成立问题以及能成立问题求解不等式即可得解。
（1）因为，都有，
则是定义在上的奇函数，得，解得，
所以，
由，可得，解得，
此时，满足，
所以，；
（2）证明：由（1）知，设，
则，
因为，所以，，
所以，即．
故函数在上为单调递减函数；
（3）由（2）知在上为单调递减函数，
所以在上的最大值为，
因为对任意，使得都成立，
所以，所以，
因为存在，使得成立，所以，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，
即，解得或，
所以的取值范围为．
19．（2024高一上·邯郸期中）已知定义在上的函数满足，，在上单调递增．
（1）求的值．
（2）证明：是奇函数．
（3）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求的取值范围．
【答案】（1）在中，
令，得；
令，得；
令，，得，。
（2）证明：在中，令，得，解得，
令，，得，即 ，
，
所以是奇函数。
（3）由，得，
即，，
因为在上递增，所以，
所以，即，
时，解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意，
时，不等式等价于，解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意，
时，不等式等价于，
若，即，则不等式的解集为，要有2个整数解，则，即；
若，则不等式的解集为，不满足题意；
若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则，
即，
综上所述，的取值范围为或。
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据赋值即可；
（2）利用奇函数的定义可得证；
（3）根据函数的单调性得到关于的不等式，再根据题意求解即可。
（1）在中，
令，得；
令，得；
令，，得，即；
（2）证明：令，得，解得，
令，，得，所以，
，
所以是奇函数；
（3）由，得，
即，
又在上是增函数，即，
所以，即，
当时，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意，
当时，不等式等价于，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意，
当时，不等式等价于，
若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则，即，
若，则不等式的解集为，不满足题意；
若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则，
即，
综上所述，的取值范围为或.
1 / 1河北省邯郸市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高一上·邯郸期中）若幂函数为偶函数，则的值为（ ）
A．-2或1 B．-2 C．1 D．多个取值
2．（2024高一上·邯郸期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·邯郸期中）命题“实数不都是有理数”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2024高一上·邯郸期中）已知命题：关于的不等式的解集为．那么，其成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一上·邯郸期中）定义：函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，，则的最小值为（ ）
A．0 B．7 C．4 D．2
6．（2024高一上·邯郸期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·邯郸期中）数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（ ）
A．两位中省钱小能手是钦钦
B．两位中谁是省钱小能手与价格升降有关
C．两位中省钱小能手是莎莎
D．两位中谁是省钱小能手与购买数量有关
8．（2024高一上·邯郸期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果．例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1．对于集合，其所有子集的“和睦数”的总和为（ ）
A．82 B．74 C．12 D．70
9．（2024高一上·邯郸期中）下列说法错误的是( ).
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数的最小值为3
C．和表示同一个函数
D．函数在上单调递减
10．（2024高一上·邯郸期中）享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．以他的名字命名的函数为“高斯函数”，也叫做取整函数．它的函数值表示不超过的最大整数．例如，，．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．函数的值域是
D．不等式的解集为
11．（2024高一上·邯郸期中）已知，，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
12．（2024高一上·邯郸期中）若函数，且，则 ．
13．（2024高一上·邯郸期中）已知函数对任意，，，都有，则的取值范围为 ．
14．（2024高一上·邯郸期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ，不等式的解集是 ．
15．（2024高一上·邯郸期中）已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
16．（2024高一上·邯郸期中）（1）已知，，求的取值范围；
（2）已知，都是正实数，比较与的大小．
17．（2024高一上·邯郸期中）2024年巴黎奥运会上，中国健儿用汗水和努力诠释了“更快、更高、更强——更团结”的奥林匹克精神．他们以坚韧不拔的精神和卓越的表现，赢得了世界的瞩目与赞誉，也点燃了全国体育迷的运动热情．体育赛事如火如荼，全民健身热潮澎湃，体育消费热情高涨．某商场对9月份某品牌乒乓球套装的日销售量进行调查，发现日销售量（单位：百套）与时间（一个月内的第天）的部分数据如下表所示：
第天 3 8 15 24
百套 5 6 7 8
（1）请你依据上表中的数据，从以下两种函数模型中选择你认为更合适的一种函数模型来表示该品牌乒乓球套装日销售量（单位：百套）与时间的关系，说明你的理由．函数模型：①；②．
（2）经调查发现，日销售价格（单位：元/套）与时间（一个月内的第天）的函数关系近似表示为（常数）．第15日的日销售额为49000元，记该品牌乒乓球套装的日销售收入为（单位：百元）．根据第（1）问选择的模型，预估该商场9月份该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第几天最低．
18．（2024高一上·邯郸期中）已知是定义在上的函数，，且，都有．
（1）求，的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意，都存在，使得成立，求的取值范围．
19．（2024高一上·邯郸期中）已知定义在上的函数满足，，在上单调递增．
（1）求的值．
（2）证明：是奇函数．
（3）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为为幂函数，所以，得或1．
时，为奇函数，不符合题意；
时，为偶函数，符号题意，故．
故答案为：C。
【分析】由函数为幂函数，求出的值，再验证函数是否为偶函数即可。
2．【答案】B
【知识点】并集及其运算；函数的值域；简单函数定义域
【解析】【解答】解：由得，故，
因为，所以，。
故答案为：B。
【分析】求出集合，再求并集即可。
3．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：“实数不都是有理数”是存在量词命题，其否定是全称量词命题。
所以“实数不都是有理数”的否定是：，。
故答案为：C。
【分析】由存在量词命题的否定为全称命题即可得解。
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为的解集为，所以恒成立。
当时，即，不符合题意；当时，则解得。
所以的解集为等价于。
命题成立的必要不充分条件应包含其充要条件结合选项可知满足。
故答案为：A。
【分析】不等式恒成立问题，分和两中情况讨论即可得解。
5．【答案】D
【知识点】函数图象的作法；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，即，解得或；
令，即，解得。
故
作出的图象（图中的实线部分）。
由图象可知，在上递减，在上递增，时，的最小值为2。
故答案为：D。
【分析】根据函数的解析式，作图，即可求出函数的最小值。
6．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：由知的图象关于直线对称，
又因为在上递增，所以在上递减，所以，
因为，所以。
因为，所以。
所以，即。
故答案为：D。
【分析】易知的图象对称轴为，在上递增，在上递减，即可比较大小。
7．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：设第一次所购物品的价格为，第二次为，
钦钦单次购买物品的数量为，钦钦两次所购物品的平均价格为。
设莎莎单次购买物品所花的钱数为，第一次购买物品的数量为，第二次为，
那么莎莎两次所购物品的平均价格为。
因为，，所以钦钦两次所购物品的平均价格大于莎莎两次所购物品的平均价格，所以莎莎是省钱小能手。
故答案为：C。
【分析】计算两人购物的平均价格，比较大小即可。
8．【答案】A
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：，非空子集有15个．
若子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；
若子集为双元素集，，，，，时，“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；
若子集为三元素集，，，时，“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；
若子集为四元素集时，“和睦数”为。
所以“和睦数”的总和为。
故答案为：A。
【分析】由新定义通过列举即可得解。
9．【答案】C,D
【知识点】同一函数的判定；函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；基本不等式
【解析】【解答】解：A、由的定义域为，得，则的定义域为，故A正确；
B、因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为3，故B正确；
C、的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，故C错误；
D、在，上均递减，但在上不单调，故D错误。
故答案为：CD。
【分析】利用抽象函数的定义域求解计算可判断A；先化简函数，再利用重要不等式求解计算可判断B；利用同一函数的定义求解判断可判断C；利用函数单调性求解计算可判断D。
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；不等式的解集
【解析】【解答】解：A、由定义得，故A错误；
B、若，即，则设，，
则，，，，，故B正确；
C、，，，所以，故C正确；
D、由，得，得，解集为，所以D正确。
故答案为：BCD。
【分析】由取整函数的定义逐项判断即可。
11．【答案】A,B,C
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、因为的解集为，
所以，且的两根为-1和，
所以得，，所以，故A正确；
B、因为，，所以，可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
C、，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4，故C正确；
D、由得，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为，故D错误。
故答案为：ABC。
【分析】根据解集以及韦达定理得到可判断A，根据基本不等式可判断B，根据和为1的形式可判断选项CD。
12．【答案】2
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由，得，解得。
故答案为：。
【分析】根据解析式直接代入即可得解。
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为 对任意，，，都有 ，所以在定义域内递减，
因为的对称轴为，所以在上递减，在上递增；又因为递减，
所以解得。
故答案为：。
【分析】由题意可知分段函数在R上单调递减，列出不等式组即可得解。
14．【答案】；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：当时，
，．
因为是奇函数，所以，所以。
因为，是定义在上的奇函数，所以，即．
结合二次函数的性质可知在上递增，
所以解得。
所以原不等式的解集为。
故答案为：；。
【分析】利用函数为奇函数，可求时的解析式；利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可。
15．【答案】（1）因为等价于所以。
当时，，
所以。
（2）由，可得。
若，，解得，符合题意；
若，解得 。
综上，的取值范围为或。
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）解出集合B，代入集合A中，由交集的定义求即可；
（2）由题意可得，分和两种情况即可得解。
（1）因为等价于
所以．
当时，，
所以．
（2）由，可得．
当时，，解得，此时符合题意；
当时，解得．
综上所述，的取值范围为或．
16．【答案】（1）设，，，即，
则解得。
又因为，，所以，，
所以，即。
（2），
因为，，所以，．
若，，即；
若，，即。
综上，时，；时，。
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质即可得解；
（2）通过作差法即可判断大小。
17．【答案】（1）选择模型②．
理由如下：若选择模型①，将，分别代入，得解得所以。
此时，时，，时，，
所以不适合作为与的函数模型。
对于模型②，将，分别代入，得解得，
经验证，，均满足，所以模型②满足题意。
（2）由，得，得。
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以预估该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第8天最低。
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1）将具体数据代入解析式即可得解；
（2）由，结合基本不等式求解即可。
（1）选择模型②．
理由如下：若选择①作为函数模型，
将，分别代入，得解得所以．
此时，当时，，当时，，
所以不适合作为与的函数模型．
对于模型②，将，分别代入，得解得
此时，
经验证，，均满足，所以模型②满足题意．
（2）由，得，所以．
，当且仅当，即时，等号成立，
所以预估该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第8天最低．
18．【答案】（1）因为，都有，
所以是定义在上的奇函数，，解得，所以，
由，可得，解得，，满足，
所以，。
（2）证明：由（1）知，任取，
，
因为，所以，，
所以，即．
所以在上单调递减。
（3）由（2）知在上单调递减，
所以在上的最大值为，
因为对任意，都成立，
所以，，
因为存在，使得成立，所以，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，
即，解得或，
所以的取值范围为。
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由题意知是定义在上的奇函数，再根据奇函数的性质即可得解；
（2）由（1）可求出解析式，再根据定义法证明单调性即可；
（3）根据单调性得到最大值，再根据恒成立问题以及能成立问题求解不等式即可得解。
（1）因为，都有，
则是定义在上的奇函数，得，解得，
所以，
由，可得，解得，
此时，满足，
所以，；
（2）证明：由（1）知，设，
则，
因为，所以，，
所以，即．
故函数在上为单调递减函数；
（3）由（2）知在上为单调递减函数，
所以在上的最大值为，
因为对任意，使得都成立，
所以，所以，
因为存在，使得成立，所以，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，
即，解得或，
所以的取值范围为．
19．【答案】（1）在中，
令，得；
令，得；
令，，得，。
（2）证明：在中，令，得，解得，
令，，得，即 ，
，
所以是奇函数。
（3）由，得，
即，，
因为在上递增，所以，
所以，即，
时，解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意，
时，不等式等价于，解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意，
时，不等式等价于，
若，即，则不等式的解集为，要有2个整数解，则，即；
若，则不等式的解集为，不满足题意；
若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则，
即，
综上所述，的取值范围为或。
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据赋值即可；
（2）利用奇函数的定义可得证；
（3）根据函数的单调性得到关于的不等式，再根据题意求解即可。
（1）在中，
令，得；
令，得；
令，，得，即；
（2）证明：令，得，解得，
令，，得，所以，
，
所以是奇函数；
（3）由，得，
即，
又在上是增函数，即，
所以，即，
当时，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意，
当时，不等式等价于，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意，
当时，不等式等价于，
若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则，即，
若，则不等式的解集为，不满足题意；
若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则，
即，
综上所述，的取值范围为或.
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