浙江省嘉兴市八校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题
1．（2024高一上·嘉兴期中）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·嘉兴期中）已知1，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2024高一上·嘉兴期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高一上·嘉兴期中）已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．（2024高一上·嘉兴期中）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·嘉兴期中）方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·嘉兴期中）已知函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高一上·嘉兴期中）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024高一上·嘉兴期中）下列叙述正确的是（ ）
A．
B．命题“”的否定是“或”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．命题“”的否定是真命题
10．（2024高一上·嘉兴期中）已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·嘉兴期中）下列说法不正确的是（ ）
A．函数 在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则 的定义域为
12．（2024高一上·嘉兴期中）函数，则的值是 ．
13．（2024高一上·嘉兴期中）计算： ．
14．（2024高一上·嘉兴期中），用表示中的最小者，记为，，则的最大值为 ．
15．（2024高一上·嘉兴期中）已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
16．（2024高一上·嘉兴期中）已知函数．
（1）若函数在上是减函数，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数的最小值．
17．（2024高一上·嘉兴期中）已知函数，且．
（1）求；
（2）根据定义证明函数在区间上单调递增；
（3）在区间上，若函数满足，求实数的取值范围．
18．（2024高一上·嘉兴期中）已知函数，记集合为的定义域．
（1）求集合；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）当时，求函数的值域．
19．（2024高一上·嘉兴期中）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．
（1）试求的函数关系式；
（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为 1，是方程的两个根，
所以由一元二次方程根与系数的关系可得：，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用一元二次方程根与系数的关系列式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，解得；
，解得，则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先解方程，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为幂函数的图象过点，所以，即，即，解得.
故答案为：D.
【分析】直接将点的坐标代入解析式计算即可.
5．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：指数函数单调递，则，即；
对数函数单调递减，且，即，故.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用指数函和对数函数单调性判断大小即可.
6．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：设函数，定义域为，且单调递增，
A、，，则的零点不在内，故A错误；
B、，，则的零点不在内，故B错误；
C、，，则的零点在内，即方程的解所在区间为，故C正确；
D、，，则的零点不在内，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据零点存在性定理分析判断即可.
7．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
易知函数的图象的分段点是，且过点，，且.
故答案为：B．
【分析】由题意，根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号判断即可.
8．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为函数 为定义在上的奇函数 ，所以，
又因为，所以，
再根据函数奇偶性和单调性画出函数图象，如图所示：
不等式，
当时，即时，，由图可知；
当时，即时，，由图可知；
因此不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用函数奇偶性以及单调性结合函数值，画出函数图象草图，再解不等式即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、当时，，故A正确；
B、命题“”的否定是“或”，故B正确；
C、当且，，则“且”是“”的充分条件，故C错误；
D、命题“”的否定为：，显然，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】取特殊值即可判断A；根据命题否定的定义求命题的否定即可判断B；根据充分条件、必要条件的定义即可判断C；写出命题的否定判断正误即可判断D.
10．【答案】C,D
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，
A、集合，，则，故A错误；
B、，故B错误；
C、由集合，则，故C正确；
D、由集合，则，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先利用列举法表示集合，再根据集合的基本运算和元素与集合的关系即可判断.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，但函数在定义域内不具有单调性，故A错误；
B、若，且是奇函数，但时，无意义，故B错误；
C、函数 在 上是增函数，则，解得，
则实数的取值范围是 ，故C错误；
D、若的定义域为，则的定义域满足，解得，即函数的定义域为，故D正确.
故答案为：ABC.
【分析】求函数的定义域，根据其在定义域不具有单调性即可判断A；取，根据时，函数无意义，即可判断B；根据分段函数在为增函数，列不等式组求解即可判断C；根据抽象函数求定义域的方法即可判断D.
12．【答案】7
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，则，
故.
故答案为：.
【分析】直接代值计算即可.
13．【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据指数与对数的运算性质求解即可.
14．【答案】0
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，
由，解得或，
作出函数图象，如如所示：
由图象可得，，
则函数的图象，如图所示：
所以.
故答案为：0.
【分析】由题意，根据分段函数的概念结合函数图象求最大值即可.
15．【答案】（1）解：当 时， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，则有:
，解之得： .
∴实数 的取值范围是
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】（1）根据并集的定义即可求出；
（2）由题意可知 ，解得即可得出实数 的取值范围 。
16．【答案】（1）解： 函数 的对称轴为直线，
因为函数在上是减函数，所以，即；
（2）解：当时，在上为增函数，；
当时，在上为减函数，在上为增函数，；
当时，在上为减函数，，
综上得，当时，，
当时，，
当时，.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的对称轴，再利用单调区间和对称轴的关系求解即可；
（2）分、、三种情况讨论，结合对称轴和区间的关系计算最小值即可.
（1）由题意得，函数对称轴为直线，
∵函数在上是减函数，
∴，即.
（2）①当时，在上为增函数，
②当时，在上为减函数，在上为增函数，
③当时，在上为减函数，.
综上得，当时，，
当时，，
当时，.
17．【答案】（1）解： 函数，且 ，则，解得；
（2）证明：由（1）可得，
，且，
则，
因为，
所以，
所以，即，
故在上单调递增；
（3）解：由（2）可知函数在上单调递增，则，即，解得，
即，故实数的取值范围.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由，代值求解即可；
（2）由（1）可得，再利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）利用函数的单调性求解不等式即可.
（1）∵，
∴，
∴.
（2）由于，
证明：，且，
则
，
∵，
∴，
∴，即，
故在上单调递增.
（3）∵在上单调递增，所以，
∴，，
∴.
18．【答案】（1）解：要使函数有意义， 则，解得，则；
（2）解：函数定义域，定义域关于原点对称，
且满足，故为奇函数；
（3）解：令，易知的对称轴，在上单调递增，，
又因为在上递减，所以的值域是：．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据对数函数有意义，真数大于零列式求解其定义域即可；
（2）根据函数的奇偶性判断即可；
（3）令，利用单调性求复合函数的值域即可.
（1）由真数大于0可知，，.
（2）可知定义域关于原点对称，
，
故为奇函数．
（3）令，对称轴，在上，，
又在上递减，
故的值域是：．
19．【答案】（1）解：由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数为，则，解得，
则可得，，
又当时，曲线是函数(且)图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则，，
则；
（2）解：由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当时，令，解得，
当时，令，解得，
综上可得，，
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数模型
【解析】【分析】（1）利用二次函数的顶点式求得在上的解析式，再利用点代入求得在上的解析式，即可得的函数关系式；
（2）由（1）的结论，分，，由求解即可.
（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数为，则，解得，
则可得，．
又当时，曲线是函数(且)图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则，．
则.
（2）由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当时，令，
解得：.
当时，令，
解得：.
综上可得，.
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
1 / 1浙江省嘉兴市八校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题
1．（2024高一上·嘉兴期中）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：A.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高一上·嘉兴期中）已知1，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为 1，是方程的两个根，
所以由一元二次方程根与系数的关系可得：，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用一元二次方程根与系数的关系列式求解即可.
3．（2024高一上·嘉兴期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，解得；
，解得，则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先解方程，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2024高一上·嘉兴期中）已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：因为幂函数的图象过点，所以，即，即，解得.
故答案为：D.
【分析】直接将点的坐标代入解析式计算即可.
5．（2024高一上·嘉兴期中）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：指数函数单调递，则，即；
对数函数单调递减，且，即，故.
故答案为：B.
【分析】由题意，利用指数函和对数函数单调性判断大小即可.
6．（2024高一上·嘉兴期中）方程的解所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：设函数，定义域为，且单调递增，
A、，，则的零点不在内，故A错误；
B、，，则的零点不在内，故B错误；
C、，，则的零点在内，即方程的解所在区间为，故C正确；
D、，，则的零点不在内，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据零点存在性定理分析判断即可.
7．（2024高一上·嘉兴期中）已知函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
易知函数的图象的分段点是，且过点，，且.
故答案为：B．
【分析】由题意，根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号判断即可.
8．（2024高一上·嘉兴期中）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为函数 为定义在上的奇函数 ，所以，
又因为，所以，
再根据函数奇偶性和单调性画出函数图象，如图所示：
不等式，
当时，即时，，由图可知；
当时，即时，，由图可知；
因此不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用函数奇偶性以及单调性结合函数值，画出函数图象草图，再解不等式即可.
9．（2024高一上·嘉兴期中）下列叙述正确的是（ ）
A．
B．命题“”的否定是“或”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．命题“”的否定是真命题
【答案】A,B,D
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、当时，，故A正确；
B、命题“”的否定是“或”，故B正确；
C、当且，，则“且”是“”的充分条件，故C错误；
D、命题“”的否定为：，显然，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】取特殊值即可判断A；根据命题否定的定义求命题的否定即可判断B；根据充分条件、必要条件的定义即可判断C；写出命题的否定判断正误即可判断D.
10．（2024高一上·嘉兴期中）已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，
A、集合，，则，故A错误；
B、，故B错误；
C、由集合，则，故C正确；
D、由集合，则，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】先利用列举法表示集合，再根据集合的基本运算和元素与集合的关系即可判断.
11．（2024高一上·嘉兴期中）下列说法不正确的是（ ）
A．函数 在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则 的定义域为
【答案】A,B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，但函数在定义域内不具有单调性，故A错误；
B、若，且是奇函数，但时，无意义，故B错误；
C、函数 在 上是增函数，则，解得，
则实数的取值范围是 ，故C错误；
D、若的定义域为，则的定义域满足，解得，即函数的定义域为，故D正确.
故答案为：ABC.
【分析】求函数的定义域，根据其在定义域不具有单调性即可判断A；取，根据时，函数无意义，即可判断B；根据分段函数在为增函数，列不等式组求解即可判断C；根据抽象函数求定义域的方法即可判断D.
12．（2024高一上·嘉兴期中）函数，则的值是 ．
【答案】7
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，则，
故.
故答案为：.
【分析】直接代值计算即可.
13．（2024高一上·嘉兴期中）计算： ．
【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据指数与对数的运算性质求解即可.
14．（2024高一上·嘉兴期中），用表示中的最小者，记为，，则的最大值为 ．
【答案】0
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，
由，解得或，
作出函数图象，如如所示：
由图象可得，，
则函数的图象，如图所示：
所以.
故答案为：0.
【分析】由题意，根据分段函数的概念结合函数图象求最大值即可.
15．（2024高一上·嘉兴期中）已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，则有:
，解之得： .
∴实数 的取值范围是
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】（1）根据并集的定义即可求出；
（2）由题意可知 ，解得即可得出实数 的取值范围 。
16．（2024高一上·嘉兴期中）已知函数．
（1）若函数在上是减函数，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数的最小值．
【答案】（1）解： 函数 的对称轴为直线，
因为函数在上是减函数，所以，即；
（2）解：当时，在上为增函数，；
当时，在上为减函数，在上为增函数，；
当时，在上为减函数，，
综上得，当时，，
当时，，
当时，.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的对称轴，再利用单调区间和对称轴的关系求解即可；
（2）分、、三种情况讨论，结合对称轴和区间的关系计算最小值即可.
（1）由题意得，函数对称轴为直线，
∵函数在上是减函数，
∴，即.
（2）①当时，在上为增函数，
②当时，在上为减函数，在上为增函数，
③当时，在上为减函数，.
综上得，当时，，
当时，，
当时，.
17．（2024高一上·嘉兴期中）已知函数，且．
（1）求；
（2）根据定义证明函数在区间上单调递增；
（3）在区间上，若函数满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）解： 函数，且 ，则，解得；
（2）证明：由（1）可得，
，且，
则，
因为，
所以，
所以，即，
故在上单调递增；
（3）解：由（2）可知函数在上单调递增，则，即，解得，
即，故实数的取值范围.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由，代值求解即可；
（2）由（1）可得，再利用函数的单调性的定义证明即可；
（3）利用函数的单调性求解不等式即可.
（1）∵，
∴，
∴.
（2）由于，
证明：，且，
则
，
∵，
∴，
∴，即，
故在上单调递增.
（3）∵在上单调递增，所以，
∴，，
∴.
18．（2024高一上·嘉兴期中）已知函数，记集合为的定义域．
（1）求集合；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）当时，求函数的值域．
【答案】（1）解：要使函数有意义， 则，解得，则；
（2）解：函数定义域，定义域关于原点对称，
且满足，故为奇函数；
（3）解：令，易知的对称轴，在上单调递增，，
又因为在上递减，所以的值域是：．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据对数函数有意义，真数大于零列式求解其定义域即可；
（2）根据函数的奇偶性判断即可；
（3）令，利用单调性求复合函数的值域即可.
（1）由真数大于0可知，，.
（2）可知定义域关于原点对称，
，
故为奇函数．
（3）令，对称轴，在上，，
又在上递减，
故的值域是：．
19．（2024高一上·嘉兴期中）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．
（1）试求的函数关系式；
（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数为，则，解得，
则可得，，
又当时，曲线是函数(且)图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则，，
则；
（2）解：由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当时，令，解得，
当时，令，解得，
综上可得，，
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数模型
【解析】【分析】（1）利用二次函数的顶点式求得在上的解析式，再利用点代入求得在上的解析式，即可得的函数关系式；
（2）由（1）的结论，分，，由求解即可.
（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数为，则，解得，
则可得，．
又当时，曲线是函数(且)图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则，．
则.
（2）由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当时，令，
解得：.
当时，令，
解得：.
综上可得，.
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
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