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专项复习提升（三） 轴对称
考点一 轴对称及垂直平分线的性质
1．（2024北京北京五中·月考）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长是( )
A．13 B．16 C．18 D．20
2．（2024北京北京师范大学附属中学·期中）如图，在△ABC中，的垂直平分线交，于点，．若△ABC的周长为30，，则△ABD的周长为（ ）
A．10 B．15
C．20 D．25
3．（2024北京北京市第十四中学分校·期中）如图，在△中，的垂直平分线分别交，于点，．若△的周长为22，，则△的周长为
A．14 B．18 C．20 D．26
4．（2024北京·期末）如图，在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024北京北京市第十四中学分校·期中）下列尺规作图，能确定是的中线的是
A． B．
C． D．
6．（2024北京北京师范大学附属中学·期中）下面是“作的外接圆”的尺规作图方法．
（1）如图，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，分别在直线两侧交于D，E两点，作过点D和点E的直线；（2）分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别在直线两侧交于F，G两点，作过点F和点G的直线；（3）直线和直线相交于点O；（4）以点O为圆心，以长为半径作出的外接圆．
上述方法由，得到，从而知经过A，B，C三点．其中获得的依据是（ ）
A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
B．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
C．角平分线上的点到角的两边的距离相等
D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
7．（2024北京北京理工大学附中·期中）如图，线段的一个端点在直线上，直线上存在点，使△为等腰三角形，这样的点有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2024北京北京理工大学附中·期中）如图，某市的三个城镇中心，，构成△，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心，，的距离相等，则点应设计在
A．三个角的角平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点
9．（2024北京北京东中·月考）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
10．（2024北京北京理工大学附中·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024北京北京东中·期中）已知，直角坐标系中，点A在y轴上，轴于点C，点A关于直线的对称点D恰好在上，点E与点O关于直线对称，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024北京北京师范大学附属实验中学分校·期中）如图，直线，，，分别表示三条互相交叉的公路，交点分别记为A，B，C，现要建一个加油站，使它到三个交点的距离相等，加油站的位置应该选在（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高所在直线的交点
13．（2024北京北京交通大学附属中学·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点D，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024北京北京市一零一中学·期中）如图， 是 的边 的垂直平分线， 为垂足， 交 于点 ，且 ，则 的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
15．（2024北京北京师范大学附属中学·期中）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ．
16．（2024北京·期末）如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是
17．（2024北京北京35中·期中）如图，在长方形的对称轴上找点，使得、、、均为等腰三角形，则满足条件的点有 个．
18．（2024北京北京市第十九中学·期中）数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．
小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ， （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
19．（2024北京·期末）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)在网格中画出关于直线l对称的．（要求：A与，B与，C与是对称点）；
(2)若直线l和线段相交于点M，线段，则线段________；
(3)的面积是________．
20．（2024北京·期中）某地区要在区域S内（即∠COD内部） 建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
21．（2024北京·期末）如图，在中，，．
(1)作线段的垂直平分线交于点，交于点，要求：不写作法，保留作图痕迹；
(2)连接，则的度数为______．
22．（2024北京北京市和平街第一中学·期中）《几何原本》在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”
(1)请补全上述命题的证明．
已知：如图，在中，．
求证：
证明：如图，过点作边的垂线，垂足为，以为圆心，长为半径在线段边上截取，连接．（用无刻度的直尺和圆规补全图形，保留作图痕迹）
∵，
∴垂直平分，
∴，（__________________）（填推理的依据）
∴，
∵是的外角，
∴，（__________________）（填推理的依据）
∴，
∴．
(2)请再设计一种证明的方法，画出图形（不要求尺规作图），并简要说明理由．
23．（2024北京·期中）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ ，( )（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ ，( )（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
24．（2024北京北京师范大学附属实验中学分校·期中）如图，射线平分．
我申请请问
(1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交射线于点，连接，．（保留作图痕迹）
(2)请把以下解题过程补充完整：
求证：．
证明：在上截取，连接．
平分，
，
在与中，
（②），
，，
点在线段的垂直平分线上，
（③），
，
（④），
点在射线上，
，
，
考点二 等腰三角形
1．（2024北京·期末）如图，在中，，D是的中点，在的延长线上取点E，连接，若，，则为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024北京景山学校·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024北京·期末）如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024北京·期末）如图，在中，，，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．（2024北京·期末）如图，在中，，，是的角平分线．若点D到的距离为3，则的长为（ ）
A．12 B．7.5 C．9 D．6
6．（2024北京·期末）如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024北京·期末）如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024北京·期末）如图，在正方形网格中有A，两点，点在点A的南偏东方向上，且点在点的东北方向上，则点可能的位置是图中的（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
9．（2024北京·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
10．（2024北京·期末）如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（ ）．
A．45° B．90° C．75° D．135°
11．（2024北京·期末）如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点A，重合），连接，．
给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
12．（2024北京·期末）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）
13．（2024北京·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ．
1
14．（2024北京·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E，F．当时，的长为 ．
15．（2024北京·期末）如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
16．（2024北京北京汇文·期末）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为 ．
17．（2024北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接．
(1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，写出、的坐标： ， ；
(2)写出一个点的坐标，使成为等腰三角形， ， ；
(3)已知点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 个．
18．（2024北京·期末）在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点F、G在边上，点E、H分别在边、上，则的大小是 ．
19．（2024北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ．
20．（2024北京·期末）如图， 是等边三角形．点 是 延长线上的一个动点，连接 ，点 在 的垂直平分线上，且 平分 ，连接 ， ，过点 作 于点 ．
(1)当 时， 的值为___；
(2)给出下面四个结论：
①点 一定在 的垂直平分线上；
②点 一定是线段 的中点；
③当 时， ；
④点 运动过程中， 的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是_______．
21．（2024北京·期末）如图，在等边中，，点O在上，且，点E是边上一动点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，且．
（1）连接，则的形状为 ；
（2）当点E在边上运动时，连接，则的最小值为 ．
22．（2024北京·期末）如图，在中，，点，在边上，．
求证：．
23．（2024北京·期末）如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边，点、点在直线两侧，连接．求证：．
24．（2024北京·期末）如图，在中，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵，
∴_________．
∵平分，
∴．
∴．
∴_________．
在中，，
∴（____________________________________________）（填推理依据）．
∴．
25．（2024北京·期末）尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的．热爱数学的小明同学设计了一个用尺规三等分角的方案，老师认为他的想法是正确的．请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程．
已知：．
求作：射线、，使得．
作法：
①在射线上取一点M，分别以点O、点M为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，画射线；
②作的平分线．
射线、为所求作射线．
证明：∵ ，
∴为等边三角形．
∴ ．
∵，
∴．
∵OD平分，
∴．
∴．
26．（2024北京·期末）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得．
作法：如图，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵______，，
∴（______）（填推理的依据）．
27．（2024北京·期末）已知：如图，在中，，设，，如果．
(1)求证：是等边三角形；
(2)的中线，交于点O，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28．（2024北京·期末）台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在边上作出撞击点P，使得，并用数学知识进行证明．
锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证，只需保证即可”．
29．（2024北京·期末）在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：；
(2)当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：
①依题意，补全图形．
②猜想的大小，并证明．
30．（2024北京·期末）【阅读学习】
阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”．
（）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”）
（）画图和计算：
下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数．
阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”．
（）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值．
参考答案
考点一 轴对称及垂直平分线的性质
1．【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+BA＝18．
故此题答案为C．
2．【答案】C
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长=AB+AC即可解决问题．
【详解】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，BE=5，
∴DB=DC，BE=EC，BC=10，
∵BC=10，△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC=30，
∴AB+AC=20，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=20，
故此题答案为C．
3．【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
△的周长为22，
，
，
△的周长，
故选A．
4．【答案】D
【分析】由和可得，点D在线段的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段的垂直平分线，与的交点即为点D．
【详解】∵，而，
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上，
即点D为线段的垂直平分线与的交点．
观察四个选项，D选项符合题意，
故此题答案为D．
5．【答案】A
【分析】要确定中线，首先确定中点，再连接即可．
【详解】解：根据作图方法可得选项中为中点，则为的中线，
故选：A．
6．【答案】A
【详解】解：由作图可知直线是线段的垂直平分线，
则的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，
故此题答案为A．
7．【答案】
【分析】分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图：
分三种情况：
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，，
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，
当时，作的垂直平分线交直线于点，
综上所述：使△为等腰三角形，这样的点有4个，
故选：．
8．【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：体育中心到城镇中心，的距离相等，
，
点在线段的垂直平分线上，
同理，点在线段的垂直平分线上，
点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选：．
9．【答案】B
【分析】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心
【详解】解：如图，
∵绕某点旋转一定的角度，得到，
∴连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B，
故此题答案为B．
10．【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
故此题答案为B．
11．【答案】D
【分析】本题考查的是平行线的性质，直角三角形两锐角互余，轴对称的性质．先根据平行线的性质求出的度数，由直角三角形的性质得出的度数，证明是线段的垂直平分线，以及是的垂直平分线，故可得出．
【详解】解：连接，
∵轴于点C，，
∴，
∴，．
∵点A关于直线的对称点D恰好在上，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
∵点E与点O关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴．
故此题答案为：D．
12．【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定加油站的位置．
【详解】解：∵加油站到点A，B，C的距离相等，
∴加油站为、、的垂直平分线的交点．
故此题答案为：B．
【关键点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
13．【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形内角和定理列式计算，得，又因为平分，所以，即可作答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
则，
故选：A
【关键点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
14．【答案】B
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出 ，进而得出答案．
【详解】解：∵ 是 的边 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长是 ．
故此题答案为B．
15．【答案】/36度
【分析】连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出．
【详解】解：连接、，如图，设，
由作法得垂直平分，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
解得，
．
16．【答案】/度
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数．
【详解】解：点是的垂直平分线与的交点，
，
，
，，
将沿着翻折得到，
，
．
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
17．【答案】5
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，对称轴上的点到轴对称图形上对应点的距离相等进行求解是解题的关键．
【详解】解：①如图，作或的垂直平分线交l于点P，P点即满足条件；
②在l上作点P，使，如图1，同理在l上作点P使，如图2，P点即满足条件；
③在l上作点P，使，如图3，同理在l上作点P使，如图4，P点即满足条件；
综上，可知满足条件的P点有5个，
故此题答案为：5．
18．【答案】尺规作图见解析；BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角.
【分析】按照线段垂直平分线的作图方法作出AB的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可.
【详解】如图，
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP=BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；
∴ ∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
【关键点拨】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
19．【答案】(1)见解析
(2)4
(3)5
【分析】此题考查了作图轴对称变换，轴对称的性质，割补法求三角形面积，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点即可；
（2）根据对称的性质求解即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）∵点A和点关于直线l对称
∴；
（3）的面积．
20．【答案】见解析
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市M建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可．
【详解】如图所示，点M就是所要求作的建立超市的位置．
21．【答案】(1)作图见解析；
(2)．
【分析】（）分别以点为圆心，相同的长度为半径画弧，前后弧相交于两点，过这两点作直线，直线即为所求；
（）由垂直平分线的性质得到，进而得到，由，，得到，利用角的和差关系即可求解；
此题考查了作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故此题答案为：．
22．【答案】(1)线段垂直平分线上的点线段两端的距离相等；；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和
(2)见解析
【分析】（1）根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可；
（2）以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接．再利用等腰三角形的性质及外角的性质证明即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作边的垂线，垂足为，以为圆心，长为半径在线段边上截取，连接．（用无刻度的直尺和圆规补全图形，保留作图痕迹）
∵，
∴垂直平分，
∴，（线段垂直平分线上的点线段两端的距离相等）（填推理的依据）
∴，
∵是的外角，
∴，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）（填推理的依据）
∴，
∴．
（2）证明：如图，由于，以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接．
，
，
是的外角，
．，
，
．
23．【答案】（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC； 等边对等角．
【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．
（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．
【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；
(2)解：证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ DB ，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
24．【答案】(1)见解析
(2)；；线段垂直平分线的性质；等边对等角
【分析】（1）按题意作出图形即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定，逐步填写推理过程与推理依据即可．
【详解】（1）解：如图；
．
（2）证明：在上截取，连接．
平分，
，
在与中，
，
，，
点在线段的垂直平分线上，
（线段垂直平分线的性质），
，
（等边对等角），
点在射线上，
，
.
考点二 等腰三角形
1．【答案】A
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分为底角和顶角两种情况，分别根据等腰三角形的性质求出，然后根据排除法即可解答．
【详解】解：当为顶角时，，则B选项不符合题意；
当为底角、为顶角时时，，则C选项不符合题意；
当、为底角时，，则D选项不符合题意；
综上，选项A不符合题意．
故此题答案为A．
2．【答案】C
【分析】先根据正多边形的内角公式求出正五边形和正六边形的一个内角，进而求得，再根据等腰三角形的等边对等角性质求解即可．
【详解】解：由题意，正五边形的一个内角为，正六边形的一个内角为，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
3．【答案】A
【分析】此题考查含的直角三角形三边关系．根据题意利用在直角三角形中含角所对的边是斜边的一半即可得到此题答案．
【详解】解：∵立柱垂直于横梁，
∴，
∵米，，
∴米，
故此题答案为A．
4．【答案】D
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一个角为60°且两边相等、有两个内角为60°这三个条件中的任意一个条件即为等边三角形，根据这个定义进行逐项分析即可得到答案.
【详解】A、有两个内角是60°，因为三角形内角和是180°，可知另一个角也是60°，故该三角形为等边三角形，故本选项不合题意；
B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
C、腰和底相等的等腰三角形，即三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；
D、等腰三角形中两个底角是相等的，故不能判定该三角形是等边三角形，故本选项符合题意；
故此题答案为D.
【关键点拨】此题考查了等边三角形的判定：
（1）由定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形.
（2）判定定理1：三个角都想等的三角形是等边三角形.
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
5．【答案】A
【分析】此题考查了三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义等知识点，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，
∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∴．
故此题答案为A．
6．【答案】A
【分析】先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可.
【详解】解：∵在正方形内作等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故此题答案为A．
7．【答案】B
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是证明全等；
先证明全等，再根据选项确定即可；
【详解】∵和都是等边三角形，
即，
在和中，
，
，D正确；
，C正确；
当时，
故是的垂直平分线，故A正确；
故错误的为B，
故此题答案为B．
8．【答案】B
【分析】此题考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题关键是通过角边角证明三角形全等．
【详解】解：在中，，，
，
，，，
，
，
，
，
．
故此题答案为：B．
9．【答案】B
【分析】此题考查角平分线的性质，等角对等边，含角的直角三角形的性质，过点作于G，由角平分线的性质得，结合，可知，，则．
【详解】解：过点作于G，
∵平分，D是上一点，，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
故此题答案为B．
10．【答案】D
【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案；
【详解】解： ，
即：
在 和 中
，本选项正确；
为等腰直角三角形，
，本选项正确；
即：，本选项正确；
，本此选项正确；
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
11．【答案】C
【分析】此题考查垂直平分线性质，等腰三角形性质．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再利用等腰三角形性质及三角形周长可知当周长最小值时即为即可．
【详解】解：连接，
，
∵腰的垂直平分线分别交、于点E、F，
∴，
∵D为边的中点，
∴当点在上时，的周长最小，
∵等腰的底边长为6，面积是24，D为边的中点，
∴，，
∴的周长为：，
故此题答案为C．
12．【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等边三角形的性质与判定，由等腰三角形的性质可判断，由“”可证可判断，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可判断，由“”可证可判断，灵活运用性质是解题的关键．
【详解】解∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；故正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴点、都在线段的垂直平分线上，
∴直线垂直平分线段，故正确；
连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确，
故正确的有：，
故此题答案为．
13．【答案】A
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，三角形的内角和定理，解题关键是分类讨论思想．由是等腰三角形，可分为，，三种情况讨论即可求解．
【详解】，
，
，
，，
是等腰三角形，
当即（不符合题意，舍去），
或，
当时， ，
当时，.
故此题答案为A．
14．【答案】D
【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断A；证明△BEG≌△EDF，即可判断②；得到BG=EF，再由，得到∠A=∠BEG=∠EDF，即可判断③；证明△AEF≌△EGB得到AE=EG，则，即可判断④．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵，
∴∠BDE=∠ACB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，故①正确；
∵，
∴∠BEG=∠EDF，
又∵∠1=∠2，EB=DE，
∴△BEG≌△EDF（ASA），故②正确；
∴BG=EF
∵，
∴∠A=∠BEG=∠EDF，故③正确；
∵∠AED=∠1+∠EGB=∠2+∠AEF，
∴∠BGE=∠AEF，
又∵BG=EF，∠1=∠AFE，
∴△AEF≌△EGB（ASA），
∴AE=EG，
∴，故④正确，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
15．【答案】或或或
【分析】画出图形，分四种情况分别求解．
【详解】解：若，
则；
若，
则，
∴；
若，且三角形是锐角三角形，
则；
若，且三角形是钝角三角形，
则．
综上：的度数为或或或
16．【答案】6
【分析】如图，作PH⊥OB于H．由角平分线的性质定理推出PH＝PD＝3cm，再证明∠PCH＝30°即可解决问题．
【详解】解：如图，作PH⊥OB于H．
∵∠POA＝∠POB，PH⊥OB，PD⊥OA，
∴PH＝PD＝3cm，
∵PC∥OA，
∴∠POA＝∠CPO＝15°，
∴∠PCH＝∠COP+∠CPO＝30°，
∵∠PHC＝90°，
∴PC＝2PH＝6cm．
故此题答案为6．
【关键点拨】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
17．【答案】/115度
【分析】此题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形性质，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．根据的条件，求出的度数，再根据，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数．
【详解】，
，
，
，
又，
，
，
．
故此题答案为：．
18．【答案】 /60度 4
【分析】（1）根据题意得，由对称性可证得，有即可求得答案；
（2）延长至点P，使，则点F在线段上运动，当时，最短，且，即可求得答案．
【详解】解：（1）是等边三角形，且，
，
由题意知，在和中，
，
，
，
；
（2）延长至点P，使，如图，
由题意知，点F在线段上运动，
当时，最短，此时，
，
．
故此题答案为：，4．
【关键点拨】此题主要考查对称的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是熟练对称性和找最短距离．
19．【答案】①②④
【分析】由“AAS”可证△ACB≌△CED，可得AB=CD，BC=DE，可证AB+DE=BC+CD=BD，故①正确；由“SAS”可证△ABM≌△CDM，可得∠AMB=∠CMD，BM=DM，可证△BMD是等腰直角三角形，故②正确；由AE≠BD，可得△ACE与△BMD不全等，故③错误；由“ASA”可证△AMG≌△CMH，可得MG=MH，可求∠MGH=45°=∠MBD，可证，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵∠ABD=∠BDE=∠ACE=90°，
∴∠BCA+∠ECD=90°=∠BCA+∠BAC，
∴∠BAC=∠ECD，
又∵AC=CE， ∴△ACB≌△CED（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB+DE=BC+CD=BD，故①正确；
如图，连接MC，
∵AC=CE，∠ACE=90°，点M是AE的中点，
∴ AM=CM=ME，∠CAE=∠ACM=∠ECM=45°，
∴∠BAM=∠MCD，
又∵AB=CD， ∴△ABM≌△CDM（SAS），
∴∠AMB=∠CMD，BM=DM，
∴∠AMB+∠BMC=∠BMC+∠DMC=90°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，故②正确；
∵点C不是BD的中点，
∴BD≠2MC， ∴AE≠BD，
∴△ACE与△BMD不全等，故③错误；
∵△BMD是等腰直角三角形，
∴∠MBD=∠MDB=45°，
∵∠AMC=∠GMH=90°，
∴∠AMG=∠CMH，
又∵AM=CM，∠MAG=∠MCH，
∴△AMG≌△CMH（ASA），
∴MG=MH，
∴∠MGH=45°=∠MBD，
∴，故④正确；
故此题答案为：①②④．
【关键点拨】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．【答案】
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．证明，得到，等边对等角求出的度数即可．解题的关键是证明．
【详解】解：∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．【答案】详见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，先证明，再证明，可得，再结合等腰三角形的性质可得结论．
【详解】证明：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
22．【答案】见解析
【分析】此题考查等腰三角形判定的证明．
分析命题后用几何语言写出已知和求证，再进行证明．已知：如图，在中，．求证：．证明：作于点D，通过“”证明，即可解答．
【详解】已知：如图，在中，．
求证：．
证明：过点A作于点D，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
23．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据角平分线与垂直平分线的作图步骤一次作图即可；
（2）根据画图语言依次画图即可；
（3）由平分，可得，证明，可得，，证明，再结合角平分线的性质可得结论．
【详解】（1）解：如图，射线、直线即为所求
（2）如图，点E，D，线段即为所求．
（3）证明：过点D作于点T．
∵平分，，
∴，
∵垂直平分线段，，
∴，，
∵，∴，
∵，，平分，
∴，
∴．
【关键点拨】此题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，角平分线的性质与线段的垂直平分线的性质的应用，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的作角平分线与垂直平分线是解此题的关键．
24．【答案】(1)
(2)见详解
【分析】该题主要考查了三角形内角和以及等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点；
（1）根据三角形内角和以及角平分线求解即可；
（2）根据题意中结论设表示出即可证明
【详解】（1）解：根据题意，
是的平分线，
（2）根据题意，
是的平分线，
设
25．【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了等边三角形性质和全等三角形判定与性质，
（1）由等边三角形性质可得，，结合已知利用边角边即可证明，由此得出结论．
（2）由可得，再由三角形外角性质可得．
【详解】（1）解：；
理由如下：
∵为等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，，得出，证出，即可得出
（2）得出，再由，得，即可证出结论
【详解】（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，，，
∵.，即，
在和中, ，，
∴
∴
（2）延长分别交和于G和F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∵，
∵，
∴，
∴
【关键点拨】此题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键
27．【答案】(1)；
(2)是等边三角形，理由见解析．
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是此题的关键．
（1）由“”可证，可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
的长度为；
（2）解：是等边三角形，
理由如下：由（1）知：，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
28．【答案】(1)①；②证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定等等：
（1）①先求出，再由三线合一定理得到，由，得到，则，设，则，可求出，则；②如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，由角平分线的性质得到，证明，得到，利用三角形内角和定理证明，得到，即可证明为等腰三角形；
（2）如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，同理得到，求出，得到，证明，得到，则，即：，由此可得．
【详解】（1）解：①∵为等腰三角形，，，
∴，
∵是边上的高，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：，证明如下：
如图，过点分别作，的垂线，垂足分别记作点，，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∵，，
∴，且，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
29．【答案】(1)见解析；
(2)等边三角形，见解析；
(3)6
【分析】（1）证明≌（AAS），即可得到结论；
（2）证明△AOC和△BOD都是等边三角形，得到∠CAO=∠BDO=，求得∠AQD=，即可得到△AQD是等边三角形；
（3）在AQ上取点H，使QH=QB，连接DH，证明△QHD≌△QBA（SAS），得到HD=BA，由（1）可知△AOB≌△COD，得到AB=CD，推出HD=CD，由（2）可知，当时，求出∠Q=4，由此推出QG=DG=5，HQ=QB=4，即可求出QC．
【详解】（1）解：在和中，
，
∴≌（AAS），
∴OB=OD；
（2）解：△AQD是等边三角形，
理由：∵，
∴∠AOC=∠BOD=，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠CAO=∠BDO=，
∴QA=QD，
∴△AQD是等边三角形；
（3）解：如图，在AQ上取点H，使QH=QB，连接DH，
∵QD=QA，∠Q=∠Q，QH=QB，
∴△QHD≌△QBA（SAS），
∴HD=BA，
由（1）可知△AOB≌△COD，
∴AB=CD，
∴HD=CD，
由（2）可知，当时，∠OAC=∠ODB=，
∴∠Q=4，
∵DG⊥AQ，
∴QG=DG=5，
∵HD=CD，
∴CG=GH，
∵QB=4，
∴HQ=4，
∴HG=CG=1，
∴QC=CG+GH+QH=4+1+1=6．
【关键点拨】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
考点二 等腰三角形
1．【答案】A
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、角的和差等知识点，根据等腰三角形的性质求得是解题的关键．
先根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后再运用角的和差即可解答．
【详解】解：∵，D是的中点，
∴,
∴．
故此题答案为A．
2．【答案】B
【分析】根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为．
3．【答案】D
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形，
当为底时，为等腰三角形，
满足条件的点共有个，
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键．
5．【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，根据角平分线的性质，得到，再由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
是的角平分线，，
，
点D到的距离为3，
，
在中，，
，
，
故此题答案为C．
6．【答案】D
【分析】此题考查了等边三角形的三线合一性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的三线合一性质．
根据等边三角形的三线合一性质求解即可．
【详解】∵在等边中，是边上的中线，
∴是的平分线，
∴．
故此题答案为D．
7．【答案】C
【分析】此题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由点与点关于直线对称，得到 ，，再由等边三角形的性质和三角形内角和定理求得 ，然后由，即，即可求解，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点关于直线的对称点，
∴为的中垂线，
∴，，
∴，
∵等边，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为：．
8．【答案】B
【分析】此题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解此题的关键；先画出图形，结合网格特点可得：，，在的东北方向，在A的南偏东的方向，再画等边三角形，从而可得答案．
【详解】解：如图，
由网格特点可得：，，在的东北方向，
在A的南偏东的方向，
在网格中画等边三角形，，连接并延长，
∴，
∴点可能的位置是图中的，
故此题答案为B
9．【答案】D
【分析】本题解题的关键是注意分为腰长和底边两种情况分类讨论．
【详解】解：如下图，
分情况讨论，①为等腰底边时，符合条件的C点有6个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个，
故本题答案为D．
10．【答案】B
【分析】根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，
∴根据两点之间线段最短可得，的值最小，
∴四边形的周长最小值为：，
∵在中，，，即是等腰直角三角形，
∴，
在中，
∵，
∴，
根据对顶角的性质可得，，，
根据对称的性质可得，，，，，
∴，，
在，中，
∵，，
∴
，
∴当四边形的周长最小时，的大小是，
故此题答案为．
11．【答案】B
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，解答的关键是证明三角形全等；
根据，得出即即可判断①正确；结合与均为等腰直角三角形，可证明即可得出根据即可判断出故②正确；根据是线段的中点，`得出，即可判断③正确；三角形三边关系可得即可判断出④错误；
【详解】解：与均为等腰直角三角形，，
故①正确；
在与中
故②正确；
点是线段的中点，
故③正确；
故④错误；
故此题答案为B．
12．【答案】
【详解】解：如图，连接，，过A作于，
点关于的对称点恰好落在上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
四边形中，，
，
.
13．【答案】30
【分析】由题意得是等腰三角形，则可求得的度数；同理可求得的度数，由即可求解．
【详解】解：正方形中，，
为等边三角形，
，
，，
，
同理，，
．
14．【答案】6
【分析】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，进一步可得的长．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为：6．
15．【答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了全等三角形判定定理，根据已知一角一边相等，可添加相等角的另一边相等，求解即可．
【详解】添加条件为：；
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
故此题答案为：．
16．【答案】20°
【分析】先判断出∠BAD=140°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，
∴∠BAD=140°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为140°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B= (180° ∠BAD)=20°，
故此题答案为20°
【关键点拨】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于判断出△BAD是等腰三角形
17．【答案】(1)，；(2)；(3)7
【分析】（1）依据线段A1B1与线段AB关于y轴对称，即可得到线段A1B1，并得到A1、B1的坐标；
（2）利用等腰三角形的定义，并结合轴对称的性质，找到一点C即可；
（3）依据点C在坐标轴上，且△ABC是等腰△ABC，即可得出所有符合条件的C点．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求，、；
故此题答案为：；；
（2）解：如图所示，使成为等腰三角形，点；
故此题答案为：；
（3）解：如图所示，分别以点A、B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交，得到5个交点，过两圆交点画直线与坐标轴相交，得到2个交点，则点C在坐标轴上，且满足ΔABC是等腰三角形的C点有7个．
【关键点拨】此题考查了作图轴对称变换，几何图形都可看作是由点组成，解题的关键是我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
18．【答案】/度
【分析】此题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，三角形外角的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．由边三角形的性质得到，由多边形内角和得出，再利用三角形外角的性质，即可求出的大小．
【详解】解：是正三角形，
，
正五边形的内角和为，
，
是的外角，
，
，
故此题答案为：．
19．【答案】
【分析】此题主要考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，先得出，则，进而得出，即可解答．
【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为点C，
∵中，
∴，
∵，
∴，
∵点A的横坐标为1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点B的坐标为，
故此题答案为：．
20．【答案】(1)2
(2)②④
【分析】（1）当 时，首先证明 为等腰直角三角形，易得 ，再结合等边三角形的性质即角平分线的定义可得 ，然后根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得 ，即可求得 的值；
（2）给定条件无法确定 ，故无法确定点 一定在 的垂直平分线上，结论①不正确；连接 ，由垂直平分线的性质可得 ，再证明 ，由全等三角形的性质可得 ，进而可得 ，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明点 是线段 的中点，故结论②正确；当 时，可确定 ，故此时 不成立，结论③不正确；证明 ，而 ，易得 ，即点 运动过程中， 的大小始终不变，故结论④正确．
【详解】（1）解：如下图，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ,
故此题答案为：2；
（2）若点 一定在 的垂直平分线上，
则有 ，而题目条件无法确定 ，故结论①不正确；
连接 ，如下图，
∵点 在 的垂直平分线上，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即点 是线段 的中点，故结论②正确；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故此时 不成立，结论③不正确；
如下图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即点 运动过程中， 的大小始终不变，故结论④正确．
故此题答案为：②④．
【关键点拨】此题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，综合性较强，综合运用相关知识是解题关键．
21．【答案】（1）等边三角形； （2）
【分析】（1）根据等边三角形的判定方法进行解答即可；
（2）在上取点F，使，连接，，证明，得出，证明，得出点D在过点F且与平行的直线上，过点C作于点G，根据垂线段最短，得出当点D与点G重合时，最小，根据勾股定理和直角三角形的性质，求出结果即可．
【详解】（1）根据旋转可知，，
∵，
∴为等边三角形；
（2）在上取点F，使，连接，，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D在过点F且平行于的直线上，
过点C作于点G，
∵垂线段最短，
∴当点D与点G重合时，最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【关键点拨】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，垂线段最小，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
22．【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质与证明，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与证明是解题的关键；
根据等角对等边得出，再根据“”证，即可得出结论；
【详解】证明：在中，，
．
在和中，
．
．
23．【答案】见解析
【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定和等边三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，再由全等三角形的性质证明，即可证明结论．
【详解】证明：是等边三角形，等边，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】(1)见详解；
(2)；；在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余得到，由角平分线定义得．则．由等角对等边得到．则根据直角三角形的性质得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．
（2）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）．
∴．
故本题答案为；；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
25．【答案】画图见解析，；
【分析】此题考查了尺规作图，等边三角形的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据作法补全图形即可；首先证明出为等边三角形，然后得到，，然后根据角平分线定义可求出，即可得证．
【详解】解：画图如图，
证明：∵，
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
故此题答案为：，．
26．【答案】（1）见解析；（2）QB，三线合一
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．
（2）理由：连接QA，QB．
∵QA=QB，PA=PB，
∴PQ⊥l（三线合一）．
故此题答案为：QB，三线合一．
【关键点拨】此题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27．【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，非负数的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）先把配方得出，然后根据等边三角形的判定即可得证；
（2）利用等腰三角形三线合一的性质可得，，然后利用直角三角形中角的性质可得，从而得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：
理由：∵等边的中线，交于点O，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．【答案】见解析
【分析】此题主要考查轴对称在生活中的应用，涉及轴对称的性质，等腰三角形的性质等，作点M关于的对称点，连接交于点P，根据垂直平分，可得，，根据等腰三角形三线合一可得，结合，即可证明．
【详解】解：如图，作点M关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求；
证明：点与点M关于对称，
垂直平分，
，，
，
，
，即．
29．【答案】(1)见解析
(2)选择图2：①补全图形见解析，②猜想．证明见解析
【分析】（1）根据题意得，由旋转的性质得是等边三角形，即可证明；
（2）①根据旋转和题目要求补全图；②猜想．过点A作于点，连接，则有、和，根据题意有，由（1）可知是等边三角形，即可证得，即可证明猜想．
【详解】（1）证明，，，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形．
，
，
则；
（2）选择图2：
①补全图形如图所示：
②猜想．
如图，过点A作于点，连接，
则，
，，
，，
，
为线段中点，
，
．
由（1）可知是等边三角形，
，，
，
在利中，
，
．
【关键点拨】此题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质，并利用等边三角形性质证明全等．
30．【答案】（）是；（）图见解析；（）图见解析 ；（）图见解析，的值为或．
【分析】（）根据新定义画出图形即可判断；
（）根据新定义画出图形即可求解；
（）根据新定义画出图形即可求解；
（）根据新定义画出图形即可求解；
此题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键．
【详解】解（1）如图，可以分割成两个小的等腰三角形，
∴是“可两分三角形”，
故此题答案为：是；
（）如图所示；
（）如图所示；
（）如图所示，
由图可得的值为或．
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专项复习提升（三） 轴对称
考点一 线段的垂直平分线的性质与判定
1．（2024北京北京五中·月考）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长是( )
A．13 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+BA＝18．
故此题答案为C．
2．（2024北京北京师范大学附属中学·期中）如图，在△ABC中，的垂直平分线交，于点，．若△ABC的周长为30，，则△ABD的周长为（ ）
A．10 B．15
C．20 D．25
【答案】C
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长=AB+AC即可解决问题．
【详解】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，BE=5，
∴DB=DC，BE=EC，BC=10，
∵BC=10，△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC=30，
∴AB+AC=20，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=20，
故此题答案为C．
3．（2024北京北京市第十四中学分校·期中）如图，在△中，的垂直平分线分别交，于点，．若△的周长为22，，则△的周长为
A．14 B．18 C．20 D．26
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
△的周长为22，
，
，
△的周长，
故选A．
4．（2024北京·期末）如图，在中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由和可得，点D在线段的垂直平分线上，因此这道题就转化成了作线段的垂直平分线，与的交点即为点D．
【详解】∵，而，
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上，
即点D为线段的垂直平分线与的交点．
观察四个选项，D选项符合题意，
故此题答案为D．
5．（2024北京北京市第十四中学分校·期中）下列尺规作图，能确定是的中线的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】要确定中线，首先确定中点，再连接即可．
【详解】解：根据作图方法可得选项中为中点，则为的中线，
故选：A．
6．（2024北京北京师范大学附属中学·期中）下面是“作的外接圆”的尺规作图方法．
（1）如图，分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，分别在直线两侧交于D，E两点，作过点D和点E的直线；（2）分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，分别在直线两侧交于F，G两点，作过点F和点G的直线；（3）直线和直线相交于点O；（4）以点O为圆心，以长为半径作出的外接圆．
上述方法由，得到，从而知经过A，B，C三点．其中获得的依据是（ ）
A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
B．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
C．角平分线上的点到角的两边的距离相等
D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
【答案】A
【详解】解：由作图可知直线是线段的垂直平分线，
则的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，
故此题答案为A．
7．（2024北京北京理工大学附中·期中）如图，线段的一个端点在直线上，直线上存在点，使△为等腰三角形，这样的点有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【分析】分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图：
分三种情况：
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，，
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，
当时，作的垂直平分线交直线于点，
综上所述：使△为等腰三角形，这样的点有4个，
故选：．
8．（2024北京北京理工大学附中·期中）如图，某市的三个城镇中心，，构成△，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心，，的距离相等，则点应设计在
A．三个角的角平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：体育中心到城镇中心，的距离相等，
，
点在线段的垂直平分线上，
同理，点在线段的垂直平分线上，
点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选：．
9．（2024北京北京东中·月考）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【分析】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心
【详解】解：如图，
∵绕某点旋转一定的角度，得到，
∴连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B，
故此题答案为B．
10．（2024北京北京理工大学附中·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
故此题答案为B．
11．（2024北京北京东中·期中）已知，直角坐标系中，点A在y轴上，轴于点C，点A关于直线的对称点D恰好在上，点E与点O关于直线对称，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线的性质，直角三角形两锐角互余，轴对称的性质．先根据平行线的性质求出的度数，由直角三角形的性质得出的度数，证明是线段的垂直平分线，以及是的垂直平分线，故可得出．
【详解】解：连接，
∵轴于点C，，
∴，
∴，．
∵点A关于直线的对称点D恰好在上，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
∵点E与点O关于直线对称，
∴是的垂直平分线，
∴．
故此题答案为：D．
12．（2024北京北京师范大学附属实验中学分校·期中）如图，直线，，，分别表示三条互相交叉的公路，交点分别记为A，B，C，现要建一个加油站，使它到三个交点的距离相等，加油站的位置应该选在（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高所在直线的交点
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定加油站的位置．
【详解】解：∵加油站到点A，B，C的距离相等，
∴加油站为、、的垂直平分线的交点．
故此题答案为：B．
【关键点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
13．（2024北京北京交通大学附属中学·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点D，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据三角形内角和定理列式计算，得，又因为平分，所以，即可作答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
则，
故选：A
【关键点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
14．（2024北京北京市一零一中学·期中）如图， 是 的边 的垂直平分线， 为垂足， 交 于点 ，且 ，则 的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出 ，进而得出答案．
【详解】解：∵ 是 的边 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长是 ．
故此题答案为B．
15．（2024北京北京师范大学附属中学·期中）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ．
【答案】/36度
【分析】连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出．
【详解】解：连接、，如图，设，
由作法得垂直平分，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
解得，
．
16．（2024北京·期末）如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是
【答案】/度
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数．
【详解】解：点是的垂直平分线与的交点，
，
，
，，
将沿着翻折得到，
，
．
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
17．（2024北京北京35中·期中）如图，在长方形的对称轴上找点，使得、、、均为等腰三角形，则满足条件的点有 个．
【答案】5
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，对称轴上的点到轴对称图形上对应点的距离相等进行求解是解题的关键．
【详解】解：①如图，作或的垂直平分线交l于点P，P点即满足条件；
②在l上作点P，使，如图1，同理在l上作点P使，如图2，P点即满足条件；
③在l上作点P，使，如图3，同理在l上作点P使，如图4，P点即满足条件；
综上，可知满足条件的P点有5个，
故此题答案为：5．
18．（2024北京北京市第十九中学·期中）数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．
小路的作法如下：
① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
② 连结AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP= ， （依据： ）；
∴ ∠ABC= ， （依据： ）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
【答案】尺规作图见解析；BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角.
【分析】按照线段垂直平分线的作图方法作出AB的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可.
【详解】如图，
∵ PQ是AB的垂直平分线
∴ AP=BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；
∴ ∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）．
∴ ∠APC=2∠ABC．
【关键点拨】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
19．（2024北京·期末）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)在网格中画出关于直线l对称的．（要求：A与，B与，C与是对称点）；
(2)若直线l和线段相交于点M，线段，则线段________；
(3)的面积是________．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)5
【分析】此题考查了作图轴对称变换，轴对称的性质，割补法求三角形面积，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C关于直线l的对称点即可；
（2）根据对称的性质求解即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）∵点A和点关于直线l对称
∴；
（3）的面积．
20．（2024北京·期中）某地区要在区域S内（即∠COD内部） 建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市M建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可．
【详解】如图所示，点M就是所要求作的建立超市的位置．
21．（2024北京·期末）如图，在中，，．
(1)作线段的垂直平分线交于点，交于点，要求：不写作法，保留作图痕迹；
(2)连接，则的度数为______．
【答案】(1)作图见解析；
(2)．
【分析】（）分别以点为圆心，相同的长度为半径画弧，前后弧相交于两点，过这两点作直线，直线即为所求；
（）由垂直平分线的性质得到，进而得到，由，，得到，利用角的和差关系即可求解；
此题考查了作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故此题答案为：．
22．（2024北京北京市和平街第一中学·期中）《几何原本》在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”
(1)请补全上述命题的证明．
已知：如图，在中，．
求证：
证明：如图，过点作边的垂线，垂足为，以为圆心，长为半径在线段边上截取，连接．（用无刻度的直尺和圆规补全图形，保留作图痕迹）
∵，
∴垂直平分，
∴，（__________________）（填推理的依据）
∴，
∵是的外角，
∴，（__________________）（填推理的依据）
∴，
∴．
(2)请再设计一种证明的方法，画出图形（不要求尺规作图），并简要说明理由．
【答案】(1)线段垂直平分线上的点线段两端的距离相等；；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和
(2)见解析
【分析】（1）根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可；
（2）以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接．再利用等腰三角形的性质及外角的性质证明即可．
【详解】（1）证明：如图，过点作边的垂线，垂足为，以为圆心，长为半径在线段边上截取，连接．（用无刻度的直尺和圆规补全图形，保留作图痕迹）
∵，
∴垂直平分，
∴，（线段垂直平分线上的点线段两端的距离相等）（填推理的依据）
∴，
∵是的外角，
∴，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）（填推理的依据）
∴，
∴．
（2）证明：如图，由于，以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接．
，
，
是的外角，
．，
，
．
23．（2024北京·期中）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ ，( )（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ ，( )（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【答案】（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC； 等边对等角．
【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．
（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．
【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；
(2)解：证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ DB ，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
24．（2024北京北京师范大学附属实验中学分校·期中）如图，射线平分．
(1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交射线于点，连接，．（保留作图痕迹）
(2)请把以下解题过程补充完整：
求证：．
证明：在上截取，连接．
平分，
，
在与中，
（②），
，，
点在线段的垂直平分线上，
（③），
，
（④），
点在射线上，
，
，
【答案】(1)见解析
(2)；；线段垂直平分线的性质；等边对等角
【分析】（1）按题意作出图形即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定，逐步填写推理过程与推理依据即可．
【详解】（1）解：如图；
．
（2）证明：在上截取，连接．
平分，
，
在与中，
，
，，
点在线段的垂直平分线上，
（线段垂直平分线的性质），
，
（等边对等角），
点在射线上，
，
.
考点二 等腰三角形
1．（2024北京·期末）如图，在中，，D是的中点，在的延长线上取点E，连接，若，，则为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、角的和差等知识点，根据等腰三角形的性质求得是解题的关键．
先根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后再运用角的和差即可解答．
【详解】解：∵，D是的中点，
∴,
∴．
故此题答案为A．
2．（2024北京景山学校·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为．
3．（2024北京·期末）如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形，
当为底时，为等腰三角形，
满足条件的点共有个，
故此题答案为D．
4．（2024北京·期末）如图，在中，，，，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键．
5．（2024北京·期末）如图，在中，，，是的角平分线．若点D到的距离为3，则的长为（ ）
A．12 B．7.5 C．9 D．6
【答案】C
【分析】此题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，根据角平分线的性质，得到，再由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
是的角平分线，，
，
点D到的距离为3，
，
在中，，
，
，
故此题答案为C．
6．（2024北京·期末）如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了等边三角形的三线合一性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的三线合一性质．
根据等边三角形的三线合一性质求解即可．
【详解】∵在等边中，是边上的中线，
∴是的平分线，
∴．
故此题答案为D．
7．（2024北京·期末）如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由点与点关于直线对称，得到 ，，再由等边三角形的性质和三角形内角和定理求得 ，然后由，即，即可求解，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点关于直线的对称点，
∴为的中垂线，
∴，，
∴，
∵等边，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为：．
8．（2024北京·期末）如图，在正方形网格中有A，两点，点在点A的南偏东方向上，且点在点的东北方向上，则点可能的位置是图中的（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
【答案】B
【分析】此题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解此题的关键；先画出图形，结合网格特点可得：，，在的东北方向，在A的南偏东的方向，再画等边三角形，从而可得答案．
【详解】解：如图，
由网格特点可得：，，在的东北方向，
在A的南偏东的方向，
在网格中画等边三角形，，连接并延长，
∴，
∴点可能的位置是图中的，
故此题答案为B
9．（2024北京·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【答案】D
【分析】本题解题的关键是注意分为腰长和底边两种情况分类讨论．
【详解】解：如下图，
分情况讨论，①为等腰底边时，符合条件的C点有6个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个，
故本题答案为D．
10．（2024北京·期末）如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（ ）．
A．45° B．90° C．75° D．135°
【答案】B
【分析】根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，
∴根据两点之间线段最短可得，的值最小，
∴四边形的周长最小值为：，
∵在中，，，即是等腰直角三角形，
∴，
在中，
∵，
∴，
根据对顶角的性质可得，，，
根据对称的性质可得，，，，，
∴，，
在，中，
∵，，
∴
，
∴当四边形的周长最小时，的大小是，
故此题答案为．
11．（2024北京·期末）如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点A，重合），连接，．
给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，解答的关键是证明三角形全等；
根据，得出即即可判断①正确；结合与均为等腰直角三角形，可证明即可得出根据即可判断出故②正确；根据是线段的中点，`得出，即可判断③正确；三角形三边关系可得即可判断出④错误；
【详解】解：与均为等腰直角三角形，，
故①正确；
在与中
故②正确；
点是线段的中点，
故③正确；
故④错误；
故此题答案为B．
12．（2024北京·期末）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）
【答案】
【详解】解：如图，连接，，过A作于，
点关于的对称点恰好落在上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
四边形中，，
，
.
13．（2024北京·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ．
【答案】30
【分析】由题意得是等腰三角形，则可求得的度数；同理可求得的度数，由即可求解．
【详解】解：正方形中，，
为等边三角形，
，
，，
，
同理，，
．
14．（2024北京·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E，F．当时，的长为 ．
【答案】6
【分析】此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，可得，进一步可得的长．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为：6．
15．（2024北京·期末）如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了全等三角形判定定理，根据已知一角一边相等，可添加相等角的另一边相等，求解即可．
【详解】添加条件为：；
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
故此题答案为：．
16．（2024北京北京汇文·期末）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为 ．
【答案】20°
【分析】先判断出∠BAD=140°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，
∴∠BAD=140°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为140°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B= (180° ∠BAD)=20°，
故此题答案为20°
【关键点拨】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于判断出△BAD是等腰三角形
17．（2024北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接．
(1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，写出、的坐标： ， ；
(2)写出一个点的坐标，使成为等腰三角形， ， ；
(3)已知点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 个．
【答案】(1)，；(2)；(3)7
【分析】（1）依据线段A1B1与线段AB关于y轴对称，即可得到线段A1B1，并得到A1、B1的坐标；
（2）利用等腰三角形的定义，并结合轴对称的性质，找到一点C即可；
（3）依据点C在坐标轴上，且△ABC是等腰△ABC，即可得出所有符合条件的C点．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求，、；
故此题答案为：；；
（2）解：如图所示，使成为等腰三角形，点；
故此题答案为：；
（3）解：如图所示，分别以点A、B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交，得到5个交点，过两圆交点画直线与坐标轴相交，得到2个交点，则点C在坐标轴上，且满足ΔABC是等腰三角形的C点有7个．
【关键点拨】此题考查了作图轴对称变换，几何图形都可看作是由点组成，解题的关键是我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
18．（2024北京·期末）在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点F、G在边上，点E、H分别在边、上，则的大小是 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了等边三角形的性质，多边形内角和，三角形外角的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键．由边三角形的性质得到，由多边形内角和得出，再利用三角形外角的性质，即可求出的大小．
【详解】解：是正三角形，
，
正五边形的内角和为，
，
是的外角，
，
，
故此题答案为：．
19．（2024北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在x轴上，，若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，先得出，则，进而得出，即可解答．
【详解】解：过点A作x轴的垂线，垂足为点C，
∵中，
∴，
∵，
∴，
∵点A的横坐标为1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点B的坐标为，
故此题答案为：．
20．（2024北京·期末）如图， 是等边三角形．点 是 延长线上的一个动点，连接 ，点 在 的垂直平分线上，且 平分 ，连接 ， ，过点 作 于点 ．
(1)当 时， 的值为___；
(2)给出下面四个结论：
①点 一定在 的垂直平分线上；
②点 一定是线段 的中点；
③当 时， ；
④点 运动过程中， 的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是_______．
【答案】(1)2
(2)②④
【分析】（1）当 时，首先证明 为等腰直角三角形，易得 ，再结合等边三角形的性质即角平分线的定义可得 ，然后根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得 ，即可求得 的值；
（2）给定条件无法确定 ，故无法确定点 一定在 的垂直平分线上，结论①不正确；连接 ，由垂直平分线的性质可得 ，再证明 ，由全等三角形的性质可得 ，进而可得 ，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明点 是线段 的中点，故结论②正确；当 时，可确定 ，故此时 不成立，结论③不正确；证明 ，而 ，易得 ，即点 运动过程中， 的大小始终不变，故结论④正确．
【详解】（1）解：如下图，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ,
故此题答案为：2；
（2）若点 一定在 的垂直平分线上，
则有 ，而题目条件无法确定 ，故结论①不正确；
连接 ，如下图，
∵点 在 的垂直平分线上，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即点 是线段 的中点，故结论②正确；
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故此时 不成立，结论③不正确；
如下图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即点 运动过程中， 的大小始终不变，故结论④正确．
故此题答案为：②④．
【关键点拨】此题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，综合性较强，综合运用相关知识是解题关键．
21．（2024北京·期末）如图，在等边中，，点O在上，且，点E是边上一动点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，且．
（1）连接，则的形状为 ；
（2）当点E在边上运动时，连接，则的最小值为 ．
【答案】（1）等边三角形； （2）
【分析】（1）根据等边三角形的判定方法进行解答即可；
（2）在上取点F，使，连接，，证明，得出，证明，得出点D在过点F且与平行的直线上，过点C作于点G，根据垂线段最短，得出当点D与点G重合时，最小，根据勾股定理和直角三角形的性质，求出结果即可．
【详解】（1）根据旋转可知，，
∵，
∴为等边三角形；
（2）在上取点F，使，连接，，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D在过点F且平行于的直线上，
过点C作于点G，
∵垂线段最短，
∴当点D与点G重合时，最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【关键点拨】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，垂线段最小，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
22．（2024北京·期末）如图，在中，，点，在边上，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质与证明，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与证明是解题的关键；
根据等角对等边得出，再根据“”证，即可得出结论；
【详解】证明：在中，，
．
在和中，
．
．
23．（2024北京·期末）如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边，点、点在直线两侧，连接．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定和等边三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，再由全等三角形的性质证明，即可证明结论．
【详解】证明：是等边三角形，等边，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（2024北京·期末）如图，在中，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的平分线交于点D，点D即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵，
∴_________．
∵平分，
∴．
∴．
∴_________．
在中，，
∴（____________________________________________）（填推理依据）．
∴．
【答案】(1)见详解；
(2)；；在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余得到，由角平分线定义得．则．由等角对等边得到．则根据直角三角形的性质得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．
（2）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．）．
∴．
故本题答案为；；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
25．（2024北京·期末）尺规作图“三等分角”是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家证明是不可能的．热爱数学的小明同学设计了一个用尺规三等分角的方案，老师认为他的想法是正确的．请你根据小明的做法补全图形，并帮助小明完善证明过程．
已知：．
求作：射线、，使得．
作法：
①在射线上取一点M，分别以点O、点M为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，画射线；
②作的平分线．
射线、为所求作射线．
证明：∵ ，
∴为等边三角形．
∴ ．
∵，
∴．
∵OD平分，
∴．
∴．
【答案】画图见解析，；
【分析】此题考查了尺规作图，等边三角形的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据作法补全图形即可；首先证明出为等边三角形，然后得到，，然后根据角平分线定义可求出，即可得证．
【详解】解：画图如图，
证明：∵，
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
故此题答案为：，．
26．（2024北京·期末）下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得．
作法：如图，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵______，，
∴（______）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）QB，三线合一
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．
（2）理由：连接QA，QB．
∵QA=QB，PA=PB，
∴PQ⊥l（三线合一）．
故此题答案为：QB，三线合一．
【关键点拨】此题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27．（2024北京·期末）已知：如图，在中，，设，，如果．
(1)求证：是等边三角形；
(2)的中线，交于点O，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，非负数的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）先把配方得出，然后根据等边三角形的判定即可得证；
（2）利用等腰三角形三线合一的性质可得，，然后利用直角三角形中角的性质可得，从而得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：
理由：∵等边的中线，交于点O，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．（2024北京·期末）台球技艺中包含了许多物理、数学的知识．图1是台球桌面的一部分，由于障碍球E的阻挡，击球者想通过正面击打主球M，使其撞击台球桌边框（仅碰撞一次），经过一次反弹后正面撞击到目标球F．球的反弹路径类似于光的反射光路．台球桌面抽象为长方形，球抽象为点，如图2，请在边上作出撞击点P，使得，并用数学知识进行证明．
锦囊：某同学阅读理解题意后，先画了一个草图（如图3）进行分析，发现“要保证，只需保证即可”．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查轴对称在生活中的应用，涉及轴对称的性质，等腰三角形的性质等，作点M关于的对称点，连接交于点P，根据垂直平分，可得，，根据等腰三角形三线合一可得，结合，即可证明．
【详解】解：如图，作点M关于的对称点，连接交于点P，点P即为所求；
证明：点与点M关于对称，
垂直平分，
，，
，
，
，即．
29．（2024北京·期末）在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：；
(2)当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：
①依题意，补全图形．
②猜想的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)选择图2：①补全图形见解析，②猜想．证明见解析
【分析】（1）根据题意得，由旋转的性质得是等边三角形，即可证明；
（2）①根据旋转和题目要求补全图；②猜想．过点A作于点，连接，则有、和，根据题意有，由（1）可知是等边三角形，即可证得，即可证明猜想．
【详解】（1）证明，，，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形．
，
，
则；
（2）选择图2：
①补全图形如图所示：
②猜想．
如图，过点A作于点，连接，
则，
，，
，，
，
为线段中点，
，
．
由（1）可知是等边三角形，
，，
，
在利中，
，
．
【关键点拨】此题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质，并利用等边三角形性质证明全等．
30．（2024北京·期末）【阅读学习】
阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”．
（）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”）
（）画图和计算：
下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数．
阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”．
（）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值．
【答案】（）是；（）图见解析；（）图见解析 ；（）图见解析，的值为或．
【分析】（）根据新定义画出图形即可判断；
（）根据新定义画出图形即可求解；
（）根据新定义画出图形即可求解；
（）根据新定义画出图形即可求解；
此题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键．
【详解】解（1）如图，可以分割成两个小的等腰三角形，
∴是“可两分三角形”，
故此题答案为：是；
（）如图所示；
（）如图所示；
（）如图所示，
由图可得的值为或．
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