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专项复习提升（五） 分式
考点一 分式概念及其性质
1．（2024北京·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024北京·期末）若分式的值为0，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．（2024北京·期末）如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍
4．（2024北京·期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024北京·期末）若分式的值是0，则x的值为 ．
6．（2024北京·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ．
7．（2024北京·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ．
8．（2023北京·期末）分式与的最简公分母是 .
9．（2023北京·期末）约分：（1） ；（2） ．
10．（2023北京·期末）填空：，变形的依据是 ．
11．（2022北京·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题：
（1）写出一个假分式为： ；
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可）
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
12．（2023北京·期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
(2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ．
考点二 分式的运算
1．（2024北京·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024北京·期末）超级计算机“神威·太湖之光”被誉为国之重器，达到峰值计算速度时，它计算1亿次需要的时间约为0.000000000794秒．将0.000000000794用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023北京北京二中·期末）若a＝（﹣）-2，b＝（﹣）0，c＝0.75﹣1，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
4．（2023北京·期末）计算的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2023北京·期末）若，则代数式的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2022北京北京八中·期末）若，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．
7．（2024北京北京市陈经纶中学分校·月考）已知=1，则代数式的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
8．（2024北京北京11中·期中）若，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
9．（2024北京·开学摸底）如果，且，那么代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024北京·二模）如果 ，那么代数式 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
11．（2024北京·期中）当分别取，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A． B． C． D．
12．（2024北京·期中）某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带. 方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲：方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙. 设，下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024北京·期中）若，且，则分式中的值为 ．
14．（2024北京·期中）化简：＝ ．
15．（2024北京·月考）已知：＝+，则A＝ ，B＝ ．
16．（2024北京·期中）学习了“分式的加减法”，小刚同学画出了如下运算流程图：
图中①代表的运算步骤为 ，②代表的运算步骤为 ．
17．（2024北京·月考）已知，则的值为 ．
18．（2024北京·期中）如图1，一个500毫升（1毫升立方厘米）的瓶子装有高m厘米的饮料，将瓶盖盖好后倒置，如图2，饮料水面高为n厘米，则瓶内饮料的体积为 毫升．
19．（2024北京·期末）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”．
（1）判断： （填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ．
20．（2024北京·期末）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
21．（2024北京·期末）阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：
解：
①
②
③
④
问题：（1）上述计算过程中，从 步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：
22．（2024北京·期末）已知，求代数式的值．
23．（2024北京·期末）已知，求代数式的值．
24．（2024北京·期末）化简：，并选择一个适当的的值代入求值．
25．（2024北京·期末）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论．
26．（2024北京·期末）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
(2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 第一次过滤后水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量
A 6a
B 5a a
C 4a 2a
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
(3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）．
考点三 分式方程
1．（2024北京·期末）分式方程的两边同时乘以，约去分母，得到的整式方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024北京北京汇文·一模）方程的解是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024北京·期中）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 －4 2 a 0
分式的值 无意义 0 1 b
A． B． C． D．
4．（2024北京·期末）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
5．（2024北京·月考）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．（2024北京·月考）定义运算“※”：，如果，那么的值为（ ）
A．4 B．4或10 C．10 D．4或
7．（2024北京·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024北京·期末）甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程，若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是( )
A． B． C． D．
9．（2024北京·期中）在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A，B两种文创产品，其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价．若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024北京·月考）已知 -2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为 .
11．（2024北京·中考真题）方程的解为 .
12．（2024北京·期中）方程无解，那么的值为 ．
13．（2024北京·期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲 清点完这批图书的 ，乙加入清点剩余的图书，两人合作 清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要 h，则根据题意可列方程为______．
14．（2024北京·期末）对于任意实数a，b，规定：．若，则x的值为 ．
15．（2024北京·期末）解方程：．
16．（2024北京·期末）列方程解应用题：
某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个．
17．（2024北京·期末）列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
18．（2024北京·期末）列方程解应用题：
《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间.
19．（2024北京·期末）北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息
信息一：基地有A、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，A试验田比试验田少20亩；信息二：A试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨；信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍．
根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量．
20．（2024北京·期中）阅读下面材料并解决问题：
材料一：2022年6月16日，世界首条沙漠铁路线——和若铁 路（和田至若羌）正式开通运营．该铁路沿线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米．有了这条通往我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、红枣、矿产等产品可直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”．
材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重．为确保安全平稳运行，全程实际运行速度降低到原设计速度的，从和田到若羌比原设计时间多用小时．
根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度．
21．（2024北京北京11中·期中）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
22．（2024北京·期末）下面是一些方程和它们的解．
的解为，；
的解为，；
的解为，；
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：
(1)的解为_______；
(2)关于x的方程的解为_______；
(3)关于x的方程的解为_______．
23．（2024北京·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．
(1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；
(3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
24．（2024北京·期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”．
(1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”．
(2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值．
(3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值．
参考答案
考点一 分式概念及其性质
1．【答案】C
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【详解】解：依题意得：，
解得．
故此题答案为C．
2．【答案】D
【分析】此题考查分式的值为零的条件，掌握分式值为零时，分子为零，分母不为零是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，解得，
故此题答案为D．
3．【答案】C
【分析】依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简，再与原分式比较即可得到答案．
【详解】解：分别用和去代换原分式中的a和b得，
∴新分式缩小到原来的，
故本题答案为C．
4．【答案】C
【分析】本题解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意；
B、，原式变形错误，不符合题意；
C、，原式变形正确，符合题意；
D、，原式变形错误，不符合题意．
故本题答案为C．
5．【答案】2.
【分析】根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式的值为0，则必须，从而求解即可.
【详解】解：由题意可得：
解得：
6．【答案】0或/或0
【分析】此题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或，
然后分别求解，即可确定的整数值．
【详解】解：若分式的值为整数，
则或或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
若取整数，
则的整数值为0或．
故此题答案为：0或．
7．【答案】 分式的基本性质
【分析】此题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质可和分母的变化即可求解．
【详解】解：∵，
∴括号内应填入数字，变形的依据是分式的基本性质．
故此题答案为：，分式的基本性质．
8．【答案】2a2b2c
【分析】按照公分母的定义进行解答．
【详解】解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
9．【答案】
【分析】（1）找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质进行约分即可；
（2）把分母进行因式分解后，利用分式的基本性质进行约分即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：
（2），
故答案为：
【点睛】此题考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
10．【答案】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【分析】根据分式的基本性质矩形计算即可．
【详解】解： ，
依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
11．【答案】（1）；（2）1+；（3）x=0，1，3，4
【分析】
（1）根据定义即可求出答案．
（2）根据题意给出的变形方法即可求出答案．
（3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值．
【详解】
解：（1）根据题意，是一个假分式；
故答案为：（答案不唯一）．
（2）；
故答案为：；
（3）∵，
∴x2=±1或x2=±2，
∴x=0，1，3，4；
【点睛】
本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解真假分式的定义，本题属于基础题型．
12．【答案】(1)减小，减小
(2)当时，无限接近于2
(3)
【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可；
（2）根据材料由即可求解；
（3）由，配合即可求解．
【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小；
∵当时，随着的增大，的值也随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵
∵当时，的值无限接近于0，
∴当时，无限接近于2；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
考点二 分式的运算
1．【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项分别进行判断即可．此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A．，故此题答案为项错误，不符合题意；
B．，故此题答案为项错误，不符合题意；
C．，故此题答案为项正确，符合题意；
D．与不是同类项，不能进行合并和计算，故此题答案为项错误，不符合题意．
故此题答案为：C．
2．【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数
【详解】解：将0.000000000794用科学记数法表示应为，
故此题答案为C．
3．【答案】D
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：a＝（﹣）﹣2＝，b＝（﹣）0＝1，c＝0.75﹣1＝，
∵，
∴a＞c＞b，
故此题答案为：D．
【关键点拨】本题主要考查负整数指数幂以及零指数幂的性质，熟知负整数指数幂以及零指数幂的性质是解题的关键．
4．【答案】D
【详解】解：原式
，
故选D．
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关键．
5．【答案】A
【分析】先将代数式进行化简，然后再将整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，故A正确．
故此题答案为A．
【关键点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确进行计算．
6．【答案】D
【分析】
根据多项式乘以多项式展开，根据多项式相等即可求得对应字母的值，进而代入代数式求解即可．
【详解】
解：，
，
，，
，，
解得：，，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，负整数指数幂，掌握以上知识是解题的关键．
7．【答案】D
【分析】由=1利用分式的加减运算法则得出m-n=-mn，代入原式计算可得．
【详解】∵=1，
∴=1，
则=1，
∴mn=n-m，即m-n=-mn，
则原式====-3，
故此题答案为D．
8．【答案】A
【分析】将已知等式化为，再将所求式子利用完全平方公式变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为A．
【关键点拨】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是灵活运用完全平方公式变形．
9．【答案】B
【分析】将原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．
【详解】解：原式
，
，
，
原式，
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
10．【答案】A
【详解】∵ ,
∴
．
故此题答案为A．
11．【答案】A
【分析】先求出和时，分式的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得．
【详解】解：当和时，
当时，，
则所求的和为，
故此题答案为A．
【关键点拨】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键．
12．【答案】D
【分析】由题意可求S甲=2ab-b2，S乙=2ab，代入可求k的取值范围．
【详解】∵S甲=2ab-b2，S乙=2ab．
∴
∵a＞b＞0
∴＜k＜1
故此题答案为D．
13．【答案】2
【分析】直接利用已知代入分式化简得出答案．
【详解】解：∵a 3b＝0，且a≠0，
∴a＝3b，
则分式＝＝＝2．
14．【答案】a+1
【分析】先对代数式中能因式分解的部分进行因式分解，在边除为乘，进行化简、计算即可.
【详解】解：原式＝ ＝a+1
15．【答案】 1 2
【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出A与B的值．
【详解】解：∵＝＝，
∴，
解得：
16．【答案】通分；约分
【分析】分式加减法法则：异分母相加减，通分使分母相同，分母不变，分子相加减；同分母相加减，分母不变，分子相加减，结果约分都化为最简分式，据此可得答案．
【详解】由分式的运算法则可知：①通分；②约分
17．【答案】
【分析】根据得，代入分式化简即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
18．【答案】
【分析】设图1中瓶子的底面积为S平方厘米，根据图1和图2中空白部分的体积相等得到，则，据此可得答案．
【详解】解：设图1中瓶子的底面积为S平方厘米，
由题意得，，
∴，
∴瓶内饮料的体积为毫升.
19．【答案】 不是 ； （答案不唯一）
【分析】（1）根据“乐数”的定义可以判断不是“乐数”；
（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，由题意得，推出，由，为正整数，得到或5或10，据此求解即可．
【详解】解：（1）去掉相同的数字3之后，得到的分数为，而，，
故不是“乐数”；
（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，
由题意得，
整理得，即，
∵，为正整数，
∴或5或10，
∴或4或9（舍去），
∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是或．
故本题答案为不是；．
20．【答案】（1）；（2），原式
【分析】此题考查了多项式与多项式的乘法，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算．
【详解】解：（1）
．
（2）
=．
当时，原式．
21．【答案】（1）③；（2）分式加法法则运用错误；（3）见解析
【分析】观察整个运算过程，根据分式的加法运算法则，找出错误的步骤并正确求解即可．
【详解】（1）③；
（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；
（3）原式，
，
，
．
【关键点拨】此题考查了分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．【答案】，
【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解此题的关键；
将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出的值，整体代入计算即可求出值；
【详解】解：原式
．
，
．
原式．
23．【答案】
【分析】先利用分式的减法计算括号内的减法运算，再计算分式的乘法即可得到化简结果，再求出，整体代入化简结果即可得到答案，此题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式
24．【答案】，2（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了分式化简求值、分式有意义的条件、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握分式运算法则是解题关键．
首先根据分式的运算法则进行运算求解，然后根据分式有意义的条件可知且且，最后将代入求值即可．
【详解】解：
，
∵且且，
∴且且，
∴可取，
此时，原式．
25．【答案】数据计算：，，；实验结论：三；推广证明：见解析
【分析】此题考查分式的实际应用：
数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，由此可解；
实验结论：根据前一问结论，比较大小即可；
推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分子化为相同，比较分母的大小即可．
【详解】解：数据计算：
方案一，漂洗后衣服中存有的污物是原来的，
方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的，
方案三，漂洗后衣服中存有的污物是原来的，
故此题答案为：，，；
实验结论：
，
方案三的漂洗效果最好，
故此题答案为：三；
推广证明：
依题意可得，
选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为；
选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得；
选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得；
因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同，
所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小，
因为，且，，
所以，
所以，
所以，
即方案二比方案一的漂洗效果好，
因为，且，
所以，
所以，
所以，
即方案三比方案二的漂洗效果好，
综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好．
26．【答案】(1)；
(2)①；；
②方案C；
(3)．
【分析】（1）根据水中的杂质含量为计算即可；
（2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答；
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解．
【详解】（1），
故本问答案为；
（2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为，
第二次过滤后水中杂质含量为，
故本问答案为；；
② 解：=．
∵，
∴，，
∴，
∴．
同理，可得．
∴，
∴方案C的最终过滤效果最好．
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，
∴第一次净水后，杂质含量为，
∴第二次净水后，杂质含量为，
∵
，
∵，
∴，
当，即时，有最大值为，
∴此时分数有最小值，
即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少，
故本问答案为．
考点三 分式方程
1．【答案】C
【分析】此题主要考查分式方程去分母，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据解分式方程的方法即可得到答案．
【详解】解：两边同时乘以，
得，
故此题答案为C．
2．【答案】A
【分析】分式方程两边同时乘以公分母，转化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】解：分式方程两边同时乘以公分母，得，
，
解得．
经检验，是原方程的解．
故此题答案为A．
3．【答案】C
【分析】首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论．
【详解】解：∵时，原分式无意义，
∴，解得：，B选项正确，不符合题意；
∴此分式为，
∵当时，原分式值为0，
∴，解得：， A选项正确，不符合题意；
由上分析，原分式为，
当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意；
当时，解得：，
经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意；
故此题答案为C．
4．【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示出x，再根据解是正数且列不等式，即可求解．
【详解】解：将分式方程，去分母得，，
整理得，
解得，
分式方程的解是正数，
，
；
又，
，
，
m的取值范围是且.
故此题答案为C．
5．【答案】C
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程的解是非负数，得到，且，
解得：且，
故此题答案为C．
6．【答案】B
【分析】根据定义，分x>5和x<5两种情况，列方程求出x的值即可得答案．
【详解】解：∵5※，
∴当时，5※，
解得：，
经检验：x=4是分式方程的解，
当时，5※，
解得：，
经检验：x=10是分式方程的解，
∴的值为4或10，
故此题答案为B．
7．【答案】C
【分析】设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程．
【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，
依题意得，，
故此题答案为C．
8．【答案】C
【分析】此题是工程问题, 解答此题的关键是掌握工作效率时间工作总量；
根据工作效率时间工作总量，要求 6 天完成，则两队的工作效率之和乘6即可；
【详解】把这项工程看做单位 “ 1 ”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为；
根据工作效率时间工作总量，可得：；
故此题答案为C．
9．【答案】D
【详解】解：设A种文创产品的单价为x元，则B种文创产品的单价为 元，
根据题意，得 ．
故此题答案为D．
10．【答案】2
【分析】把x=-2代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．
【详解】把x=-2代入方程，可得，即k=2
11．【答案】
【分析】先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．
【详解】解：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为
12．【答案】3
【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得，进而求得的值．
【详解】解：，
，
，
，
方程无解，
，
，
13．【答案】
【分析】设乙同学单独清点这批图书需要 小时，根据两人合作 清点完另一半图书，列出方程即可．
【详解】由题意可得，甲的工作效率为 ，
∴ ，
故此题答案为 ．
14．【答案】6
【分析】本题解题的关键是根据新运算得出算式，再解分式方程．
【详解】解：，，，
解这个方程得，
经检验是原分式方程的解，
故本题答案为6．
15．【答案】
【分析】去分母化为整式方程，然后求解方程并检验即可．
【详解】解：分式两边同乘得，，
整理化简得，，
解得，，
检验，当，．
是原分式方程的解．
【关键点拨】此题主要是考查了解分式方程，正确地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解的关键．
16．【答案】A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个
【分析】设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个，根据A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，列出方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个，
由题意得 ，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个．
【易错警示】解分式方程的注意事项：解分式方程时可能会产生增根，所以必须验根.
17．【答案】件
【分析】设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．
【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，
依题意可得 ，解得．
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹件．
18．【答案】天
【详解】解：设规定时间为天，
根据题意得：，
即
两边同时乘以
得
解得，
经检验，是原分式方程的解．
答：规定时间为天．
19．【答案】0.575吨
【分析】设普通水稻平均每亩产量为吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨，利用A试验田比试验田少20亩，可列方程，解方程即可解答，解题的关键是找出正确的等量关系．
【详解】解：设普通水稻平均每亩产量为吨，
则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨．
由题意可得，
．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
．
答：粳稻“天隆优717”平均每亩产量为0.575吨．
20．【答案】
【分析】设和若铁路的原设计速度，则实际速度为，根据题意，得，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程，解方程是解题的关键．
【详解】解：设和若铁路的原设计速度，则实际速度为，
根据题意，得，
解方程，得，
经检验，是原方程的根．
答：和若铁路的原设计速度是．
21．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少
【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．
【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米，
根据题意，得：，
解得：，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为：，
，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
（2）设方案一所用时间为：，
方案二所用时间为，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴方案二所用的时间少．
【关键点拨】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．
22．【答案】(1)，；
(2)，；
(3)，．
【分析】此题考查了解分式方程．
（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是；
故此题答案为：；
（2）解：猜想关于x的方程的解是，；
故此题答案为：，；
（3）解：方程变形得：，
∴，
可得或，
解得：，．
23．【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可；
（2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可；
（3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可．
【详解】（1）解：①当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
∴是关于的分式方程的“方程数对”；
②当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
故不是关于的分式方程的“方程数对”，
故此题答案为：①；
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
解得；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
则，
∵，
∴．
【关键点拨】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键．
24．【答案】(1)①③
(2)
(3)或
【分析】（1）根据定义，计算判断即可．
（2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可．
（3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，代回方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可．
【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故①正确；
当，时，使得关于的分式方程的解是，不是
，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故②错误；
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故③正确；
故答案为①③．
（2）解：根据定义，分式方程的解为，
故．
解得．
（3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，代回方程得，
整理得，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
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专项复习提升（五） 分式
考点一 分式概念及其性质
1．（2024北京·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【详解】解：依题意得：，
解得．
故此题答案为C．
2．（2024北京·期末）若分式的值为0，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】此题考查分式的值为零的条件，掌握分式值为零时，分子为零，分母不为零是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，解得，
故此题答案为D．
3．（2024北京·期末）如果把分式中的a，b同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原来的
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍
【答案】C
【分析】依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简，再与原分式比较即可得到答案．
【详解】解：分别用和去代换原分式中的a和b得，
∴新分式缩小到原来的，
故本题答案为C．
4．（2024北京·期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题解题关键是掌握分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质以及赋值法注意判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意；
B、，原式变形错误，不符合题意；
C、，原式变形正确，符合题意；
D、，原式变形错误，不符合题意．
故本题答案为C．
5．（2024北京·期末）若分式的值是0，则x的值为 ．
【答案】2.
【分析】根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式的值为0，则必须，从而求解即可.
【详解】解：由题意可得：
解得：
6．（2024北京·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ．
【答案】0或/或0
【分析】此题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或，
然后分别求解，即可确定的整数值．
【详解】解：若分式的值为整数，
则或或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
若取整数，
则的整数值为0或．
故此题答案为：0或．
7．（2024北京·期末）在括号内填入适当的整式对分式变形：，括号内应填入数字 ，变形的依据是 ．
【答案】 分式的基本性质
【分析】此题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质可和分母的变化即可求解．
【详解】解：∵，
∴括号内应填入数字，变形的依据是分式的基本性质．
故此题答案为：，分式的基本性质．
8．（2023北京·期末）约分：（1） ；（2） ．
【答案】
【分析】（1）找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质进行约分即可；
（2）把分母进行因式分解后，利用分式的基本性质进行约分即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：
（2），
故答案为：
【点睛】此题考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
9．（2023北京·期末）分式与的最简公分母是 .
【答案】2a2b2c
【分析】按照公分母的定义进行解答．
【详解】解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
10．（2023北京·期末）填空：，变形的依据是 ．
【答案】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【分析】根据分式的基本性质矩形计算即可．
【详解】解： ，
依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
11．（2022北京·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题：
（1）写出一个假分式为： ；
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可）
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）；（2）1+；（3）x=0，1，3，4
【分析】
（1）根据定义即可求出答案．
（2）根据题意给出的变形方法即可求出答案．
（3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值．
【详解】
解：（1）根据题意，是一个假分式；
故答案为：（答案不唯一）．
（2）；
故答案为：；
（3）∵，
∴x2=±1或x2=±2，
∴x=0，1，3，4；
【点睛】
本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解真假分式的定义，本题属于基础题型．
12．（2023北京·期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
(2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ．
【答案】(1)减小，减小
(2)当时，无限接近于2
(3)
【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可；
（2）根据材料由即可求解；
（3）由，配合即可求解．
【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小；
∵当时，随着的增大，的值也随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵
∵当时，的值无限接近于0，
∴当时，无限接近于2；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
考点二 分式的运算
1．（2024北京·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项分别进行判断即可．此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A．，故此题答案为项错误，不符合题意；
B．，故此题答案为项错误，不符合题意；
C．，故此题答案为项正确，符合题意；
D．与不是同类项，不能进行合并和计算，故此题答案为项错误，不符合题意．
故此题答案为：C．
2．（2024北京·期末）超级计算机“神威·太湖之光”被誉为国之重器，达到峰值计算速度时，它计算1亿次需要的时间约为0.000000000794秒．将0.000000000794用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数
【详解】解：将0.000000000794用科学记数法表示应为，
故此题答案为C．
3．（2023北京北京二中·期末）若a＝（﹣）-2，b＝（﹣）0，c＝0.75﹣1，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【答案】D
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：a＝（﹣）﹣2＝，b＝（﹣）0＝1，c＝0.75﹣1＝，
∵，
∴a＞c＞b，
故此题答案为：D．
【关键点拨】本题主要考查负整数指数幂以及零指数幂的性质，熟知负整数指数幂以及零指数幂的性质是解题的关键．
4．（2023北京·期末）计算的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】解：原式
，
故选D．
【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解答此题的关键．
5．（2023北京·期末）若，则代数式的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先将代数式进行化简，然后再将整体代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，故A正确．
故此题答案为A．
【关键点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确进行计算．
6．（2022北京北京八中·期末）若，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【分析】
根据多项式乘以多项式展开，根据多项式相等即可求得对应字母的值，进而代入代数式求解即可．
【详解】
解：，
，
，，
，，
解得：，，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，负整数指数幂，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2024北京北京市陈经纶中学分校·月考）已知=1，则代数式的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】D
【分析】由=1利用分式的加减运算法则得出m-n=-mn，代入原式计算可得．
【详解】∵=1，
∴=1，
则=1，
∴mn=n-m，即m-n=-mn，
则原式====-3，
故此题答案为D．
8．（2024北京北京11中·期中）若，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】将已知等式化为，再将所求式子利用完全平方公式变形为，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为A．
【关键点拨】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是灵活运用完全平方公式变形．
9．（2024北京·开学摸底）如果，且，那么代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．
【详解】解：原式
，
，
，
原式，
故此题答案为B．
【关键点拨】此题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
10．（2024北京·二模）如果 ，那么代数式 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】∵ ,
∴
．
故此题答案为A．
11．（2024北京·期中）当分别取，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出和时，分式的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得．
【详解】解：当和时，
当时，，
则所求的和为，
故此题答案为A．
【关键点拨】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键．
12．（2024北京·期中）某小区有一块边长为a的正方形场地，规划修建两条宽为b的绿化带. 方案一如图甲所示，绿化带面积为S甲：方案二如图乙所示，绿化带面积为S乙. 设，下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可求S甲=2ab-b2，S乙=2ab，代入可求k的取值范围．
【详解】∵S甲=2ab-b2，S乙=2ab．
∴
∵a＞b＞0
∴＜k＜1
故此题答案为D．
13．（2024北京·期中）若，且，则分式中的值为 ．
【答案】2
【分析】直接利用已知代入分式化简得出答案．
【详解】解：∵a 3b＝0，且a≠0，
∴a＝3b，
则分式＝＝＝2．
14．（2024北京·期中）化简：＝ ．
【答案】a+1
【分析】先对代数式中能因式分解的部分进行因式分解，在边除为乘，进行化简、计算即可.
【详解】解：原式＝ ＝a+1
15．（2024北京·月考）已知：＝+，则A＝ ，B＝ ．
【答案】 1 2
【分析】已知等式右边两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出A与B的值．
【详解】解：∵＝＝，
∴，
解得：
16．（2024北京·期中）学习了“分式的加减法”，小刚同学画出了如下运算流程图：
图中①代表的运算步骤为 ，②代表的运算步骤为 ．
【答案】通分；约分
【分析】分式加减法法则：异分母相加减，通分使分母相同，分母不变，分子相加减；同分母相加减，分母不变，分子相加减，结果约分都化为最简分式，据此可得答案．
【详解】由分式的运算法则可知：①通分；②约分
17．（2024北京·月考）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据得，代入分式化简即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
18．（2024北京·期中）如图1，一个500毫升（1毫升立方厘米）的瓶子装有高m厘米的饮料，将瓶盖盖好后倒置，如图2，饮料水面高为n厘米，则瓶内饮料的体积为 毫升．
【答案】
【分析】设图1中瓶子的底面积为S平方厘米，根据图1和图2中空白部分的体积相等得到，则，据此可得答案．
【详解】解：设图1中瓶子的底面积为S平方厘米，
由题意得，，
∴，
∴瓶内饮料的体积为毫升.
19．（2024北京·期末）请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如：去掉相同的数字6之后，得到的分数恰好与原来的分数相等，则是一个“乐数”．
（1）判断： （填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ．
【答案】 不是 ； （答案不唯一）
【分析】（1）根据“乐数”的定义可以判断不是“乐数”；
（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，由题意得，推出，由，为正整数，得到或5或10，据此求解即可．
【详解】解：（1）去掉相同的数字3之后，得到的分数为，而，，
故不是“乐数”；
（2）设分子的十位数字为，分母的个位数字为，
由题意得，
整理得，即，
∵，为正整数，
∴或5或10，
∴或4或9（舍去），
∴分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数”可以是或．
故本题答案为不是；．
20．（2024北京·期末）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），原式
【分析】此题考查了多项式与多项式的乘法，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算．
【详解】解：（1）
．
（2）
=．
当时，原式．
21．（2024北京·期末）阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：
解：
①
②
③
④
问题：（1）上述计算过程中，从 步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：
【答案】（1）③；（2）分式加法法则运用错误；（3）见解析
【分析】观察整个运算过程，根据分式的加法运算法则，找出错误的步骤并正确求解即可．
【详解】（1）③；
（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；
（3）原式，
，
，
．
【关键点拨】此题考查了分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．（2024北京·期末）已知，求代数式的值．
【答案】，
【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解此题的关键；
将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出的值，整体代入计算即可求出值；
【详解】解：原式
．
，
．
原式．
23．（2024北京·期末）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】先利用分式的减法计算括号内的减法运算，再计算分式的乘法即可得到化简结果，再求出，整体代入化简结果即可得到答案，此题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式
24．（2024北京·期末）化简：，并选择一个适当的的值代入求值．
【答案】，2（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了分式化简求值、分式有意义的条件、平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握分式运算法则是解题关键．
首先根据分式的运算法则进行运算求解，然后根据分式有意义的条件可知且且，最后将代入求值即可．
【详解】解：
，
∵且且，
∴且且，
∴可取，
此时，原式．
25．（2024北京·期末）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论．
【答案】数据计算：，，；实验结论：三；推广证明：见解析
【分析】此题考查分式的实际应用：
数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，由此可解；
实验结论：根据前一问结论，比较大小即可；
推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分子化为相同，比较分母的大小即可．
【详解】解：数据计算：
方案一，漂洗后衣服中存有的污物是原来的，
方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的，
方案三，漂洗后衣服中存有的污物是原来的，
故此题答案为：，，；
实验结论：
，
方案三的漂洗效果最好，
故此题答案为：三；
推广证明：
依题意可得，
选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为；
选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得；
选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得；
因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同，
所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小，
因为，且，，
所以，
所以，
所以，
即方案二比方案一的漂洗效果好，
因为，且，
所以，
所以，
所以，
即方案三比方案二的漂洗效果好，
综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好．
26．（2024北京·期末）小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
(1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______；
(2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 第一次过滤后水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量
A 6a
B 5a a
C 4a 2a
①请将表格中方案C的数据填写完整；
②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？
(3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）．
【答案】(1)；
(2)①；；
②方案C；
(3)．
【分析】（1）根据水中的杂质含量为计算即可；
（2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答；
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解．
【详解】（1），
故本问答案为；
（2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为，
第二次过滤后水中杂质含量为，
故本问答案为；；
② 解：=．
∵，
∴，，
∴，
∴．
同理，可得．
∴，
∴方案C的最终过滤效果最好．
（3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，
∴第一次净水后，杂质含量为，
∴第二次净水后，杂质含量为，
∵
，
∵，
∴，
当，即时，有最大值为，
∴此时分数有最小值，
即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少，
故本问答案为．
考点三 分式方程
1．（2024北京·期末）分式方程的两边同时乘以，约去分母，得到的整式方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查分式方程去分母，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据解分式方程的方法即可得到答案．
【详解】解：两边同时乘以，
得，
故此题答案为C．
2．（2024北京北京汇文·一模）方程的解是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】分式方程两边同时乘以公分母，转化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】解：分式方程两边同时乘以公分母，得，
，
解得．
经检验，是原方程的解．
故此题答案为A．
3．（2024北京·期中）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 －4 2 a 0
分式的值 无意义 0 1 b
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论．
【详解】解：∵时，原分式无意义，
∴，解得：，B选项正确，不符合题意；
∴此分式为，
∵当时，原分式值为0，
∴，解得：， A选项正确，不符合题意；
由上分析，原分式为，
当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意；
当时，解得：，
经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意；
故此题答案为C．
4．（2024北京·期末）关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【分析】先将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示出x，再根据解是正数且列不等式，即可求解．
【详解】解：将分式方程，去分母得，，
整理得，
解得，
分式方程的解是正数，
，
；
又，
，
，
m的取值范围是且.
故此题答案为C．
5．（2024北京·月考）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程的解是非负数，得到，且，
解得：且，
故此题答案为C．
6．（2024北京·月考）定义运算“※”：，如果，那么的值为（ ）
A．4 B．4或10 C．10 D．4或
【答案】B
【分析】根据定义，分x>5和x<5两种情况，列方程求出x的值即可得答案．
【详解】解：∵5※，
∴当时，5※，
解得：，
经检验：x=4是分式方程的解，
当时，5※，
解得：，
经检验：x=10是分式方程的解，
∴的值为4或10，
故此题答案为B．
7．（2024北京·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程．
【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，
依题意得，，
故此题答案为C．
8．（2024北京·期末）甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程，若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题是工程问题, 解答此题的关键是掌握工作效率时间工作总量；
根据工作效率时间工作总量，要求 6 天完成，则两队的工作效率之和乘6即可；
【详解】把这项工程看做单位 “ 1 ”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为；
根据工作效率时间工作总量，可得：；
故此题答案为C．
9．（2024北京·期中）在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A，B两种文创产品，其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价．若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设A种文创产品的单价为x元，则B种文创产品的单价为 元，
根据题意，得 ．
故此题答案为D．
10．（2024北京·月考）已知 -2是关于x的分式方程的根，则实数k的值为 .
【答案】2
【分析】把x=-2代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程可以求得k的值．
【详解】把x=-2代入方程，可得，即k=2
11．（2024北京·中考真题）方程的解为 .
【答案】
【分析】先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．
【详解】解：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以，原方程的解为
12．（2024北京·期中）方程无解，那么的值为 ．
【答案】3
【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，可得，进而求得的值．
【详解】解：，
，
，
，
方程无解，
，
，
13．（2024北京·期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲 清点完这批图书的 ，乙加入清点剩余的图书，两人合作 清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要 h，则根据题意可列方程为______．
【答案】
【分析】设乙同学单独清点这批图书需要 小时，根据两人合作 清点完另一半图书，列出方程即可．
【详解】由题意可得，甲的工作效率为 ，
∴ ，
故此题答案为 ．
14．（2024北京·期末）对于任意实数a，b，规定：．若，则x的值为 ．
【答案】6
【分析】本题解题的关键是根据新运算得出算式，再解分式方程．
【详解】解：，，，
解这个方程得，
经检验是原分式方程的解，
故本题答案为6．
15．（2024北京·期末）解方程：．
【答案】
【分析】去分母化为整式方程，然后求解方程并检验即可．
【详解】解：分式两边同乘得，，
整理化简得，，
解得，，
检验，当，．
是原分式方程的解．
【关键点拨】此题主要是考查了解分式方程，正确地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解的关键．
16．（2024北京·期末）列方程解应用题：
某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个．
【答案】A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个
【分析】设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个，根据A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，列出方程求解即可．
【详解】解：设B型机器人每小时生产零件个，则A型机器人每小时生产零件个，
由题意得 ，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：A型、B型两种机器人每小时各生产零件50个、40个．
【易错警示】解分式方程的注意事项：解分式方程时可能会产生增根，所以必须验根.
17．（2024北京·期末）列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【答案】件
【分析】设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．
【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹，
依题意可得 ，解得．
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹件．
18．（2024北京·期末）列方程解应用题：
《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间.
【答案】天
【详解】解：设规定时间为天，
根据题意得：，
即
两边同时乘以
得
解得，
经检验，是原分式方程的解．
答：规定时间为天．
19．（2024北京·期末）北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息
信息一：基地有A、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，A试验田比试验田少20亩；信息二：A试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨；信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍．
根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量．
【答案】0.575吨
【分析】设普通水稻平均每亩产量为吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨，利用A试验田比试验田少20亩，可列方程，解方程即可解答，解题的关键是找出正确的等量关系．
【详解】解：设普通水稻平均每亩产量为吨，
则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨．
由题意可得，
．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
．
答：粳稻“天隆优717”平均每亩产量为0.575吨．
20．（2024北京·期中）阅读下面材料并解决问题：
材料一：2022年6月16日，世界首条沙漠铁路线——和若铁 路（和田至若羌）正式开通运营．该铁路沿线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米．有了这条通往我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、红枣、矿产等产品可直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”．
材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重．为确保安全平稳运行，全程实际运行速度降低到原设计速度的，从和田到若羌比原设计时间多用小时．
根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度．
【答案】
【分析】设和若铁路的原设计速度，则实际速度为，根据题意，得，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程，解方程是解题的关键．
【详解】解：设和若铁路的原设计速度，则实际速度为，
根据题意，得，
解方程，得，
经检验，是原方程的根．
答：和若铁路的原设计速度是．
21．（2024北京北京11中·期中）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少
【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．
【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米，
根据题意，得：，
解得：，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为：，
，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
（2）设方案一所用时间为：，
方案二所用时间为，则，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴方案二所用的时间少．
【关键点拨】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．
22．（2024北京·期末）下面是一些方程和它们的解．
的解为，；
的解为，；
的解为，；
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：
(1)的解为_______；
(2)关于x的方程的解为_______；
(3)关于x的方程的解为_______．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)，．
【分析】此题考查了解分式方程．
（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是；
故此题答案为：；
（2）解：猜想关于x的方程的解是，；
故此题答案为：，；
（3）解：方程变形得：，
∴，
可得或，
解得：，．
23．（2024北京·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]．
(1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号）
(2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值；
(3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k．
【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可；
（2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可；
（3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可．
【详解】（1）解：①当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
∴是关于的分式方程的“方程数对”；
②当，时，解方程得，
经检验，是该分式方程的解，又，
故不是关于的分式方程的“方程数对”，
故此题答案为：①；
（2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
解得；
（3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，
∴是关于的分式方程的解，
将代入分式方程中，得，
则，
∵，
∴．
【关键点拨】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键．
24．（2024北京·期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”．
(1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”．
(2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值．
(3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值．
【答案】(1)①③
(2)
(3)或
【分析】（1）根据定义，计算判断即可．
（2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可．
（3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，代回方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可．
【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故①正确；
当，时，使得关于的分式方程的解是，不是
，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故②错误；
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故③正确；
故答案为①③．
（2）解：根据定义，分式方程的解为，
故．
解得．
（3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，代回方程得，
整理得，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
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