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专项复习提升（一） 三角形
考点一 与三角形有关的线段
1．（2024山西朔州·期末）如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024山西太原·期末）如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，造型美观．其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边
3．（2024山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足，那么这个三角形的第三边可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
4．（2024山西晋中·期末）下列长度的三条线段，首尾顺次连接能够搭成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm
C．3cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，10cm
5．（2023山西晋中·期末）数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（ ）
A． B． C． D．
6．（2023山西运城·期末）如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
7．（2024山西大同·期末）如图，点是中边上的点，连接，点是的中点，连接，若的面积为8，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．（2024山西临汾·期末）如图，在中，点分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为 ．
9．（2023山西长治·期末）如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为6，则四边形的面积为 ．
10．（2023山西晋中·期末）如图，是的中线，为线段的中点，过点作于点．若，，则长为 ．
考点二 与三角形有关的角
1．（2024山西长治·期中）如图．在中，平分交于点D．，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024山西大同大同市第二中学校·月考）在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024山西大同·期末）如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024山西忻州·期末）如图，在中，，，，，连接，，则∠A的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024山西运城·期末）定理：三角形的内角和是180°．
已知：是的三个内角．
求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
证明：如图，过点E作直线，使得，∴（*），∴，∴．
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
6．（2024山西临汾·期末）如图所示，如果，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024山西大同大同市第二中学校·月考）如图是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求与，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024山西大同大同市第二中学校·月考）如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为
A． B． C． D．
9．（2024山西·期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
10．（2024山西忻州·二模）如图，直尺上摆放了一个含角的直角三角板，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024山西吕梁·期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画了两锐角的角平分线，及其交点，小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数都是定值，则这个定值为（ ）．
A． B． C． D．
12．（2024山西阳泉·期末）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024山西忻州·期末）如图，，，， ．
14．（2024山西运城·期末）如图，在中，是一条角平分线，是边上的高线，，相交于点，若，，则 ．
15．（2024山西长治·期中）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ．
16．（2024山西·期中）如图，一副三角板如图所示摆放，线段是的角平分线，，，点C在上，则 ．
17．（2024山西阳泉·期末）如图，在△ABC中，∠ADB＝∠ABD，∠DAC＝∠DCA，∠BAD＝32°，求∠BAC的度数．
18．（2024山西太原·期末）数学课上，李老师提出下面的问题：
已知：如图，在中，，是的外角的角平分线．
求证：．
小晗的思路如下，请在括号内填写推理依据并完成证明．
证明：∵是的外角，
∴（__________）．
∵，
∴．
……
考点三 多边形及其内角和
1．（2024山西长治·期中）若一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的对角线条数为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．18
2．（2024山西·期中）从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则这个多边形的内角和为（ ）
A．900° B．1080° C．1260° D．1440°
3．（2024山西朔州·期末）一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2024山西大同·期末）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．（2024山西忻州·期末）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
6．（2024山西临汾·期末）小华家房屋地面装修，爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，小华告诉爸爸：只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，这种正多边形地砖的形状可以是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
7．（2024山西吕梁·期中）如图，分别是四边形的外角和的平分线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024山西·期中）小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转，接着沿直线前进6米后，再向左转……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
9．（2024山西吕梁·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则的度数和为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024山西朔州·二模）如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024山西晋中·期末）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是 °．
12．（2024山西临汾·期末）小红将正五边形卡片和正六边形卡片按如图所示的位置摆放，摆成了一个形状像葫芦的图形，现连接和，则的度数为 ．
13．（2024山西阳泉·期末）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
14．（2024山西·期中）一个正五边形和一个正六边形按如图所示方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则的度数是 度．
15．（2024山西太原·期末）“交木如井．画以藻文”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．如图，是一副“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形．这个正八边形的每个内角的度数为 ．
16．（2024山西·期中）已知一个多边形的边数为．
(1)若，求这个多边形的内角和．
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求的值．
17．（2024山西临汾·期末）在学习《多边形的内角和》这一节课时，老师给同学们出了一道讨论题，第一数学小组小亮同学和你分别想到了两种不同的解答方法，请认真阅读以下内容，并补充完整．
问题：一个多边形的内角和与它的一个外角的度数之和为，求此多边形的边数和这个外角的度数？
(1)小亮想到方法如下：
解：设这个多边形的边数为，这个外角的度数为，
根据题意得：
……请将过程补充完整．
(2)你想到的方法与小亮不同，你的解法是：
18．（2024山西运城·期末）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
参考答案
考点一 与三角形有关的线段
1．【答案】A
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，利用三角形三边的关系可知，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．据此判断．
【详解】解：A．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比上面那根木棒长，这两段相减比上面那根木棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形；
B．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根木棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形；
C．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段相减比下面那根木棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形；
D．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来和下面那根木棒相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形．
故此题答案为A．
2．【答案】C
【分析】根据图示，三角形的性质即可求解，
【详解】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性，
故此题答案为C．
3．【答案】B
【分析】根据非负数的性质可得，再由三角形的三边关系，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵a、b、c是三角形的三边，
∴，
即，
∴这个三角形的第三边可以是3．
故此题答案为B
4．【答案】B
【分析】根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果．
【详解】解：A．，不满足两边之和大于第三边，该三条线段不能组成三角形，该选项不符合题意；
B．，满足任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，该三条线段可以组成三角形，该选项符合题意；
C．，不满足两边之和大于第三边，该三条线段不能组成三角形，该选项不符合题意；
D．，不满足两边之和大于第三边，该三条线段不能组成三角形，该选项不符合题意．
故此题答案为B．
5．【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系即可判断第三根木棒的取值范围．
【详解】解：设第三根木棒的长度为，
∴，
∴，
观察各个选项，只有D选项是符合的，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式即可．
6．【答案】A
【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．
【详解】解：①边上的中线：如图1，使点，重合，中点为点，连接，此时即为边上的中线；
②的平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线；
③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高．
综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．
故此题答案为A．
7．【答案】C
【分析】此题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可．
【详解】解：∵点是中边上的点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故此题答案为C．
8．【答案】
【分析】利用三角形的中线将三角形的面积平分，分别求出，，，，的面积，即可求得答案．
【详解】如图，连结，
∵，点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
∴．
9．【答案】2
【分析】如图所示，连接，设，，根据三角形中线平分三角形面积得到，，，由此根据三角形面积之间的关系建立方程组求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，设，，
∵的两条中线，相交于点，
∴，，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
10．【答案】/
【分析】连接，由三角形中线的性质可得，由为线段的中点可得，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
是的中线，，
，
为线段的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形是解题的关键．
考点二 与三角形有关的角
1．【答案】A
【分析】本题考查的是与角平分线的三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故此题答案为：A．
2．【答案】B
【分析】根据题意可得，据此可求得答案．
【详解】根据题意，得．
可得．
则．
故此题答案为B．
3．【答案】D
【分析】此题考查三角形内角和定理的应用．熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．
先在中，根据三角形内角和求出，再在中，根据三角形内角和定理得，即可求解．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】延长交于点H，由三角形的内角和可求得，再由平行线的性质可得，，从而可得解．
【详解】解：延长交于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故此题答案为C．
【关键点拨】此题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．
5．【答案】C
【分析】将证明过程补充完整，由此可得出结论①不正确，结论②正确，结合得到的结论适用于任何三角形，可得出结论④正确．
【详解】证明：如图，过点E作直线，
使得，
∴（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意；
∴，
∴．故②符合题意；
上述证明得到的结论，适用于任何三角形．
故③不符合题意；④符合题意，
故此题答案为：C．
【关键点拨】此题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，将证明三角形的内角和是的过程补充完整是解题的关键．
6．【答案】B
【分析】连接，由三角形内角和外角的关系可知，由四边形内角和是，即可求，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴；
故此题答案为B．
7．【答案】C
【分析】根据三角形的外角的性质，得到，，角平分线得到，
进而得出结论即可．
【详解】解：∵是的外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
故此题答案为C．
8．【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据是的高，得出，再根据三角形内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】解：中已知，，
．
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
，
．
故此题答案为B．
9．【答案】B
【分析】设∠B＝x，则∠A＝x，∠C＝2x，根据三角形的内角和定理列出方程，求出x的值，即可确定三角形的形状．
【详解】解：∵
设∠B＝x，则∠A＝x，∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+x+2x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理和运用方程思想是解题的关键．
10．【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理得，再根据平行线的性质可得结论．
【详解】解：如图，
∵一个含角的直角三角板，
∴，
∵，
∴，
由题意知：，
∴．
故此题答案为D．
11．【答案】A
【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
故此题答案为．
12．【答案】D
【分析】延长交于点F，再平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求．
此题主要考查平行线的性质与三角形外角定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【详解】解：延长交于点F，如图，
∵，，
∴，
∵，是的外角，
∴．
故此题答案为D．
13．【答案】/75度
【分析】此题考查了三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故此题答案为：．
14．【答案】/度
【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】是边上的高线，
，
，
，
，
故此题答案为：．
15．【答案】75°/75度
【分析】根据三角板的内角的度数和外角的性质进行计算即可．
【详解】解：∵的三角板的另一个锐角度数为：，
∴
16．【答案】120°/120度
【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角．根据角平分线，得到，再根据外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∵线段是的角平分线，
∴，
∴；
故此题答案为：．
17．【答案】69°
【分析】由题意，在△ABC中，根据三角形的内角和可以求出底角∠ADB，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠DAC，由角的和差即可即可求出结论．
【详解】在三角形ABD中，
∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣32°）＝74°，
在三角形ADC中，
∠DAC＝∠DCA＝∠ADB＝37°，
∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝37°+32°＝69°．
【关键点拨】此题考查三角形的内角和定理，内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．
18．【答案】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；证明见解析
【分析】根据三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定即可求解．
【详解】证明：∵是的外角，
∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【关键点拨】此题考查三角形外角的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．
考点三 多边形及其内角和
1．【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理与多边形的对角线条数多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数，然后根据对角线的总条数计算即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
∴多边形的边数为．
∴对角线的总条数，
故此题答案为：C．
2．【答案】B
【分析】
设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得n-3=5，求出n的值，再根据多边形内角和公式可得答案.
【详解】
解：设多边形边数为n，由题意得：
n﹣3＝5，
n＝8，
内角和：180°×（8﹣2）＝1080°．
故选：B．
【点睛】
本题考查多边的对角线，多边形内角和.掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线和n边形的内角和公式是解决此题的关键.
3．【答案】C
【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，则多边形的内角和是度；边形的内角和是，则可以设这个多边形的边数是，这样就可以列出方程，解之即可．
【详解】解：多边形的内角和是度，设这个多边形的边数是，根据题意得：，
解得，即这个多边形的边数是7．
故此题答案为C．
4．【答案】A
【分析】设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解方程可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．
【详解】解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，
由题意得：x+3x=180，
解得x=45，
这个多边形的边数：360°÷45°=8，
故此题答案为A．
5．【答案】D
【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
6．【答案】B
【分析】根据题意，先清楚正八边形的每个内角度数为，再求出所给选项中的图形每个内角的度数，看其能否够成的周角，并以此为依据进行求解判断即可．
【详解】解：A项，正八边形、正三角形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意；
B项，正方形、正八边形的每个内角度数分别为，，由于，所以能铺满，符合题意
C项，正八边形、正五边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意
D项，正六边形和正八边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意．
故此题答案为B．
7．【答案】C
【分析】本题考查三角形和四边形的内角与外角，根据三角形内角和定理，四边形的内角和与平角的定义可得结论．
【详解】解：由四边形内角和可得，
∵，
∴，
∵分别是和的平分线，
∴，
∴．
故此题答案为：C．
8．【答案】A
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用72÷6=12，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：72÷6=12，
根据多边形的外角和为360°，
∴他每次转动θ的角度为：360°÷12=30°，
故此题答案为：A．
【关键点拨】本题考查了多边形的外角和，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．
9．【答案】C
【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案．
【详解】解：多边形的外角和为，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为C．
10．【答案】C
【详解】解：将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，
剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为，
故此题答案为C．
11．【答案】
【分析】根据多边形的外角和是可求出处的外角，进而求解．
【详解】解：如图，
设处的外角为，则，
∵，
∴，
∴
12．【答案】/66度
【分析】根据题意可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：在正五边形卡片和正六边形卡片中，
，
∴，
∴．
13．【答案】144°．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故此题答案为：144°．
【关键点拨】此题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键．
14．【答案】84
【分析】设直线l与正五边形和正六边形的交点为C、D，根据多边形内角计算公式可得：，，则有，，进而根据三角形内角和定理可求得，然后根据周角可求解．
【详解】解：设直线l与正五边形和正六边形的交点为C、D，如图所示：
∵一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且根据多边形内角和可得：
∴，，
根据领补角可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为84°．
【点睛】本题主要考查正多边形内角的计算及三角形内角和定理，正确理解正多边形的内角的算法是解题的关键．
15．【答案】135
【分析】根据多边形内角和公式列式计算即可解答；
【详解】“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形，
这个正八边形的每个内角的度数为
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多边形的内角和公式，代值求解即可得到答案；
（2）根据多边形内角和公式及四边形外角和为，由题意列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：多边形的内角和公式为，
，这个多边形的内角和；
（2）解：多边形的内角和公式为，四边形的外角和为，
由题意可得，解得．
17．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设这个多边形的边数为，这个外角的度数为，根据题意表示出，再结合，求出的取值范围，即可得出答案；
（2）设这个多边形的边数为，由题意得：，求出边数即可得出答案．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，这个外角的度数为，
根据题意得：
，
∵，
∴，
解得：，
∵为正整数，
∴，
∴；
（2）解：设这个多边形的边数为，
由题意得：，
解得：：，
∵为正整数，
∴，
∴这个外角为．
18．【答案】(1) 1 2
(2) 2 3
(3)
(4)103
【分析】此题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究．
（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）如图1：
经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故此题答案为：1，2
（2）如图2：
经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
故此题答案为：2，3．
（3）∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形；
经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形；
经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形；
经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形；
……
∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形；
故此题答案为：，．
（4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴根据（3）中结论可得，，
∴，
故此题答案为：103．
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专项复习提升（一） 三角形
考点一 与三角形有关的线段
1．（2024山西朔州·期末）如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，利用三角形三边的关系可知，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．据此判断．
【详解】解：A．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比上面那根木棒长，这两段相减比上面那根木棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形；
B．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根木棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形；
C．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段相减比下面那根木棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形；
D．图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来和下面那根木棒相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形．
故此题答案为A．
2．（2024山西太原·期末）如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，造型美观．其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边
【答案】C
【分析】根据图示，三角形的性质即可求解，
【详解】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性，
故此题答案为C．
3．（2024山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足，那么这个三角形的第三边可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据非负数的性质可得，再由三角形的三边关系，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵a、b、c是三角形的三边，
∴，
即，
∴这个三角形的第三边可以是3．
故此题答案为B
4．（2024山西晋中·期末）下列长度的三条线段，首尾顺次连接能够搭成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm
C．3cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，10cm
【答案】B
【分析】根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果．
【详解】解：A．，不满足两边之和大于第三边，该三条线段不能组成三角形，该选项不符合题意；
B．，满足任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，该三条线段可以组成三角形，该选项符合题意；
C．，不满足两边之和大于第三边，该三条线段不能组成三角形，该选项不符合题意；
D．，不满足两边之和大于第三边，该三条线段不能组成三角形，该选项不符合题意．
故此题答案为B．
5．（2023山西晋中·期末）数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系即可判断第三根木棒的取值范围．
【详解】解：设第三根木棒的长度为，
∴，
∴，
观察各个选项，只有D选项是符合的，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式即可．
6．（2023山西运城·期末）如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．
【详解】解：①边上的中线：如图1，使点，重合，中点为点，连接，此时即为边上的中线；
②的平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线；
③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高．
综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．
故此题答案为A．
7．（2024山西大同·期末）如图，点是中边上的点，连接，点是的中点，连接，若的面积为8，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】此题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可．
【详解】解：∵点是中边上的点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故此题答案为C．
8．（2024山西临汾·期末）如图，在中，点分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】利用三角形的中线将三角形的面积平分，分别求出，，，，的面积，即可求得答案．
【详解】如图，连结，
∵，点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
∴．
9．（2023山西长治·期末）如图，的两条中线，相交于点，已知的面积为6，则四边形的面积为 ．
【答案】2
【分析】如图所示，连接，设，，根据三角形中线平分三角形面积得到，，，由此根据三角形面积之间的关系建立方程组求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，设，，
∵的两条中线，相交于点，
∴，，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
10．（2023山西晋中·期末）如图，是的中线，为线段的中点，过点作于点．若，，则长为 ．
【答案】/
【分析】连接，由三角形中线的性质可得，由为线段的中点可得，最后由进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
是的中线，，
，
为线段的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形是解题的关键．
考点二 与三角形有关的角
1．（2024山西长治·期中）如图．在中，平分交于点D．，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是与角平分线的三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故此题答案为：A．
2．（2024山西大同大同市第二中学校·月考）在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，据此可求得答案．
【详解】根据题意，得．
可得．
则．
故此题答案为B．
3．（2024山西大同·期末）如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查三角形内角和定理的应用．熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．
先在中，根据三角形内角和求出，再在中，根据三角形内角和定理得，即可求解．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故此题答案为D．
4．（2024山西忻州·期末）如图，在中，，，，，连接，，则∠A的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长交于点H，由三角形的内角和可求得，再由平行线的性质可得，，从而可得解．
【详解】解：延长交于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故此题答案为C．
【关键点拨】此题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用．
5．（2024山西运城·期末）定理：三角形的内角和是180°．
已知：是的三个内角．
求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
证明：如图，过点E作直线，使得，∴（*），∴，∴．
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】C
【分析】将证明过程补充完整，由此可得出结论①不正确，结论②正确，结合得到的结论适用于任何三角形，可得出结论④正确．
【详解】证明：如图，过点E作直线，
使得，
∴（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意；
∴，
∴．故②符合题意；
上述证明得到的结论，适用于任何三角形．
故③不符合题意；④符合题意，
故此题答案为：C．
【关键点拨】此题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，将证明三角形的内角和是的过程补充完整是解题的关键．
6．（2024山西临汾·期末）如图所示，如果，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由三角形内角和外角的关系可知，由四边形内角和是，即可求，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴；
故此题答案为B．
7．（2024山西大同大同市第二中学校·月考）如图是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求与，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的外角的性质，得到，，角平分线得到，
进而得出结论即可．
【详解】解：∵是的外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
故此题答案为C．
8．（2024山西大同大同市第二中学校·月考）如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据是的高，得出，再根据三角形内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】解：中已知，，
．
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
，
．
故此题答案为B．
9．（2024山西·期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】设∠B＝x，则∠A＝x，∠C＝2x，根据三角形的内角和定理列出方程，求出x的值，即可确定三角形的形状．
【详解】解：∵
设∠B＝x，则∠A＝x，∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+x+2x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理和运用方程思想是解题的关键．
10．（2024山西忻州·二模）如图，直尺上摆放了一个含角的直角三角板，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理得，再根据平行线的性质可得结论．
【详解】解：如图，
∵一个含角的直角三角板，
∴，
∵，
∴，
由题意知：，
∴．
故此题答案为D．
11．（2024山西吕梁·期中）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画了两锐角的角平分线，及其交点，小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数都是定值，则这个定值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
故此题答案为．
12．（2024山西阳泉·期末）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长交于点F，再平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求．
此题主要考查平行线的性质与三角形外角定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【详解】解：延长交于点F，如图，
∵，，
∴，
∵，是的外角，
∴．
故此题答案为D．
13．（2024山西忻州·期末）如图，，，， ．
【答案】/75度
【分析】此题考查了三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故此题答案为：．
14．（2024山西运城·期末）如图，在中，是一条角平分线，是边上的高线，，相交于点，若，，则 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】是边上的高线，
，
，
，
，
故此题答案为：．
15．（2024山西长治·期中）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ．
【答案】75°/75度
【分析】根据三角板的内角的度数和外角的性质进行计算即可．
【详解】解：∵的三角板的另一个锐角度数为：，
∴
16．（2024山西·期中）如图，一副三角板如图所示摆放，线段是的角平分线，，，点C在上，则 ．
【答案】120°/120度
【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角．根据角平分线，得到，再根据外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，
∵线段是的角平分线，
∴，
∴；
故此题答案为：．
三、解答题（本大题共2小题）
17．（2024山西阳泉·期末）如图，在△ABC中，∠ADB＝∠ABD，∠DAC＝∠DCA，∠BAD＝32°，求∠BAC的度数．
【答案】69°
【分析】由题意，在△ABC中，根据三角形的内角和可以求出底角∠ADB，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠DAC，由角的和差即可即可求出结论．
【详解】在三角形ABD中，
∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣32°）＝74°，
在三角形ADC中，
∠DAC＝∠DCA＝∠ADB＝37°，
∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝37°+32°＝69°．
【关键点拨】此题考查三角形的内角和定理，内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．
18．（2024山西太原·期末）数学课上，李老师提出下面的问题：
已知：如图，在中，，是的外角的角平分线．
求证：．
小晗的思路如下，请在括号内填写推理依据并完成证明．
证明：∵是的外角，
∴（__________）．
∵，
∴．
……
【答案】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；证明见解析
【分析】根据三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定即可求解．
【详解】证明：∵是的外角，
∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【关键点拨】此题考查三角形外角的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键．
考点三 多边形及其内角和
1．（2024山西长治·期中）若一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的对角线条数为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．18
【答案】C
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理与多边形的对角线条数多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数，然后根据对角线的总条数计算即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
∴多边形的边数为．
∴对角线的总条数，
故此题答案为：C．
2．（2024山西·期中）从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，则这个多边形的内角和为（ ）
A．900° B．1080° C．1260° D．1440°
【答案】B
【分析】
设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得n-3=5，求出n的值，再根据多边形内角和公式可得答案.
【详解】
解：设多边形边数为n，由题意得：
n﹣3＝5，
n＝8，
内角和：180°×（8﹣2）＝1080°．
故选：B．
【点睛】
本题考查多边的对角线，多边形内角和.掌握n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线和n边形的内角和公式是解决此题的关键.
3．（2024山西朔州·期末）一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，则多边形的内角和是度；边形的内角和是，则可以设这个多边形的边数是，这样就可以列出方程，解之即可．
【详解】解：多边形的内角和是度，设这个多边形的边数是，根据题意得：，
解得，即这个多边形的边数是7．
故此题答案为C．
4．（2024山西大同·期末）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【分析】设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解方程可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．
【详解】解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，
由题意得：x+3x=180，
解得x=45，
这个多边形的边数：360°÷45°=8，
故此题答案为A．
5．（2024山西忻州·期末）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
【答案】D
【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
6．（2024山西临汾·期末）小华家房屋地面装修，爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，小华告诉爸爸：只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，这种正多边形地砖的形状可以是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】B
【分析】根据题意，先清楚正八边形的每个内角度数为，再求出所给选项中的图形每个内角的度数，看其能否够成的周角，并以此为依据进行求解判断即可．
【详解】解：A项，正八边形、正三角形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意；
B项，正方形、正八边形的每个内角度数分别为，，由于，所以能铺满，符合题意
C项，正八边形、正五边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意
D项，正六边形和正八边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意．
故此题答案为B．
7．（2024山西吕梁·期中）如图，分别是四边形的外角和的平分线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形和四边形的内角与外角，根据三角形内角和定理，四边形的内角和与平角的定义可得结论．
【详解】解：由四边形内角和可得，
∵，
∴，
∵分别是和的平分线，
∴，
∴．
故此题答案为：C．
8．（2024山西·期中）小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转，接着沿直线前进6米后，再向左转……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了72米，的度数为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．72°
【答案】A
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用72÷6=12，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：72÷6=12，
根据多边形的外角和为360°，
∴他每次转动θ的角度为：360°÷12=30°，
故此题答案为：A．
【关键点拨】本题考查了多边形的外角和，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．
9．（2024山西吕梁·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则的度数和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案．
【详解】解：多边形的外角和为，
∴，
∵，
∴，
故此题答案为C．
10．（2024山西朔州·二模）如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，
剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为，
故此题答案为C．
11．（2024山西晋中·期末）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是 °．
【答案】
【分析】根据多边形的外角和是可求出处的外角，进而求解．
【详解】解：如图，
设处的外角为，则，
∵，
∴，
∴
12．（2024山西临汾·期末）小红将正五边形卡片和正六边形卡片按如图所示的位置摆放，摆成了一个形状像葫芦的图形，现连接和，则的度数为 ．
【答案】/66度
【分析】根据题意可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：在正五边形卡片和正六边形卡片中，
，
∴，
∴．
13．（2024山西阳泉·期末）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是 ．
【答案】144°．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C＝＝108°，BC＝DC，
∴∠BDC＝＝36°，
∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故此题答案为：144°．
【关键点拨】此题考查了正五边形的性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质和邻补角的定义，求出正五边形的内角是解题关键．
14．（2024山西·期中）一个正五边形和一个正六边形按如图所示方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则的度数是 度．
【答案】84
【分析】设直线l与正五边形和正六边形的交点为C、D，根据多边形内角计算公式可得：，，则有，，进而根据三角形内角和定理可求得，然后根据周角可求解．
【详解】解：设直线l与正五边形和正六边形的交点为C、D，如图所示：
∵一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且根据多边形内角和可得：
∴，，
根据领补角可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为84°．
【点睛】本题主要考查正多边形内角的计算及三角形内角和定理，正确理解正多边形的内角的算法是解题的关键．
15．（2024山西太原·期末）“交木如井．画以藻文”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井．如图，是一副“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形．这个正八边形的每个内角的度数为 ．
【答案】135
【分析】根据多边形内角和公式列式计算即可解答；
【详解】“藻井”的图案、其外轮廓为正八边形，
这个正八边形的每个内角的度数为
三、解答题（本大题共3小题）
16．（2024山西·期中）已知一个多边形的边数为．
(1)若，求这个多边形的内角和．
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多边形的内角和公式，代值求解即可得到答案；
（2）根据多边形内角和公式及四边形外角和为，由题意列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：多边形的内角和公式为，
，这个多边形的内角和；
（2）解：多边形的内角和公式为，四边形的外角和为，
由题意可得，解得．
17．（2024山西临汾·期末）在学习《多边形的内角和》这一节课时，老师给同学们出了一道讨论题，第一数学小组小亮同学和你分别想到了两种不同的解答方法，请认真阅读以下内容，并补充完整．
问题：一个多边形的内角和与它的一个外角的度数之和为，求此多边形的边数和这个外角的度数？
(1)小亮想到方法如下：
解：设这个多边形的边数为，这个外角的度数为，
根据题意得：
……请将过程补充完整．
(2)你想到的方法与小亮不同，你的解法是：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设这个多边形的边数为，这个外角的度数为，根据题意表示出，再结合，求出的取值范围，即可得出答案；
（2）设这个多边形的边数为，由题意得：，求出边数即可得出答案．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，这个外角的度数为，
根据题意得：
，
∵，
∴，
解得：，
∵为正整数，
∴，
∴；
（2）解：设这个多边形的边数为，
由题意得：，
解得：：，
∵为正整数，
∴，
∴这个外角为．
18．（2024山西运城·期末）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】(1) 1 2
(2) 2 3
(3)
(4)103
【分析】此题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究．
（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）如图1：
经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故此题答案为：1，2
（2）如图2：
经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
故此题答案为：2，3．
（3）∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形；
经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形；
经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形；
经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形；
……
∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形；
故此题答案为：，．
（4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴根据（3）中结论可得，，
∴，
故此题答案为：103．
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