期末综合模拟题 初中数学人教版九年级上学期

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期末综合模拟题
2024--2025学年初中数学人教版九年级上学期
一、单选题
1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）．
A． B．且 C．且 D．
3．一个不透明的盒子中装有黑、白两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明进行多次摸球后记录并放回小球的重复试验，发现摸到黑色小球的频率稳定在0.6左右，由此可知盒子中白的小球的个数可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．将抛物线先沿水平方向向左平移1个单位，再沿竖直方向向下平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
5．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
7．如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，五边形内接于半径为6的，F为中点，连结，若，，，则的长为（ ）
A． B．5 C．4 D．
10．已知抛物线的图象的顶点为，且图像交x正半轴交于点，则
①；
②；
③对于任意的x，都满足；
④；
⑤若点在此函数图象上，则．判断正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤
二、填空题
11．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是 ．
12．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是 ．
13．若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
14．如图，是直径，点在上，垂足为，点是上动点（不与重合），点为的中点，若，，则的最大值为 ．
15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为 ．
16．如图，点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若，，则IE的长为 ．

17．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为 ．
三、解答题
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．已知一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求的范围；
(2)若方程的两个实数根为，，且，求的值．
20．已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于x的方程的两个实数根．
①时，求的周长；
②当为等边三角形时，求m的值．
21．如图，是的直径，弦于点，是上任意一点，连接，，．
(1)找出图中与相等的角（不添加其它线），并说明理由；
(2)若点是的中点，且＝，求的度数．
22．如图所示，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点A在点B的左侧，连接．
(1)若抛物线过点，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，求出的面积．
23．如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接，直线交y轴于点M．P为直线上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线、于点E、F．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求的面积；
(3)若点N为y轴上一动点，当四边形为矩形时，求点N的坐标；
参考答案：
1．C
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义逐项判断即可得到答案，正确掌握相关概念是解题关键．
解：解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
2．C
解：∵是一元二次方程，
∴，解得：，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
综上：k的取值范围是且，
3．B
解得：．
答：由此可知盒子中白的小球的个数可能是4个，
4．D
先将抛物线的解析式配方，再根据“抛物线的平移法则”进行分析判断即可．
解：∵，
∴将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线的解析式为：，
5．C
解：圆心角是，半径为3的扇形弧长为．
6．B
解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，

由切线长定理可知，，，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
则四边形是正方形，
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
7．D
解：①∵是等边三角形，
∴，，
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故①正确，符合题意；
②∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，故②正确，符合题意；
③∵是等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
综上：正确的有①②③，
8．A
解：，
，
，
，
9．A
解：如图，连接，，，，
，，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
F为中点，
，
，
10．B
解：∵抛物线的图象的顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故②正确；
∵当时，，
∴抛物线的图象与y轴的交点为，即与y轴的交点在正半轴上，
∵抛物线的图像交x正半轴交于点，抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴抛物线的开口向下，
∴，
∴，故①正确；
∵，顶点为，
∴当时，y有最大值为m，
∴对于任意的x，有，
∴，故③错误；
把代入，得
∵
∴
∴，故④错误；
∵抛物线的图像交x正半轴交于点，对称轴为直线，
∴抛物线的图像交x轴另一交点在x负半轴上，且坐标为，
∴，
∵
∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴，故⑤正确；
∴正确的①②⑤
11．
本题考查了解一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积，根据根与系数的关系得出菱形的两对角线的积为，再根据面积公式求出即可．
解：设方程的两个根为，，
则由根与系数的关系得：，
∵菱形的两条对角线的长是方程的两根，
∴菱形的对角线的积为，
∴菱形的面积是，
故答案为．
12．
此题主要考查了解一元二次方程，以及根的定义．先把代入原方程，求出k的值，进而再将k的值代入原方程，然后解方程即可求出方程的另一个根．
解：∵是方程的一个根，
∴，
解得：，
将代入原方程得：，
解得：，
∴方程的另一个根为．
故答案为：．
13．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是、，那么，．
根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系可知，，将变形后得到，代入求值即可．
解：、是方程的两个实数根，
，，
，
，
故答案为：．
14．
本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，延长交于点，连接，根据垂径定理得到，推出，得到当取最大值时，也取得最大值，设的半径为，则，利用勾股定理求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：延长交于点，连接，
∵，即，是的直径，
∴，
∵点为的中点，
∴，
当取最大值时，也取得最大值，
设的半径为，则，
在中，，
∴，解得：，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
故答案为：．
15．
先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出，进而可得出当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值，然后求出的解析式，进而可求出点P的坐标．
解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、，
∴对称轴直线为：
∴顶点C的坐标为，
如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：，
∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值．
设的解析式为，
则，
解得：
∴的解析式为：，
当时，则，
则点P的坐标为
故答案为．
16．4
由已知条件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F，可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF,即可求出IE的长.
解：
如图：I为△ABC的内心,可得∠BAD=∠CAD,BD=CD,
又∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠ICD=∠ICB+∠BCD
其中∠DAC=∠BAD=∠BCD，∠ACI=∠ICB，
∠DIC=∠ICD
ID=CD, ID=BD=DC=5, 可得AI=2CD=10
可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F,
可得IF=FC(垂经定理)，
在RT△IFD中，,
又在△AIC中，AE=EC, IF=FC,
EF为△AIC的中位线，
EF∥AD,即EF∥ID, 且EF==5=ID,
四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF=4,
故答案：4.
17．8
设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值．
解：当，则，
解得：，
设点P的坐标为，，
由题意可知：四边形的周长，
∴，
∵，
当时，C有最大值8．
故答案为：8．
18．(1)，；
(2)，；
本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（1）解：，
，
，
或，
解得：，；
（2）解：
，
或，
解得：，．
19．(1)
(2)
（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
解得．
故的范围是；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
20．①；②
本题考查了一元二次方程的求解以及根的判别式，注意计算的准确性即可．①根据题意求解方程，再分类讨论即可求解；②由题意得关于x的方程有两个相等是实数根，据此即可求解；
解：①时，原方程为：
解方程得：
当等腰三角形的三边长为：时，
∵，
∴此种情况不成立；
∴等腰三角形的三边长为：
∴的周长
②∵为等边三角形，
∴关于x的方程有两个相等是实数根，
∴
解得：
21．(1)，证明见解析
(2)
本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧与圆心角的关系；
（1）根据垂径定理得出，即可求解；
（2）连接，得出，根据垂径定理可得，进而得出，则，进而解（1）的结论，圆周角定理，即可求解．
（1）解：和相等的角是．
证明如下：
∵是的直径且，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵是的直径且，
∴，则，
∵ 点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．(1)；
(2)．
本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式．
（1）将点，代入解析式，求出的值即可；
（2）根据解析式，求出的坐标，利用面积公式进行计算即可．
（1）解∶将代入抛物线解析式，得，
解得．经检验是原方程的解．
（2）由(1)，知抛物线解析式为，
当时，得，
解得．
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
当时，得，
∴点C的坐标为．
∴．
23．(1)
(2)
(3)
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把二次函数转化成顶点式求得，再利用待定系数法求得直线的表达式为，从而求得，再根据三角形的面积公式求解即可；
（3）①过点N作于点G，根据点B的坐标求得直线BM的表达式为，，设，，再根据矩形的性质和全等三角形的判定证得，可得，，即，从而求得，即、，求得，，即可求解．
（1）解：把点、代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：，
，
，
设直线的表达式为，
，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴，
；
（3）解：如图，过点N作于点G，
过点，
，
，
∴直线BM的表达式为：，
，
设，，
∵四边形为矩形，
∴，，
又∵，
，
，，
，
，
、，
，，
．
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