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专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的判定与性质
1．（2024山西阳泉·期末）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
2．（2024山西忻州·期末）如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024山西朔州·期末）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024山西长治·期末）如图，，分别是锐角的高，，相交于点，若，，，则的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
6．（2024山西长治·期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024山西太原·期末）如图，，，要使，则可添加的一个条件是 （写出一个即可）．
8．（2024山西忻州·期末）如图，中，，，，线段，点、分别在线段和与垂直的射线上移动，当 时，和全等．
9．（2024山西晋中·期末）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点F．若，则线段的长为 ．
10．（2024山西长治·期末）如图，在直角三角形中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，若，，则 ．
11．（2024山西临汾·期末）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．
(1)若，，求；
(2)若，求．
12．（2024山西太原·期末）如图，已知点B，C，E，F在同一条直线上，，，，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．
13．（2024山西阳泉·期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数．
14．（2024山西大同·期末）如图，是的平分线，是上的一点，，垂足分别为．点是上的另一点，连接．求证：．
15．（2024山西朔州·期末）小明利用一根长为的竿子来测量路灯杆的高度（），方法如下：如图，在地面上选一点P，使，然后把在的延长线上左右移动，使，且，此时测得．
(1)求证：．
(2)求路灯杆的高度．
16．（2024山西晋中·期末）综合与探究
如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为．
(1)______cm（用含t的代数式表示）；
(2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由．
17．（2024山西忻州·期末）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断，，之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
18．（2024山西大同·期末）阅读下面材料，完成相应任务：
尺规作图
尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线，射线或线段．圆规用来画弧，圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形．
在数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法．
已知：求作：的平分线．
小明的作法：如图①，在射线上取点，分别以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接交于点，过点画射线，则射线为的平分线．
小华的思路：如图②，在上任取一点，在的右侧作射线，使得，在射线上取一点，使，过点画射线，则射线是的平分线．
赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，在感受教材作法简洁的同时体会它们的共同之处，即基于角的轴对称性构造全等三角形，得出两个相等的角．
任务一：小明的作法中，可以得出，请你写出这一结论所依据的数学定理或基本事实．
任务二：根据小华的思路完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，在图②中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）根据小华的作法，证明是的平分线．
19．（2024山西大同·期末）综合与探索
问题发现：则图①，中，，直线l经过于点于点，请直接写出与的数量关系______；
类比探究：（1）如图②，在中，三点都在直线上，且，猜想的数量关系并证明；
（2）如图③，在中，，D，A，E三点都在直线l上，直线与交于点，则线段又有怎样的数量关系，写出结论并证明．
考点二 角平分线的性质
1．（2024山西太原·期末）在中，，平分交于点D．若，，则点D到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024山西长治·期末）如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．36
3．（2024山西阳泉·期末）如图，在中，是的角平分线，于点．若，，则的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
4．（2024山西吕梁·期中）如图，平分，，是上的动点，若，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024山西大同·月考）在中，，尺规作图的痕迹如图所示．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2024山西朔州·期中）如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，则下列结论：①△BEC≌△CDB，②△ABC是等腰三角形，③AE=AD，④点O在∠BAC的平分线上，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024山西·期中）如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024山西太原·期末）如图，在中，线段是的角平分线，若，，则点D到的距离为 ．
9．（2024山西朔州·期中）如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为 cm．
10．（2024山西太原十中·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是 ．
11．（2024山西忻州·期末）如图，地块△ABC中，边AB＝40 m，AC＝30 m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320 m2，则地块△ACD的面积为 m2．
12．（2024山西长治·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交边于点D．若，则的面积是 ．
13．（2022山西临汾·期末）如图，在中，AD是的平分线，，，则 ．
14．（2022山西运城·期末）如图，在中，，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，依次类推，与的角平分线交于点，则的度数是 ．
15．（2022山西吕梁·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
16．（2024山西太原·期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点E，的延长线交线段于点F，连接．若，则的度数为 ．（用含的式子表示）
参考答案
考点一 全等三角形的判定与性质
1．【答案】A
【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．
【详解】解：与是对应角，和是对应角，
和是对应角，
与是对应边，
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
2．【答案】A
【分析】根据定理或定理即可得．
【详解】解：在和中，已有，
要使，只需增加一组对应边相等或对应角即可，
即需增加的条件是，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故此题答案为择：A．
【关键点拨】此题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
3．【答案】D
【分析】由点，分别是，的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明
【详解】解：∵点，分别是，的三等分点，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵，
∴
故此题答案为C
5．【答案】B
【分析】
先得出，再利用证明，则有，进而根据线段的和差即可求解．
【详解】解：，分别是锐角的高，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故此题答案为B．
6．【答案】A
【分析】此题考查全等三角形在实际生活中的应用．结合题目已知的条件判断即可．
【详解】做法中用到的三角形全等的判定方法是
证明如下：
由题意得，，
在和中，
，
∴，
所以，
故的平分线．
故此题答案为A．
7．【答案】（答案不唯一）
【分析】全等三角形的判定定理有：．
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，
∴，即，
又∵，，
∴
8．【答案】或
【详解】解：，
根据三角形全等的判定方法可知，
当运动到时，，此时，
当运动到与重合时，，此时，
综上所述，或时，和全等
9．【答案】
【分析】连接，利用证明，得到，，再证明，得到，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
10．【答案】7
【分析】由角平分线的性质可得，，由三角形内角和定理可求，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由全等三角形的性质可得．
【详解】解：的角平分线、相交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
．
故此题答案为7．
11．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，，得，，即可得；
（2）根据得，根据得，，则，根据得，可得，即可得
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
；
（2）解：∵，
，
∵，
，，
，
∵，
，
，
．
12．【答案】，，理由见解析
【分析】根据平行线的性质可知．再根据，可得出．即可利用“”证明，即得出，，根据平性线的判定定理即得出．
【详解】解：，，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，，
∴．
13．【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，即可得到．
【详解】解：∵，
，
即．
在与中，
．
．
∵，
．
14．【答案】见解析
【分析】此题考查的是三角形全等的证明方法，；灵活运用证明两三角形全等是解题的关键．据角平分线的性质，得，根据三角形的外角的性质，得，再根据证明，则.
【详解】证明：是的平分线，是上的一点，，
垂足分别为
．
在和中，
．
是的平分线，
在和中
15．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的应用：
（1）根据题意求出，根据即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得路灯杆的高度．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵
∴
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
16．【答案】(1)
(2)，，理由见解析
(3)存在，的值为或
【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果；
（2）根据运动的速度以及时间得到线段长度，即可求得结果；
（3）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果
【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动，
∴，
∵，
∴cm，
∵，
∴t最大取到s，
∴cm，其中，
故答案为 ；
（2）解：点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，
此时cm，cm，
则cm，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，；
（3）解：由（2）可得，当时，此时，
当，此时，
即，
解得，
，
解得，
∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或．
17．【答案】（1）；（2），理由详见解析.
【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论；
（2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.
【详解】解：（1）.
理由如下：如图①，∵是的平分线，∴
∵，∴，∴，∴.
∵点是的中点，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故此题答案为.
（2）.
理由如下：如图②，延长交的延长线于点.
∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
18．【答案】任务一：边角边；任务二：（1）见解析；（2）见解析
【分析】此题考查角平分线的作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质．
任务一：利用，证明即可；
任务二：（1）根据描述作图即可；
（2）根据平行线的判定和性质，进行判断即可．
掌握角平分线的作图方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】任务一：由作图可知，，
又，
∴；
故依据为：；
任务二：
（1）如图
（2）证明：，
，
，
，
，
，
是的平分线．
19．【答案】问题发现：；类比探究：（1），证明见解析；（2），证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
问题发现：根据直线l，直线l得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”证明即可得出与的数量关系；
类比探究：（1）先证明，然后根据“”证明得出，进而可得的数量；
（2）先证明，然后根据“”证明得出，进而可得的数量；
【详解】问题发现：∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴．
故此题答案为：；
类比探究：
（1）；
证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）．
证明：，，
，
，
，
，
；
在和中，
，
，
，
．
考点二 角平分线的性质
1．【答案】A
【分析】过点D作于E，根据题意求出，根据角平分线的性质求出，得到答案．
【详解】解：过点D作于E，
∵，，
∴，
∵平分，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴，即点D到线段的距离为3，
故此题答案为A．
2．【答案】C
【分析】此题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵平分，，，
，
的面积，
故此题答案为C．
3．【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，过点D作于点F．根据角平分线性质定理得到，利用三角形面积公式即可求得答案，熟练掌握掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点F．
又∵是的角平分线，于点．，
∴，
又∵，
∴的面积为．
故此题答案为B
4．【答案】A
【分析】过点P作于点E，由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：过点P作于点E，如图所示：
∵平分，，，
∴，
∴；
故此题答案A．
5．【答案】D
【分析】由作法得：平分，，根据角平分线的性质定理可得，可证明，从而得到，根据即可求解．
【详解】解：由作法得：平分，，
∵，即，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为D．
6．【答案】D
【分析】根据已知条件逐一对选项进行分析．
【详解】①中，，
，
在和中，，
，故①正确；
②中，，
，
，
是等腰三角形，故②正确；
③中，，
，
，
，即，故③正确；
④中，，
，
，
，即，
又，
∴点O在的平分线上，故④正确．
综上所述：正确的有4个．
【关键点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及角平分线的性质的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并灵活应用是解题的关键．
7．【答案】D
【分析】过O分别作，，，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过O分别作，，，
BO是平分线，
，
CO是平分线，
，
，
，，，
．
故此题答案为：D．
【关键点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是本题的关键．
8．【答案】2
【分析】过点D作于E，先求出，再证明，得到，则点D到的距离为2．
【详解】解：如图所，过点D作于E，
∴，
∵，，
∴，
∵线段是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点D到的距离为2
9．【答案】5
【分析】根据平分即可求解．
【详解】解：由题意得：平分
∵点P到的距离，
∴点P到直线的距离为5 cm．
10．【答案】6
【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于F，根据角平分线定理得到，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作于F，如图，
∵是中的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
11．【答案】120
【分析】利用角平分线的性质定理证明，再根据△ABD的面积为320 m2，求出，即可求出△ACD的面积．
【详解】解：作，
∵AD是的角平分线，
∴，
∵AB＝40 m，AC＝30 m，△ABD的面积为320 m2，
∴，解得：，
∴，
∴△ACD的面积为．
故此题答案为：24
【关键点拨】此题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出．
12．【答案】24
【分析】本题考查角平分线的性质和求三角形面积，过点D作，根据角平分线的性质可得，进而可求解．
【详解】解：过点D作，如图，
由作图可知：平分，
∵，，
∴，
∵，
∴的面积为：，
故此题答案为：24．
13．【答案】5：4
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再由三角形面积公式可求得结论．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图，
∵AD是的平分线，
∴DE=DF
∵，，
∴
故答案为：5：4
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．【答案】60°##60度
【分析】根据题意易得，然后根据三角形内角和，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：∵，与的角平分线交于点，
∴，
∴，即，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
同理可得：；
故答案为60°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及三角形内角和，熟练掌握角平分线的定义及三角形内角和是解题的关键．
15．【答案】4
【分析】
根据三角形的面积公式求得CD，再根据角平分的性质求得DE，根据平行线之间的距离可得AP的最小值．
【详解】
解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴,即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴,
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，平行线之间的距离，理解平行线之间距离的定义和点到直线的距离垂线段最短是解题关键．
16．【答案】
【分析】作和边上的高，证明是的角平分线，再根据四边形内角和定理即可求解．
【详解】解：作和边上的高，
由题意得，
∴，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴
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专项复习提升（二） 全等三角形
考点一 全等三角形的判定与性质
1．（2024山西阳泉·期末）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是对应边 B．与是对应边
C．与是对应边 D．不能确定 的对应边
【答案】A
【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．
【详解】解：与是对应角，和是对应角，
和是对应角，
与是对应边，
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．
2．（2024山西忻州·期末）如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据定理或定理即可得．
【详解】解：在和中，已有，
要使，只需增加一组对应边相等或对应角即可，
即需增加的条件是，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故此题答案为择：A．
【关键点拨】此题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
3．（2024山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点，分别是，的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明
【详解】解：∵点，分别是，的三等分点，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
故此题答案为D．
4．（2024山西朔州·期末）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵，
∴
故此题答案为C
5．（2024山西长治·期末）如图，，分别是锐角的高，，相交于点，若，，，则的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【答案】B
【分析】
先得出，再利用证明，则有，进而根据线段的和差即可求解．
【详解】解：，分别是锐角的高，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故此题答案为B．
6．（2024山西长治·期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查全等三角形在实际生活中的应用．结合题目已知的条件判断即可．
【详解】做法中用到的三角形全等的判定方法是
证明如下：
由题意得，，
在和中，
，
∴，
所以，
故的平分线．
故此题答案为A．
二、填空题（本大题共4小题）
7．（2024山西太原·期末）如图，，，要使，则可添加的一个条件是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】全等三角形的判定定理有：．
【详解】解：添加条件，理由如下：
∵，
∴，即，
又∵，，
∴
8．（2024山西忻州·期末）如图，中，，，，线段，点、分别在线段和与垂直的射线上移动，当 时，和全等．
【答案】或
【详解】解：，
根据三角形全等的判定方法可知，
当运动到时，，此时，
当运动到与重合时，，此时，
综上所述，或时，和全等
9．（2024山西晋中·期末）如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，延长交于点F．若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】连接，利用证明，得到，，再证明，得到，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
10．（2024山西长治·期末）如图，在直角三角形中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，若，，则 ．
【答案】7
【分析】由角平分线的性质可得，，由三角形内角和定理可求，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由全等三角形的性质可得．
【详解】解：的角平分线、相交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
．
故此题答案为7．
三、解答题（本大题共9小题）
11．（2024山西临汾·期末）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．
(1)若，，求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，，得，，即可得；
（2）根据得，根据得，，则，根据得，可得，即可得
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
；
（2）解：∵，
，
∵，
，，
，
∵，
，
，
．
12．（2024山西太原·期末）如图，已知点B，C，E，F在同一条直线上，，，，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】，，理由见解析
【分析】根据平行线的性质可知．再根据，可得出．即可利用“”证明，即得出，，根据平性线的判定定理即得出．
【详解】解：，，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，，
∴．
13．（2024山西阳泉·期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，即可得到．
【详解】解：∵，
，
即．
在与中，
．
．
∵，
．
14．（2024山西大同·期末）如图，是的平分线，是上的一点，，垂足分别为．点是上的另一点，连接．
求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查的是三角形全等的证明方法，；灵活运用证明两三角形全等是解题的关键．据角平分线的性质，得，根据三角形的外角的性质，得，再根据证明，则.
【详解】证明：是的平分线，是上的一点，，
垂足分别为
．
在和中，
．
是的平分线，
在和中
15．（2024山西朔州·期末）小明利用一根长为的竿子来测量路灯杆的高度（），方法如下：如图，在地面上选一点P，使，然后把在的延长线上左右移动，使，且，此时测得．
(1)求证：．
(2)求路灯杆的高度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的应用：
（1）根据题意求出，根据即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得路灯杆的高度．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵
∴
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
16．（2024山西晋中·期末）综合与探究
如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为．
(1)______cm（用含t的代数式表示）；
(2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，，理由见解析
(3)存在，的值为或
【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果；
（2）根据运动的速度以及时间得到线段长度，即可求得结果；
（3）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果
【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动，
∴，
∵，
∴cm，
∵，
∴t最大取到s，
∴cm，其中，
故答案为 ；
（2）解：点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，
此时cm，cm，
则cm，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，；
（3）解：由（2）可得，当时，此时，
当，此时，
即，
解得，
，
解得，
∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或．
17．（2024山西忻州·期末）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2），理由详见解析.
【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论；
（2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.
【详解】解：（1）.
理由如下：如图①，∵是的平分线，∴
∵，∴，∴，∴.
∵点是的中点，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故此题答案为.
（2）.
理由如下：如图②，延长交的延长线于点.
∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【关键点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
18．（2024山西大同·期末）阅读下面材料，完成相应任务：
尺规作图
尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图．无刻度的直尺不具有度量长度的功能，它用来作经过两点的直线，射线或线段．圆规用来画弧，圆规的两脚还可以截取线段或两点之间的长度．尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构造出符合要求的图形．
在数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法．
已知：求作：的平分线．
小明的作法：如图①，在射线上取点，分别以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接交于点，过点画射线，则射线为的平分线．
小华的思路：如图②，在上任取一点，在的右侧作射线，使得，在射线上取一点，使，过点画射线，则射线是的平分线．
赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，在感受教材作法简洁的同时体会它们的共同之处，即基于角的轴对称性构造全等三角形，得出两个相等的角．
任务一：小明的作法中，可以得出，请你写出这一结论所依据的数学定理或基本事实．
任务二：根据小华的思路完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，在图②中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）根据小华的作法，证明是的平分线．
【答案】任务一：边角边；任务二：（1）见解析；（2）见解析
【分析】此题考查角平分线的作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质．
任务一：利用，证明即可；
任务二：（1）根据描述作图即可；
（2）根据平行线的判定和性质，进行判断即可．
掌握角平分线的作图方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】任务一：由作图可知，，
又，
∴；
故依据为：；
任务二：
（1）如图
（2）证明：，
，
，
，
，
，
是的平分线．
19．（2024山西大同·期末）综合与探索
问题发现：则图①，中，，直线l经过于点于点，请直接写出与的数量关系______；
类比探究：（1）如图②，在中，三点都在直线上，且，猜想的数量关系并证明；
（2）如图③，在中，，D，A，E三点都在直线l上，直线与交于点，则线段又有怎样的数量关系，写出结论并证明．
【答案】问题发现：；类比探究：（1），证明见解析；（2），证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
问题发现：根据直线l，直线l得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”证明即可得出与的数量关系；
类比探究：（1）先证明，然后根据“”证明得出，进而可得的数量；
（2）先证明，然后根据“”证明得出，进而可得的数量；
【详解】问题发现：∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴．
故此题答案为：；
类比探究：
（1）；
证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）．
证明：，，
，
，
，
，
；
在和中，
，
，
，
．
考点二 角平分线的性质
1．（2024山西太原·期末）在中，，平分交于点D．若，，则点D到的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】过点D作于E，根据题意求出，根据角平分线的性质求出，得到答案．
【详解】解：过点D作于E，
∵，，
∴，
∵平分，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴，即点D到线段的距离为3，
故此题答案为A．
2．（2024山西长治·期末）如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．36
【答案】C
【分析】此题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵平分，，，
，
的面积，
故此题答案为C．
3．（2024山西阳泉·期末）如图，在中，是的角平分线，于点．若，，则的面积为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，过点D作于点F．根据角平分线性质定理得到，利用三角形面积公式即可求得答案，熟练掌握掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点F．
又∵是的角平分线，于点．，
∴，
又∵，
∴的面积为．
故此题答案为B
4．（2024山西吕梁·期中）如图，平分，，是上的动点，若，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点P作于点E，由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：过点P作于点E，如图所示：
∵平分，，，
∴，
∴；
故此题答案A．
5．（2024山西大同·月考）在中，，尺规作图的痕迹如图所示．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】由作法得：平分，，根据角平分线的性质定理可得，可证明，从而得到，根据即可求解．
【详解】解：由作法得：平分，，
∵，即，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为D．
6．（2024山西朔州·期中）如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，则下列结论：①△BEC≌△CDB，②△ABC是等腰三角形，③AE=AD，④点O在∠BAC的平分线上，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据已知条件逐一对选项进行分析．
【详解】①中，，
，
在和中，，
，故①正确；
②中，，
，
，
是等腰三角形，故②正确；
③中，，
，
，
，即，故③正确；
④中，，
，
，
，即，
又，
∴点O在的平分线上，故④正确．
综上所述：正确的有4个．
【关键点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及角平分线的性质的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并灵活应用是解题的关键．
7．（2024山西·期中）如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过O分别作，，，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过O分别作，，，
BO是平分线，
，
CO是平分线，
，
，
，，，
．
故此题答案为：D．
【关键点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是本题的关键．
二、填空题（本大题共9小题）
8．（2024山西太原·期末）如图，在中，线段是的角平分线，若，，则点D到的距离为 ．
【答案】2
【分析】过点D作于E，先求出，再证明，得到，则点D到的距离为2．
【详解】解：如图所，过点D作于E，
∴，
∵，，
∴，
∵线段是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点D到的距离为2
9．（2024山西朔州·期中）如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为 cm．
【答案】5
【分析】根据平分即可求解．
【详解】解：由题意得：平分
∵点P到的距离，
∴点P到直线的距离为5 cm．
10．（2024山西太原十中·期中）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是 ．
【答案】6
【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于F，根据角平分线定理得到，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作于F，如图，
∵是中的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
11．（2024山西忻州·期末）如图，地块△ABC中，边AB＝40 m，AC＝30 m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320 m2，则地块△ACD的面积为 m2．
【答案】120
【分析】利用角平分线的性质定理证明，再根据△ABD的面积为320 m2，求出，即可求出△ACD的面积．
【详解】解：作，
∵AD是的角平分线，
∴，
∵AB＝40 m，AC＝30 m，△ABD的面积为320 m2，
∴，解得：，
∴，
∴△ACD的面积为．
故此题答案为：24
【关键点拨】此题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出．
12．（2024山西长治·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线交边于点D．若，则的面积是 ．
【答案】24
【分析】本题考查角平分线的性质和求三角形面积，过点D作，根据角平分线的性质可得，进而可求解．
【详解】解：过点D作，如图，
由作图可知：平分，
∵，，
∴，
∵，
∴的面积为：，
故此题答案为：24．
13．（2022山西临汾·期末）如图，在中，AD是的平分线，，，则 ．
【答案】5：4
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再由三角形面积公式可求得结论．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图，
∵AD是的平分线，
∴DE=DF
∵，，
∴
故答案为：5：4
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．（2022山西运城·期末）如图，在中，，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，依次类推，与的角平分线交于点，则的度数是 ．
【答案】60°##60度
【分析】根据题意易得，然后根据三角形内角和，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：∵，与的角平分线交于点，
∴，
∴，即，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
同理可得：；
故答案为60°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及三角形内角和，熟练掌握角平分线的定义及三角形内角和是解题的关键．
15．（2022山西吕梁·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
【答案】4
【分析】
根据三角形的面积公式求得CD，再根据角平分的性质求得DE，根据平行线之间的距离可得AP的最小值．
【详解】
解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴,即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴,
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，平行线之间的距离，理解平行线之间距离的定义和点到直线的距离垂线段最短是解题关键．
16．（2024山西太原·期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点E，的延长线交线段于点F，连接．若，则的度数为 ．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】作和边上的高，证明是的角平分线，再根据四边形内角和定理即可求解．
【详解】解：作和边上的高，
由题意得，
∴，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴
1．【答案】A
【分析】过点D作于E，根据题意求出，根据角平分线的性质求出，得到答案．
【详解】解：过点D作于E，
∵，，
∴，
∵平分，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴，即点D到线段的距离为3，
故此题答案为A．
2．【答案】C
【分析】此题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵平分，，，
，
的面积，
故此题答案为C．
3．【答案】B
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，过点D作于点F．根据角平分线性质定理得到，利用三角形面积公式即可求得答案，熟练掌握掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：过点D作于点F．
又∵是的角平分线，于点．，
∴，
又∵，
∴的面积为．
故此题答案为B
4．【答案】A
【分析】过点P作于点E，由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：过点P作于点E，如图所示：
∵平分，，，
∴，
∴；
故此题答案A．
5．【答案】D
【分析】由作法得：平分，，根据角平分线的性质定理可得，可证明，从而得到，根据即可求解．
【详解】解：由作法得：平分，，
∵，即，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故此题答案为D．
6．【答案】D
【分析】根据已知条件逐一对选项进行分析．
【详解】①中，，
，
在和中，，
，故①正确；
②中，，
，
，
是等腰三角形，故②正确；
③中，，
，
，
，即，故③正确；
④中，，
，
，
，即，
又，
∴点O在的平分线上，故④正确．
综上所述：正确的有4个．
【关键点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及角平分线的性质的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并灵活应用是解题的关键．
7．【答案】D
【分析】过O分别作，，，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过O分别作，，，
BO是平分线，
，
CO是平分线，
，
，
，，，
．
故此题答案为：D．
【关键点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是本题的关键．
8．【答案】2
【分析】过点D作于E，先求出，再证明，得到，则点D到的距离为2．
【详解】解：如图所，过点D作于E，
∴，
∵，，
∴，
∵线段是的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点D到的距离为2
9．【答案】5
【分析】根据平分即可求解．
【详解】解：由题意得：平分
∵点P到的距离，
∴点P到直线的距离为5 cm．
10．【答案】6
【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于F，根据角平分线定理得到，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作于F，如图，
∵是中的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
11．【答案】120
【分析】利用角平分线的性质定理证明，再根据△ABD的面积为320 m2，求出，即可求出△ACD的面积．
【详解】解：作，
∵AD是的角平分线，
∴，
∵AB＝40 m，AC＝30 m，△ABD的面积为320 m2，
∴，解得：，
∴，
∴△ACD的面积为．
故此题答案为：24
【关键点拨】此题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出．
12．【答案】24
【分析】本题考查角平分线的性质和求三角形面积，过点D作，根据角平分线的性质可得，进而可求解．
【详解】解：过点D作，如图，
由作图可知：平分，
∵，，
∴，
∵，
∴的面积为：，
故此题答案为：24．
13．【答案】5：4
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再由三角形面积公式可求得结论．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图，
∵AD是的平分线，
∴DE=DF
∵，，
∴
故答案为：5：4
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．【答案】60°##60度
【分析】根据题意易得，然后根据三角形内角和，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：∵，与的角平分线交于点，
∴，
∴，即，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
同理可得：；
故答案为60°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及三角形内角和，熟练掌握角平分线的定义及三角形内角和是解题的关键．
15．【答案】4
【分析】
根据三角形的面积公式求得CD，再根据角平分的性质求得DE，根据平行线之间的距离可得AP的最小值．
【详解】
解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴,即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴,
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，平行线之间的距离，理解平行线之间距离的定义和点到直线的距离垂线段最短是解题关键．
16．【答案】
【分析】作和边上的高，证明是的角平分线，再根据四边形内角和定理即可求解．
【详解】解：作和边上的高，
由题意得，
∴，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴
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