中小学教育资源及组卷应用平台
4.3.3.3裂项相消法求数列和---自检定时练--解析版
一、单选题
1．数列，满足，，则的前100项之和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用裂项相消法求和.
【详解】∵,
∴，
∴,
故选：B．
2.已知数列满足，则数列的前8项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对已知等式进行变形，可得数列的特征，由此求出的表达式，再利用裂项相消法求出前8项和.
【详解】依题意，，由两边同时除以，得到，
则数列是以为首项，2为公差的等差数列，，即，
因此，
所以数列的前8项和.
故选：A
3．三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由题意可得，则，然后累加求和即可.
【详解】由题意可得，
则，
则，
又，则，则，
则使数列的前n项和的最小正整数n为7
故选：C.
4.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助所给新定义与等差数列定义可得数列的通项公式，再利用裂项相消法计算即可得解.
【详解】由题意可得，则数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，由，故，即（负值舍去），
故，故，
则
，
故.
故选：A.
5.设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．20
【答案】B
【分析】运用裂项相消法，结合指数的运算性质进行求解即可.
【详解】由题意得，
则，则，
得，解得，
故选：B
6．已知数列的前项和满足，若，数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出数列的通项公式及，求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】数列中，，，当时，；
当时，，两式相减得，整理得，
数列是首项为2，公比为3的等比数列，则，
，
所以.
故选：A
多选题
7．设数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列为等比数列
C．
D．若，则数列的前10项和为
【答案】BD
【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D.
【详解】当时，由，得，解得，
当时，，
即，
即数列为以为首项，以为公比的等比数列，
则，，，所以A、C错误，B正确；
又，
数列的前10项和为：
，D正确.
故选：BD
8.已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．使的最小正整数n为13 D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】对A，根据与关系，求出通项判断；对B，利用裂项求和得解可判断；对C，令求得答案；对D，求出，利用对勾函数单调性求最值.
【详解】对于A，由，当时，，
当时，，
，故A错误；
对于B，因为，，
所以，故B正确；
对于C，由，即，解得，故C正确；
对于D，，时，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
∴当或4时，取得最小值为，故D正确．
故选：BCD.
填空题
9.设，则数列的前项和 .
【答案】
【分析】由裂项相消法求数列的前项和即可.
【详解】，
所以
，
故答案为：
10．已知函数上一点，若，记数列的前项和为，则 ．
【答案】10
【分析】根据题意易知，再由裂项相消求和可计算出结果.
【详解】由题可得，解得，则，
由于，
所以，可得．
故答案为：10
解答题
11．已知数列的首项为，且满足．
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据条件中的递推关系式，结合等差数列的定义，即可证明，并求通项公式；
（2）根据（1）的结果，可知，再利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由，，得，则，
于是，
所以数列是首项，公差为2的等差数列，
故，所以,
（2）由（1）知，
所以
12.已知数列满足，且，其前项和记为．
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得是公差为的等差数列，由可得，进而可知公差为1，进而可写出通项公式；
（2）由（1）可写出，进而的表达式可知，利用裂项求和的方法即可证明不等式.
【详解】（1）因为，所以，
所以是公差为的等差数列．
又，所以，从而公差为1，
所以．
（2），
，
所以
，
因为，所以，不等式得证.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
4.3.3.3裂项相消法求数列和---自检定时练--学生版
【1】知识清单
①常见的裂项公式有：
；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）
②补充几个有难度的公式：
；
（2）
（3）
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
一、单选题
1．数列，满足，，则的前100项之和等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知数列满足，则数列的前8项和为（ ）
A． B． C． D．
3．三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
5.设数列的通项公式为，数列的前m项和，则m的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．20
6．已知数列的前项和满足，若，数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
多选题
7．设数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列为等比数列
C．
D．若，则数列的前10项和为
8.已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．使的最小正整数n为13 D．的最小值为
填空题
9.设，则数列的前项和 .
10．已知函数上一点，若，记数列的前项和为，则 ．
解答题
11．已知数列的首项为，且满足．
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
12.已知数列满足，且，其前项和记为．
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C A A A BD BCD
9.【答案】
10.【答案】10
11.【答案】(1)证明见解析，
(2)
12.【答案】(1)
(2)证明见解析
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
