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专项复习提升（一） 三角形
考点一 与三角形有关的线段
1．（2024北京·期末）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2024北京·期末）如图，三角形中，，于点D．在线段中，长度最短的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
3．（2024北京·期末）现有四根木条，长度分别为．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．（2024北京·期末）若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（2024北京·期末）已知的三边长分别为a，b，c，且，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．（2024北京·期末）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
7．（2024北京·期中）我校初二年级计划11月3日下午前往圆明园，开展以“圆明园的毁灭：铭记责任，思国家复兴”为主题的社会综合实践活动．出发前计划每班准备一个三角形的队旗，你认为下列三边长规格可以实现三角形队旗制作的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．（2024北京北京四中·期中）如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值不可能是（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
9．（2024北京·期末）如图，在中，利用直角三角板作边上的高，下列作法正确的是( )
A． B．
C． D．
10．（2024北京·期末）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭H是（ ）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
考点二 与三角形有关的角
1．（2024北京·期末）已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是 ．
2．（2024北京·期末）下图中x的值是 ．
3．（2024北京·期末）如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 °．
4．（2024北京·期末）与直线a，b的位置关系如图所示．若，，，则 ．
5．（2024北京·期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面，靠背 与支架 平行，前支架 与后支架 分别与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，当 ， 时，人躺着最舒服，此时扶手 与靠背 的夹角 _______°．
6．（2024北京·期末）阅读下列材料：
如图，点是线段，所在直线之间的一点，且，连接，．
小马同学通过观察，度量，提出猜想：
．
接着他时猜想进行了证明，证明思路是：
如图1，过点作，由，可得．根据平行线的性质，可得，，从而得证．
请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题
(1)如图2，点是线段，所在直线上方的一点，且，连接，．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系．
7．（2024北京·期末）已知C为射线上方一点，过点C作的平行线，点O在射线上运动（不与点A，C重合），点D在射线上，连接，满足．
(1)如图1，点O在线段上，，若，依题意补全图形，并直接写出的度数；
(2)点E，F在射线上，连接，，满足．
①如图2，点O在线段上，，写出一个m的值，使得恒为定值，并求出此定值；
②如图3，，，若直线和直线中至少有一条与直线平行或垂直，直接写出m的值．
8．（2024北京·期末）如图，已知，，点P为直线上一动点．
(1)求证：；
(2)作射线交直线于点M，交直线于点N，且．
①当点P运动到如图1所示的位置时，用等式表示，与之间的数量关系，并证明；
②当点P运动到如图2所示的位置时，补全图形，直接用等式写出、与之间的数量关系．
9．（2024北京·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．
(1)若，在中，的“3系数补角”是________；
(2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点．
①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小．
②如图2，连接，若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程．
10．（2024北京·期末）【阅读学习】
阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”．
（）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”）
（）画图和计算：
下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数．
阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”．
（）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值．
考点三 多边形及其内角和
1．（2024北京·期末）已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．（2024北京·期末）下面多边形中，内角和是外角和2倍的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024北京·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．（2024北京·期末）一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2024北京·期末）下图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件,则这个八边形的每个内角为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024北京北京市十一学校·期末）如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
7．（2024北京·期末）若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024北京·期末）如图，在四边形中，，如果，那么的度数是 ．
9．（2024北京·期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ．
10．（2024北京·期末）在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点F、G在边上，点E、H分别在边、上，则的大小是 ．
参考答案
考点一 与三角形有关的线段
1．【答案】D
【分析】直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答．
【详解】解：如图：∵，
∴,即，
∴只有D选项符合题意．
故此题答案为D．
2．【答案】D
【详解】解：在，，中，
∵,
∴最短，
∵三角形中，，
∴，，
综上，在线段中，长度最短的是．
故此题答案为D．
3．【答案】B
【分析】此题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：组合有以下4种情况：2、3、4；2、3、6；2、4、6；3、4、6；
根据三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得：只有2、3、4；3、4、6；共2组能组成三角形．
故此题答案为B
4．【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
第三边的长度，即．
观察四个选项，B选项符合题意，
故此题答案为B．
5．【答案】C
【分析】此题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：A、∵，
∴，
即，
故A能形成三角形
B 、∵，
∴，
故B能形成三角形
C、∵
不确定，故不能确定与的关系．
故，，不一定能组成三角形．符合题意，
D、∵
∴，，
∵
故D能形成三角形．
故此题答案为C．
6．【答案】D
【分析】根据三角形三边关系确定第三边取值范围即可求解．
【详解】设三角形第三边长为，即
∴
∴选项A，B，C，不符合题意，D符合题意．
故答案选D
【关键点拨】此题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形三边关系建立不等式是解题的关键．
7．【答案】C
【详解】解：A、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故A错误；B、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故B错误；C、，符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，能组成三角形，所以本选项符合题意，故C正确；D、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故D错误．故此题答案为C．
8．【答案】D
【分析】根据三角形三边关系判断即可．
【详解】解：∵AB=6，
∴AC+BC＞AB=6，
∴11，9，7都满足，5不满足，
故此题答案为D．
【关键点拨】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
9．【答案】D
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A．不是三角形的高，故此选项不合题意；
B．不是三角形的高，故此选项不合题意；
C．不是三角形的高，故此选项不合题意；
D．是的边上的高，故此选项符合题意．
故此题答案为D．
10．【答案】A
【详解】解：如图，作的平分线交于D，作的中线交于H，
∵平分，点H在上，
∴点H到，的距离相等，
∵是边上的中线，
∴的面积的面积，的面积的面积，
∴的面积的面积的面积的面积，
∴的面积的面积，
∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，
故此题答案为A．
考点二 与三角形有关的角
1．【答案】或
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为，分度数为的角为顶角和底角两种情况进行求解即可．
【详解】解：当度数为的角是顶角时，则顶角的度数为；
当度数为的角为底角时，则顶角的度数为；
综上所述，顶角的度数为或，
故此题答案为：或．
2．【答案】60
【分析】利用三角形的外角的性质，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
解得：；
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的关键．
3．【答案】75
【分析】此题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质可得，进而求出，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，
由题意知，，，，，
，
，
，
，
故此题答案为：75．
4．【答案】
【分析】
先根据两直线平行，同位角相等得到，再由对顶角相等得到，则由三角形外角的性质可得．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴．
5．【答案】
【详解】解：根据题意可得 ，
，
，
，
.
6．【答案】(1)，证明见解析
(2)图见详解，（或）
【分析】（1）过点P作，由平行线的性质得出，由平行线公理可得出，再由平行线的性质得出，由角的和差关系可得出，等量代换可得出，即．
（2）根据题意补全图形即可，根据角平分线的定义可得出，，由三角形外角的定义可得出，，由对顶角相等可得出，进而可得出，等量代换后结合（1）可得出，进一步即可得出结果．
【详解】（1）解：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（2）根据题意，补全图形如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，， 且，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
即.
7．【答案】(1)补图见解析，
(2)①；②m的值为或或
【分析】（1）利用平行线的性质，利用三角形外角的性质求出，即可求解；
（2）①设，则可求，，，，，，进而求出
则，即时，，即可求解；
②分点O在线段、线段的延长线讨论，然后画出符合题意的图形，利用平行线的性质，三角形内角和定理等求解即可．
【详解】（1）解：补图如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①设，
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴当，即时，，
∴当时，恒为定值；
②当O在线段时，若，如图，
∵，，，
∴，，
由①知：，
∴，
解得；
当O在线段时，若，如图，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）；
当O在线段延长线时，若，如图，
则
∵，
又，
∴
∴，
解得；
当O在线段延长线时，若，如图，
∴，
∴，
解得，
综上，m的值为或或．
8．【答案】(1)证明见解析
(2)①，见解析；②图见解析，
【分析】（1）利用平行线的判定与性质证得结论即可；
（2）①先利用平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质得到，进而整理可得结论；
②先根据题干叙述画出图形，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质得到，进而整理可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①2∠1=∠2+∠3．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②如图，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∵，，
∴，
即，
∴．
9．【答案】(1)
(2)①；②或或或
【分析】（1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）①设，，根据三角形外角的性质和是的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案；②分六种情况画出图形分别进行求解即可．
【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的“3系数补角”是，
故答案为，
（2）①设，，
如图，设与相交于点H，
∵，，
∴，
∴，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
联立①②得，
解得，
即是；
②∵是的“2系数补角”，
∴，
∴，
如图1，∵与两个角的平分线交于点M．
∴，
∵
，
过点H作，
∵，
∴，
则，
，
∴，∴，
如图2，
同理可得，
则，
如图3，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图4，
同理可得，
∴，
如图5，
同理可得，
∴，
如图6，
同理可得，
∴，
综上可知，的大小为或或或.
10．【答案】（）是；（）图见解析；（）图见解析 ；（）图见解析，的值为或．
【分析】（）根据新定义画出图形即可判断；
（）根据新定义画出图形即可求解；
（）根据新定义画出图形即可求解；
（）根据新定义画出图形即可求解；
此题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键．
【详解】解（1）如图，可以分割成两个小的等腰三角形，
∴是“可两分三角形”，
故此题答案为：是；
（）如图所示；
（）如图所示；
（）如图所示，
由图可得的值为或．
考点三 多边形及其内角和
1．【答案】C
【详解】根据多边形的内角和可得（n-2）180°=540°，
解得n=5，则这个多边形是五边形．
故此题答案为C．
2．【答案】D
【分析】设内角和是外角和的倍的多边形是边形，根据多边形内角和公式及外角和为列方程计算即可．
【详解】解：设内角和是外角和的2倍的多边形是边形，
则，
解得，
即内角和是外角和的2倍的多边形是六边形，
故此题答案为D．
3．【答案】D
【分析】此题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：，
∴这个多边形是六边形．
故此题答案为D
4．【答案】C
【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，则多边形的内角和是度；边形的内角和是，则可以设这个多边形的边数是，这样就可以列出方程，解之即可．
【详解】解：多边形的内角和是度，设这个多边形的边数是，根据题意得：，
解得，即这个多边形的边数是7．
故此题答案为C．
5．【答案】D
【分析】根据多边形的内角和公式，列式计算即可得解．
【详解】解：这个正八边形每个内角的度数=×（8-2）×180°=135°．
故此题答案为D
6．【答案】B
【分析】求出正多边形的每一个外角，根据外角和为，即可求得边数．
【详解】解：正多边形的每一个内角是，
正多边形的每一个外角是，
正多边形的边数为；
故此题答案为B．
7．【答案】B
【详解】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故此题答案为B．
8．【答案】
【分析】根据四边形的内角和为求解即可．
【详解】解：在四边形中，， ，
∴．
9．【答案】5或6或7
【分析】设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数为n，则，
解得，
即得到的多边形是6边形，
当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形，
当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：
①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；
②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，
综上所述，原多边形的边数为5或6或7
10．【答案】/度
【分析】此题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，三角形外角的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．由边三角形的性质得到，由多边形内角和得出，再利用三角形外角的性质，即可求出的大小．
【详解】解：是正三角形，
，
正五边形的内角和为，
，
是的外角，
，
，
故此题答案为：．
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专项复习提升（一） 三角形
考点一 与三角形有关的线段
1．（2024北京·期末）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答．
【详解】解：如图：∵，
∴,即，
∴只有D选项符合题意．
故此题答案为D．
2．（2024北京·期末）如图，三角形中，，于点D．在线段中，长度最短的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】D
【详解】解：在，，中，
∵,
∴最短，
∵三角形中，，
∴，，
综上，在线段中，长度最短的是．
故此题答案为D．
3．（2024北京·期末）现有四根木条，长度分别为．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【分析】此题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：组合有以下4种情况：2、3、4；2、3、6；2、4、6；3、4、6；
根据三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得：只有2、3、4；3、4、6；共2组能组成三角形．
故此题答案为B
4．（2024北京·期末）若三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：
第三边的长度，即．
观察四个选项，B选项符合题意，
故此题答案为B．
5．（2024北京·期末）已知的三边长分别为a，b，c，且，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】此题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：A、∵，
∴，
即，
故A能形成三角形
B 、∵，
∴，
故B能形成三角形
C、∵
不确定，故不能确定与的关系．
故，，不一定能组成三角形．符合题意，
D、∵
∴，，
∵
故D能形成三角形．
故此题答案为C．
6．（2024北京·期末）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系确定第三边取值范围即可求解．
【详解】设三角形第三边长为，即
∴
∴选项A，B，C，不符合题意，D符合题意．
故答案选D
【关键点拨】此题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形三边关系建立不等式是解题的关键．
7．（2024北京·期中）我校初二年级计划11月3日下午前往圆明园，开展以“圆明园的毁灭：铭记责任，思国家复兴”为主题的社会综合实践活动．出发前计划每班准备一个三角形的队旗，你认为下列三边长规格可以实现三角形队旗制作的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【详解】解：A、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故A错误；B、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故B错误；C、，符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，能组成三角形，所以本选项符合题意，故C正确；D、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故D错误．故此题答案为C．
8．（2024北京北京四中·期中）如图，被木板遮住了一部分，其中，则的值不可能是（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系判断即可．
【详解】解：∵AB=6，
∴AC+BC＞AB=6，
∴11，9，7都满足，5不满足，
故此题答案为D．
【关键点拨】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
9．（2024北京·期末）如图，在中，利用直角三角板作边上的高，下列作法正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A．不是三角形的高，故此选项不合题意；
B．不是三角形的高，故此选项不合题意；
C．不是三角形的高，故此选项不合题意；
D．是的边上的高，故此选项符合题意．
故此题答案为D．
10．（2024北京·期末）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭H是（ ）
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
【答案】A
【详解】解：如图，作的平分线交于D，作的中线交于H，
∵平分，点H在上，
∴点H到，的距离相等，
∵是边上的中线，
∴的面积的面积，的面积的面积，
∴的面积的面积的面积的面积，
∴的面积的面积，
∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，
故此题答案为A．
考点二 与三角形有关的角
1．（2024北京·期末）已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是 ．
【答案】或
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为，分度数为的角为顶角和底角两种情况进行求解即可．
【详解】解：当度数为的角是顶角时，则顶角的度数为；
当度数为的角为底角时，则顶角的度数为；
综上所述，顶角的度数为或，
故此题答案为：或．
2．（2024北京·期末）下图中x的值是 ．
【答案】60
【分析】利用三角形的外角的性质，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
解得：；
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解题的关键．
3．（2024北京·期末）如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 °．
【答案】75
【分析】此题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质可得，进而求出，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，
由题意知，，，，，
，
，
，
，
故此题答案为：75．
4．（2024北京·期末）与直线a，b的位置关系如图所示．若，，，则
．
【答案】
【分析】
先根据两直线平行，同位角相等得到，再由对顶角相等得到，则由三角形外角的性质可得．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴．
5．（2024北京·期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面，靠背 与支架 平行，前支架 与后支架 分别与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，当 ， 时，人躺着最舒服，此时扶手 与靠背 的夹角 _______°．
【答案】
【详解】解：根据题意可得 ，
，
，
，
.
6．（2024北京·期末）阅读下列材料：
如图，点是线段，所在直线之间的一点，且，连接，．
小马同学通过观察，度量，提出猜想：
．
接着他时猜想进行了证明，证明思路是：
如图1，过点作，由，可得．根据平行线的性质，可得，，从而得证．
请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题
(1)如图2，点是线段，所在直线上方的一点，且，连接，．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系．
【答案】(1)，证明见解析
(2)图见详解，（或）
【分析】（1）过点P作，由平行线的性质得出，由平行线公理可得出，再由平行线的性质得出，由角的和差关系可得出，等量代换可得出，即．
（2）根据题意补全图形即可，根据角平分线的定义可得出，，由三角形外角的定义可得出，，由对顶角相等可得出，进而可得出，等量代换后结合（1）可得出，进一步即可得出结果．
【详解】（1）解：过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
（2）根据题意，补全图形如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵，， 且，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
即.
7．（2024北京·期末）已知C为射线上方一点，过点C作的平行线，点O在射线上运动（不与点A，C重合），点D在射线上，连接，满足．
(1)如图1，点O在线段上，，若，依题意补全图形，并直接写出的度数；
(2)点E，F在射线上，连接，，满足．
①如图2，点O在线段上，，写出一个m的值，使得恒为定值，并求出此定值；
②如图3，，，若直线和直线中至少有一条与直线平行或垂直，直接写出m的值．
【答案】(1)补图见解析，
(2)①；②m的值为或或
【分析】（1）利用平行线的性质，利用三角形外角的性质求出，即可求解；
（2）①设，则可求，，，，，，进而求出
则，即时，，即可求解；
②分点O在线段、线段的延长线讨论，然后画出符合题意的图形，利用平行线的性质，三角形内角和定理等求解即可．
【详解】（1）解：补图如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①设，
如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴当，即时，，
∴当时，恒为定值；
②当O在线段时，若，如图，
∵，，，
∴，，
由①知：，
∴，
解得；
当O在线段时，若，如图，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）；
当O在线段延长线时，若，如图，
则
∵，
又，
∴
∴，
解得；
当O在线段延长线时，若，如图，
∴，
∴，
解得，
综上，m的值为或或．
8．（2024北京·期末）如图，已知，，点P为直线上一动点．
(1)求证：；
(2)作射线交直线于点M，交直线于点N，且．
①当点P运动到如图1所示的位置时，用等式表示，与之间的数量关系，并证明；
②当点P运动到如图2所示的位置时，补全图形，直接用等式写出、与之间的数量关系．
【答案】(1)证明见解析
(2)①，见解析；②图见解析，
【分析】（1）利用平行线的判定与性质证得结论即可；
（2）①先利用平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质得到，进而整理可得结论；
②先根据题干叙述画出图形，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质得到，进而整理可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①2∠1=∠2+∠3．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②如图，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∵，，
∴，
即，
∴．
9．（2024北京·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．
(1)若，在中，的“3系数补角”是________；
(2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点．
①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小．
②如图2，连接，若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程．
【答案】(1)
(2)①；②或或或
【分析】（1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案；
（2）①设，，根据三角形外角的性质和是的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案；②分六种情况画出图形分别进行求解即可．
【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的“3系数补角”是，
故答案为，
（2）①设，，
如图，设与相交于点H，
∵，，
∴，
∴，
即①，
∵是的“6系数补角”，
∴，
即②，
联立①②得，
解得，
即是；
②∵是的“2系数补角”，
∴，
∴，
如图1，∵与两个角的平分线交于点M．
∴，
∵
，
过点H作，
∵，
∴，
则，
，
∴，∴，
如图2，
同理可得，
则，
如图3，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图4，
同理可得，
∴，
如图5，
同理可得，
∴，
如图6，
同理可得，
∴，
综上可知，的大小为或或或.
10．（2024北京·期末）【阅读学习】
阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”．
（）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”）
（）画图和计算：
下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数．
阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”．
（）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值．
【答案】（）是；（）图见解析；（）图见解析 ；（）图见解析，的值为或．
【分析】（）根据新定义画出图形即可判断；
（）根据新定义画出图形即可求解；
（）根据新定义画出图形即可求解；
（）根据新定义画出图形即可求解；
此题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键．
【详解】解（1）如图，可以分割成两个小的等腰三角形，
∴是“可两分三角形”，
故此题答案为：是；
（）如图所示；
（）如图所示；
（）如图所示，
由图可得的值为或．
考点三 多边形及其内角和
1．（2024北京·期末）已知一个多边形的内角和为540°,则这个多边形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【详解】根据多边形的内角和可得（n-2）180°=540°，
解得n=5，则这个多边形是五边形．
故此题答案为C．
2．（2024北京·期末）下面多边形中，内角和是外角和2倍的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设内角和是外角和的倍的多边形是边形，根据多边形内角和公式及外角和为列方程计算即可．
【详解】解：设内角和是外角和的2倍的多边形是边形，
则，
解得，
即内角和是外角和的2倍的多边形是六边形，
故此题答案为D．
3．（2024北京·期末）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】此题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：，
∴这个多边形是六边形．
故此题答案为D
4．（2024北京·期末）一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，则多边形的内角和是度；边形的内角和是，则可以设这个多边形的边数是，这样就可以列出方程，解之即可．
【详解】解：多边形的内角和是度，设这个多边形的边数是，根据题意得：，
解得，即这个多边形的边数是7．
故此题答案为C．
5．（2024北京·期末）下图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件,则这个八边形的每个内角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据多边形的内角和公式，列式计算即可得解．
【详解】解：这个正八边形每个内角的度数=×（8-2）×180°=135°．
故此题答案为D
6．（2024北京北京市十一学校·期末）如果一个正多边形的每一个内角是，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【分析】求出正多边形的每一个外角，根据外角和为，即可求得边数．
【详解】解：正多边形的每一个内角是，
正多边形的每一个外角是，
正多边形的边数为；
故此题答案为B．
7．（2024北京·期末）若一个多边形的内角和等于其外角和，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和等于它的外角和，则内角和是360度，
∴这个多边形是四边形．
故此题答案为B．
8．（2024北京·期末）如图，在四边形中，，如果，那么的度数是 ．
【答案】
【分析】根据四边形的内角和为求解即可．
【详解】解：在四边形中，， ，
∴．
9．（2024北京·期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ．
【答案】5或6或7
【分析】设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数为n，则，
解得，
即得到的多边形是6边形，
当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形，
当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：
①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；
②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，
综上所述，原多边形的边数为5或6或7
10．（2024北京·期末）在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点F、G在边上，点E、H分别在边、上，则的大小是 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，三角形外角的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．由边三角形的性质得到，由多边形内角和得出，再利用三角形外角的性质，即可求出的大小．
【详解】解：是正三角形，
，
正五边形的内角和为，
，
是的外角，
，
，
故此题答案为：．
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