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专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法及乘法公式
1．（2024北京·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024北京·期末）下列多项式中，完全平方式有（ ）个
，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024北京·期末）已知可以写成一个完全平方式，则可为( )
A．4 B．8 C．16 D．
4．（2024北京·期末）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．6 D．13
5．（2024北京·期末）如图，某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为的甬道，其余部分种草，则甬道所占的面积（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024北京·期末）设是实数，定义一种新运算，下面有四个推断：
① ②
③ ④，其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
7．（2024北京·期末）将边长为a的正方形的右下角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，再将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），由图1到图2的操作，能够验证下列等式中从左到右的变形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024北京·期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（ ）注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．
A． B．
C． D．
9．（2024北京·期末）如果（，m，n是正整数），那么m n．（填写“>”，“=”，“<”）
10．（2024北京·期末）计算： ．
11．（2024北京·期末）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值是 ．
12．（2024北京·期末）当时，代数式的值为 ．
13．（2024北京·期末）已知二次三项式是完全平方式，其中m是一次项系数．则m的所有取值是 ．
14．（2024北京·期末）如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 （用含a，b的式子表示）．
15．（2024北京·期末）某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ．
账号：shu xue le yuan密码
16．（2024北京·期末）计算：
(1)
(2)
17．（2024北京·期末）已知，求代数式的值．
18．（2024北京·期末）先化简，再求值：，其中， ．
19．（2024北京·期末）计算下列各题．
(1)先化简，再求值：，其中，．
(2)已知，求代数式的值．
20．（2024北京·期末）根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容．
a．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算：
，，，；
b．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：
算式：________①___________；
c．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以______②_______作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位；
d．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律：
如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为_______③_______，上述规律可以表示为_________④_________（用含，的式子表示）；
e．他们尝试对这个规律进行证明：________⑤___________．
考点 二 因式分解
1．（2024北京·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024北京·期末）把分解因式，结果正确的是（ ）.
A． B． C． D．
3．（2024北京·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023北京·期末）下列四个多项式中，不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023北京育英中学·期末）用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022北京·期末）若多项式可以分解因式为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023北京·期末）在多项式中，各项的公因式是 ．
8．（2023北京·期末）请你写出一个整式A，使得多项式能因式分解，这个整式A可以是 ．
9．（2024北京·期末）分解因式： ___________________________.
10．（2024北京·期末）分解因式： .
11．（2023北京·期末）已知，，则 ．
12．（2023北京·期末）如果，那么的值是 ．
13．（2023北京·期末）已知长方形的长和宽分别为a、b，且长方形的周长为10，面积为6，则的值为 ．
14．（2024北京·期末）“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”例如11，343等．
（1）在所有三位数中，“回文数”共有 个；
（2）任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数(1除外)．
15．（2024北京·期末）分解因式：
(1)；(2)．
16．（2022北京·期末）学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，
下面是小亮同学的因式分解过程：
①
②
③
回答下面的问题：
(1)①完成了上面流程图的第 步；
(2)②完成了上面流程图的第 步；
(3)将③的结果写在横线上 ．
17．（2023北京·期末）观察下列算式，完成问题：
算式①：
算式②：
算式③：
算式④：
……
(1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤： ；
(2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为和（为整数），请证明上述命题成立；
(3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例．
18．（2022北京·期末）在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：．
请你解答下面的问题：
(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式： ；
(2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形ABCD，请你分析这个长方形的长和宽．
19．（2023北京·期末）小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，则当或时原多项式的值为0，因此定义和为多项式的0值，和的平均值为轴值．例：或时，则和为的0值，3和的平均值1为的轴值．
(1)的0值为 ，轴值为 ；
(2)若的0值只有一个，则 ，此时0值与轴值相等；
(3)的0值为，轴值为m，则 ，若的0值与轴值相等，则 ．
20．（2024北京·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
参考答案
考点一 整式的乘法及乘法公式
1．【答案】A
【分析】运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点逐项判断即可解答．
【详解】解：A. ，故A选项计算正确，符合题意；
B. ，故B选计算错误，不符合题意；
C. ，故C选计算错误，不符合题意；
D. ，故D选计算错误，不符合题意．
故此题答案为A．
2．【答案】A
【分析】根据完全平方式的性质：，可得出答案．
【详解】解：，是完全平方公式，
，，，不是完全平方公式，
故此题答案为：A．
【关键点拨】此题考查完全平方式，熟记完全平方式的形式，找出公式中的和是解题的关键．
3．【答案】C
【详解】∵可以写成一个完全平方式，
∴x2-8x+a=(x-4)2，
又（x-4）2=x2-8x+16，
∴a=16，
故此题答案为C．
4．【答案】D
【分析】此题考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想解决问题是关键．．由已知可知，再将代数式变形为，即可计算求值．
【详解】解：，
，
，
故此题答案为D．
5．【答案】D
【分析】此题考查整式表示几何面积，按图形列出代数式即可．
【详解】解：由图知，甬道所占的面积正方形面积草坪面积，
下面将甬道平移到两边便于理解：
即甬道所占的面积，
故此题答案为：D．
6．【答案】D
【分析】此题考查了完全平方公式，根据新运算规则结合完全平方公式，对选项逐个进行判断求解即可．
【详解】解：，，故①正确；
，，故②错误；
，，故③正确；
，，故④错误；
故此题答案为：D．
7．【答案】C
【分析】分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果．
【详解】解：在图1中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以阴影部分的面积为，
在图2中，阴影部分为一长方形，长为，宽为，则面积为，
由于两个阴影部分面积相等，所以有成立．
故此题答案为C．
8．【答案】D
【分析】此题考查了单项式乘以单项式、整式的加减的应用，分别求出、、，进行比较即可得出答案，根据图形求出、、是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：
，
，
，
，
，
故此题答案为D．
9．【答案】=
【分析】先根据同底数幂除法计算，再由，得出，则．即可求解．
【详解】解：，
即，
，
10．【答案】/
【分析】原式运用多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】
．
11．【答案】9
【分析】此题是完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
根据两数和的完全平方等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案．
【详解】解：由是一个完全平方式，得，
故此题答案为：9．
12．【答案】9
【分析】此题主要是考查了完全平方公式以及多项式乘多项式、整体代入法求解代数式的值，熟练利用完全平方公式以及多项式乘多项式，把整式进行化简，这是解决该题的关键．先把变形为，然后利用完全平方公式以及多项式乘多项式，将式子去括号展开，并合并同类项，然后将整体代入化简的式子中求值即可．
【详解】解：由可得：，
原式，
故此题答案为：9．
13．【答案】
【分析】直接运用完全平方公式即可解答．
【详解】解：∵二次三项式是完全平方式，
∴，
∴．
14．【答案】/
【分析】此题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意，根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：由题意可知，拼成的大正方形面积为，
，
拼成的大正方形的边长为，
故此题答案为：．
15．【答案】2024
【分析】由题意可先进行单项式除以单项式的运算，然后问题可求解．
【详解】解：，
∴他输入的密码是2024
16．【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查整式的加减运算：
（1）原式直接合并同类项即可；
（2）原式先去括号再合并即可得到答案．
【详解】（1）
（2）
17．【答案】
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】
，
∵
∴
∴．
18．【答案】，2
【分析】此题考查了单项式乘多项式，整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则对原式进行化简．
原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
，
当， 时，
原式
19．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先根据整式的混合运算法则化简，然后再将、代入计算即可；
（2）由可得，然后运用整式的混合运算法则化简原式，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
当、时，．
（2）解：由可得，
．
20．【答案】①答案不唯一，如：；②它与1的和；③；④；⑤见解析
【分析】①根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”解答即可；
②根据题干十位上的数乘以它与1的和的规律解答即可；
③根据题干规律另一个两位数十位相同，个位等于10减去上一个两位数的个位解答即可；
④根据题干这两个两位数相乘的规律解答即可；
⑤将化简即可；
【详解】解：①根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”写出算式为：答案不唯一，如：，
故此题答案为：答案不唯一，如：；
②观察算式发现规律为：十位上的数乘以它与1的作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位，
故此题答案为：和它与1的和；
③根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”可得另一个两位数可以表示为，
故此题答案为：；
④由②中的规律：十位上的数乘以它与1的作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位可得：，
故此题答案为：；
⑤证明：
，
．
【关键点拨】该题重点考查了代数式表示以及整式乘法运算，解答的关键是读懂题意．
考点 二 因式分解
1．【答案】C
【分析】注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故此题答案为C．
2．【答案】C
【分析】先提取负号，再根据完全平方公式即可因式分解.
【详解】.
故此题答案为C
3．【答案】B
【分析】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，根据平方差公式的结构特点逐项分析即可，熟练掌握是解此题的关键．
【详解】解：A、是平方和的性质，不能因式分解，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
故此题答案为：B．
4．【答案】B
【分析】利用公式法和提公因式法逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，能因式分解，不符合题意，选项错误；
B、不能因式分解，符合题意；
C、，能因式分解，不符合题意，选项错误；
D、，能因式分解，不符合题意，选项错误，
故此题答案为B．
5．【答案】C
【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
【详解】解：A、12abc-9a2b2c2=3abc（4-3abc），故本选项错误；
B、3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本选项错误；
C、-a2+ab-ac=-a（a-b+c），正确；
D、x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本选项错误．
故此题答案为C．
6．【答案】C
【分析】
利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】
解∶由题意得∶
，
4-ax+x2=4-4x +x2，
∴a=4，
故选∶C．
【点睛】
本题考查了因式分解-运用公式法， 熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7．【答案】
【分析】各项都含有的因式称为公因式，根据定义解答．
【详解】解：多项式中，各项的公因式是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了公因式的定义，正确掌握确定公因式的方法：取相同数字的最大公约数，取相同字母的最小指数，是解题的关键．
8．【答案】（答案不唯一）
【分析】直接逆用完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵完全平方公式的一般形式：，
当时，，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法．
9．【答案】 ．
【分析】提取公因式法和应用公式法因式分解．
【详解】 ．
10．【答案】
【分析】先提取公共项y，然后观察式子，继续分解
【详解】
【关键点拨】此题考查因式分解，掌握因式分解基本方法是解题关键
11．【答案】8
【分析】直接将已知提取公因式，进而分解因式得出答案．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将已知变形是解题关键．
12．【答案】
【分析】先利用二元一次方程组分别求得与，再由（）（ ），整体代入进行求解．
【详解】解：，
得，
∴，
得，
∵，，
∴ ．
13．【答案】150
【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出，将其代入求值即可．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为10，面积为6，
∴，
∴
．
14．【答案】 90 11
【分析】此题考查整式的加减，分解因式，
（1）百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，据此可得答案；
（2）由“回文数”定义，数字与数的关系求得任意四位数的“回文数”是11的倍数；
【详解】解：（1）解：当百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，当百位数字为1时，有10个回文数，同理百位数字为2时，有10个回文数，
三位数的回文数共有90个；
故此题答案为：90；
（2）设任意四位数的“回文数”千位，百位，十位和个位上的数字分别为、、、，则有：
，
是11的倍数；
故此题答案为：11
15．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可求解；
（）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可求解
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
16．【答案】(1)三
(2)四
(3)
【分析】
（1）观察小亮的分解过程与流程，即可得到所求；
（2）观察小亮的分解过程与流程，即可得到所求；
（3）写出正确的分解过程即可．
(1)
按照小亮的流程图进行因式分解，①完成了上面流程图的第三步；
故答案为：三；
(2)
按照小亮的流程图进行因式分解，②完成了上面流程图的第四步；
故答案为：四；
(3)
故答案为：．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．【答案】(1)
(2)见解析
(3)不成立，反例见解析
【分析】（1）根据题意写出算式⑤，即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解，即可；
（3）设两个连续奇数分别为和（为整数），利用平方差公式进行因式分解，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：算式⑤：；
故答案为：
（2）解：设两个连续偶数分别为和（为整数），
，
∵是4的奇数倍，
∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍；
（3）解：不成立，
设两个连续奇数分别为和（为整数），
∵是偶数，
∴任意两个连续奇数的平方差不是4的奇数倍，
例如：是4的2倍，不是奇数倍．
【点睛】本题考查了因式分解——平方差公式的应用，有理数的混合运算，合理应用公式是解决本题的关键．
18．【答案】(1)
(2)长为，宽为．
【分析】
（1）根据图形，有直接求和间接求两种方法，列出等式即可；
（2）根据已知等式画出相应的图形，然后根据图形写出等式即可．
(1)
解:
(2)
解:
答：由图形可知，长为，宽为．
【点睛】
此题考查了因式分解的应用，面积与代数式恒等式的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．【答案】(1)2和，0 ；
(2)4；
(3)0，9．
【分析】（1）把进行因式分解，即可求解；
（2）根据的0值只有一个，则，即可求解；
（3）根据，且0值为，，即可得出结论， 由的0值与轴值相等，即可得出，即可求解．
【详解】（1）解：，
或时，，
的0值为和，
又，
的轴值为0，
故答案为：2和，0 ；
（2）解：的0值只有一个，
，
即的0值为，
又，
，
故答案为：4；
（3）解：，
的0值为：和，
，
；
当的0值与轴值相等，
的0值只有一个，
，
即时，
此时的0值为，轴值为：，
故答案为：0，9．
【点睛】本题考查是因式分解，以及完全平方公式的运用，解题的关键是读懂题意，以及熟练掌握相关的运算．
20．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
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专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法及乘法公式
1．（2024北京·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点逐项判断即可解答．
【详解】解：A. ，故A选项计算正确，符合题意；
B. ，故B选计算错误，不符合题意；
C. ，故C选计算错误，不符合题意；
D. ，故D选计算错误，不符合题意．
故此题答案为A．
2．（2024北京·期末）下列多项式中，完全平方式有（ ）个
，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据完全平方式的性质：，可得出答案．
【详解】解：，是完全平方公式，
，，，不是完全平方公式，
故此题答案为：A．
【关键点拨】此题考查完全平方式，熟记完全平方式的形式，找出公式中的和是解题的关键．
3．（2024北京·期末）已知可以写成一个完全平方式，则可为( )
A．4 B．8 C．16 D．
【答案】C
【详解】∵可以写成一个完全平方式，
∴x2-8x+a=(x-4)2，
又（x-4）2=x2-8x+16，
∴a=16，
故此题答案为C．
4．（2024北京·期末）如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．6 D．13
【答案】D
【分析】此题考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想解决问题是关键．．由已知可知，再将代数式变形为，即可计算求值．
【详解】解：，
，
，
故此题答案为D．
5．（2024北京·期末）如图，某小区规划在边长为的正方形场地上，修建两条宽为的甬道，其余部分种草，则甬道所占的面积（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查整式表示几何面积，按图形列出代数式即可．
【详解】解：由图知，甬道所占的面积正方形面积草坪面积，
下面将甬道平移到两边便于理解：
即甬道所占的面积，
故此题答案为：D．
6．（2024北京·期末）设是实数，定义一种新运算，下面有四个推断：
① ②
③ ④，其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
【答案】D
【分析】此题考查了完全平方公式，根据新运算规则结合完全平方公式，对选项逐个进行判断求解即可．
【详解】解：，，故①正确；
，，故②错误；
，，故③正确；
，，故④错误；
故此题答案为：D．
7．（2024北京·期末）将边长为a的正方形的右下角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，再将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），由图1到图2的操作，能够验证下列等式中从左到右的变形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果．
【详解】解：在图1中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以阴影部分的面积为，
在图2中，阴影部分为一长方形，长为，宽为，则面积为，
由于两个阴影部分面积相等，所以有成立．
故此题答案为C．
8．（2024北京·期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（ ）注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了单项式乘以单项式、整式的加减的应用，分别求出、、，进行比较即可得出答案，根据图形求出、、是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：
，
，
，
，
，
故此题答案为D．
9．（2024北京·期末）如果（，m，n是正整数），那么m n．（填写“>”，“=”，“<”）
【答案】=
【分析】先根据同底数幂除法计算，再由，得出，则．即可求解．
【详解】解：，
即，
，
10．（2024北京·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】原式运用多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】
．
11．（2024北京·期末）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值是 ．
【答案】9
【分析】此题是完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
根据两数和的完全平方等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案．
【详解】解：由是一个完全平方式，得，
故此题答案为：9．
12．（2024北京·期末）当时，代数式的值为 ．
【答案】9
【分析】此题主要是考查了完全平方公式以及多项式乘多项式、整体代入法求解代数式的值，熟练利用完全平方公式以及多项式乘多项式，把整式进行化简，这是解决该题的关键．先把变形为，然后利用完全平方公式以及多项式乘多项式，将式子去括号展开，并合并同类项，然后将整体代入化简的式子中求值即可．
【详解】解：由可得：，
原式，
故此题答案为：9．
13．（2024北京·期末）已知二次三项式是完全平方式，其中m是一次项系数．则m的所有取值是 ．
【答案】
【分析】直接运用完全平方公式即可解答．
【详解】解：∵二次三项式是完全平方式，
∴，
∴．
14．（2024北京·期末）如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为 （用含a，b的式子表示）．
【答案】/
【分析】此题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意，根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：由题意可知，拼成的大正方形面积为，
，
拼成的大正方形的边长为，
故此题答案为：．
15．（2024北京·期末）某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ．
账号：shu xue le yuan密码
【答案】2024
【分析】由题意可先进行单项式除以单项式的运算，然后问题可求解．
【详解】解：，
∴他输入的密码是2024
16．（2024北京·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查整式的加减运算：
（1）原式直接合并同类项即可；
（2）原式先去括号再合并即可得到答案．
【详解】（1）
（2）
17．（2024北京·期末）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】
，
∵
∴
∴．
18．（2024北京·期末）先化简，再求值：，其中， ．
【答案】，2
【分析】此题考查了单项式乘多项式，整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则对原式进行化简．
原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式，
，
当， 时，
原式
19．（2024北京·期末）计算下列各题．
(1)先化简，再求值：，其中，．
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先根据整式的混合运算法则化简，然后再将、代入计算即可；
（2）由可得，然后运用整式的混合运算法则化简原式，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
当、时，．
（2）解：由可得，
．
20．（2024北京·期末）根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容．
a．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算：
，，，；
b．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：
算式：________①___________；
c．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以______②_______作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位；
d．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律：
如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为_______③_______，上述规律可以表示为_________④_________（用含，的式子表示）；
e．他们尝试对这个规律进行证明：________⑤___________．
【答案】①答案不唯一，如：；②它与1的和；③；④；⑤见解析
【分析】①根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”解答即可；
②根据题干十位上的数乘以它与1的和的规律解答即可；
③根据题干规律另一个两位数十位相同，个位等于10减去上一个两位数的个位解答即可；
④根据题干这两个两位数相乘的规律解答即可；
⑤将化简即可；
【详解】解：①根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”写出算式为：答案不唯一，如：，
故此题答案为：答案不唯一，如：；
②观察算式发现规律为：十位上的数乘以它与1的作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位，
故此题答案为：和它与1的和；
③根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”可得另一个两位数可以表示为，
故此题答案为：；
④由②中的规律：十位上的数乘以它与1的作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位可得：，
故此题答案为：；
⑤证明：
，
．
【关键点拨】该题重点考查了代数式表示以及整式乘法运算，解答的关键是读懂题意．
考点二 因式分解
1．（2024北京·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故此题答案为C．
2．（2024北京·期末）把分解因式，结果正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先提取负号，再根据完全平方公式即可因式分解.
【详解】.
故此题答案为C
3．（2024北京·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，根据平方差公式的结构特点逐项分析即可，熟练掌握是解此题的关键．
【详解】解：A、是平方和的性质，不能因式分解，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；
故此题答案为：B．
4．（2023北京·期末）下列四个多项式中，不能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用公式法和提公因式法逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，能因式分解，不符合题意，选项错误；
B、不能因式分解，符合题意；
C、，能因式分解，不符合题意，选项错误；
D、，能因式分解，不符合题意，选项错误，
故此题答案为B．
5．（2023北京育英中学·期末）用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案．
【详解】解：A、12abc-9a2b2c2=3abc（4-3abc），故本选项错误；
B、3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2），故本选项错误；
C、-a2+ab-ac=-a（a-b+c），正确；
D、x2y+5xy-y=y（x2+5x-1），故本选项错误．
故此题答案为C．
6．（2022北京·期末）若多项式可以分解因式为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】
解∶由题意得∶
，
4-ax+x2=4-4x +x2，
∴a=4，
故选∶C．
【点睛】
本题考查了因式分解-运用公式法， 熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7．（2023北京·期末）在多项式中，各项的公因式是 ．
【答案】
【分析】各项都含有的因式称为公因式，根据定义解答．
【详解】解：多项式中，各项的公因式是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了公因式的定义，正确掌握确定公因式的方法：取相同数字的最大公约数，取相同字母的最小指数，是解题的关键．
8．（2023北京·期末）请你写出一个整式A，使得多项式能因式分解，这个整式A可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】直接逆用完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵完全平方公式的一般形式：，
当时，，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法．
9．（2024北京·期末）分解因式： ___________________________.
【答案】 ．
【分析】提取公因式法和应用公式法因式分解．
【详解】 ．
10．（2024北京·期末）分解因式： .
【答案】
【分析】先提取公共项y，然后观察式子，继续分解
【详解】
【关键点拨】此题考查因式分解，掌握因式分解基本方法是解题关键
11．（2023北京·期末）已知，，则 ．
【答案】8
【分析】直接将已知提取公因式，进而分解因式得出答案．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将已知变形是解题关键．
12．（2023北京·期末）如果，那么的值是 ．
【答案】
【分析】先利用二元一次方程组分别求得与，再由（）（ ），整体代入进行求解．
【详解】解：，
得，
∴，
得，
∵，，
∴ ．
13．（2023北京·期末）已知长方形的长和宽分别为a、b，且长方形的周长为10，面积为6，则的值为 ．
【答案】150
【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出，将其代入求值即可．
【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为10，面积为6，
∴，
∴
．
14．（2024北京·期末）“回文诗”，是能够回还往复，正读倒读皆成章句的诗篇，是我国古典文学作品中的一种有趣的特殊体裁．如“遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻”，倒过来读，便是“轻鸿数点千峰碧，水接云边四望遥”．在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”例如11，343等．
（1）在所有三位数中，“回文数”共有 个；
（2）任意一个四位数的“回文数”一定是 的倍数(1除外)．
【答案】 90 11
【分析】此题考查整式的加减，分解因式，
（1）百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，据此可得答案；
（2）由“回文数”定义，数字与数的关系求得任意四位数的“回文数”是11的倍数；
【详解】解：（1）解：当百位数字和个位数字相同时，三位数是回文数，当百位数字为1时，有10个回文数，同理百位数字为2时，有10个回文数，
三位数的回文数共有90个；
故此题答案为：90；
（2）设任意四位数的“回文数”千位，百位，十位和个位上的数字分别为、、、，则有：
，
是11的倍数；
故此题答案为：11
15．（2024北京·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可求解；
（）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可求解
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
16．（2022北京·期末）学完因式分解后，小亮同学总结出了因式分解的流程图，如图，
下面是小亮同学的因式分解过程：
①
②
③
回答下面的问题：
(1)①完成了上面流程图的第 步；
(2)②完成了上面流程图的第 步；
(3)将③的结果写在横线上 ．
【答案】(1)三
(2)四
(3)
【分析】
（1）观察小亮的分解过程与流程，即可得到所求；
（2）观察小亮的分解过程与流程，即可得到所求；
（3）写出正确的分解过程即可．
(1)
按照小亮的流程图进行因式分解，①完成了上面流程图的第三步；
故答案为：三；
(2)
按照小亮的流程图进行因式分解，②完成了上面流程图的第四步；
故答案为：四；
(3)
故答案为：．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（2023北京·期末）观察下列算式，完成问题：
算式①：
算式②：
算式③：
算式④：
……
(1)按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤： ；
(2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为和（为整数），请证明上述命题成立；
(3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)不成立，反例见解析
【分析】（1）根据题意写出算式⑤，即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解，即可；
（3）设两个连续奇数分别为和（为整数），利用平方差公式进行因式分解，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：算式⑤：；
故答案为：
（2）解：设两个连续偶数分别为和（为整数），
，
∵是4的奇数倍，
∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍；
（3）解：不成立，
设两个连续奇数分别为和（为整数），
∵是偶数，
∴任意两个连续奇数的平方差不是4的奇数倍，
例如：是4的2倍，不是奇数倍．
【点睛】本题考查了因式分解——平方差公式的应用，有理数的混合运算，合理应用公式是解决本题的关键．
18．（2022北京·期末）在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：．
请你解答下面的问题：
(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式： ；
(2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形ABCD，请你分析这个长方形的长和宽．
【答案】(1)
(2)长为，宽为．
【分析】
（1）根据图形，有直接求和间接求两种方法，列出等式即可；
（2）根据已知等式画出相应的图形，然后根据图形写出等式即可．
(1)
解:
(2)
解:
答：由图形可知，长为，宽为．
【点睛】
此题考查了因式分解的应用，面积与代数式恒等式的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2023北京·期末）小柔在进行因式分解时发现一个现象，一个关于x的多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，则当或时原多项式的值为0，因此定义和为多项式的0值，和的平均值为轴值．例：或时，则和为的0值，3和的平均值1为的轴值．
(1)的0值为 ，轴值为 ；
(2)若的0值只有一个，则 ，此时0值与轴值相等；
(3)的0值为，轴值为m，则 ，若的0值与轴值相等，则 ．
【答案】(1)2和，0 ；
(2)4；
(3)0，9．
【分析】（1）把进行因式分解，即可求解；
（2）根据的0值只有一个，则，即可求解；
（3）根据，且0值为，，即可得出结论， 由的0值与轴值相等，即可得出，即可求解．
【详解】（1）解：，
或时，，
的0值为和，
又，
的轴值为0，
故答案为：2和，0 ；
（2）解：的0值只有一个，
，
即的0值为，
又，
，
故答案为：4；
（3）解：，
的0值为：和，
，
；
当的0值与轴值相等，
的0值只有一个，
，
即时，
此时的0值为，轴值为：，
故答案为：0，9．
【点睛】本题考查是因式分解，以及完全平方公式的运用，解题的关键是读懂题意，以及熟练掌握相关的运算．
20．（2024北京·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
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