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专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法及乘法公式
1．（2024山西晋中·期末）的运算结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024山西朔州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024山西太原·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024山西朔州·期末）若，则k的值是（ ）
A． B．6 C．12 D．
5．（2024山西大同·期末）若是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±18 B．±9 C．9 D．18
6．（2024山西运城·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024山西忻州·期末）用不同的方法计算几何图形的面积，可得数学等式．如图的数学等式是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024山西晋中·期末）如图所示，在一次数学实践活动中，同学们发现准备的边长为的正方形有点大，于是，决定在它相邻的一组边上同时剪掉宽的长条．有同学发现这个方案正好可以验证所学过的一个乘法公式，这个公式是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024山西晋中·期末）计算： ．
10．（2024山西朔州·期末）计算：= ．
11．（2024山西大同·期末）计算： ．
12．（2024山西大同·期末）计算的结果是 ．
13．（2024山西长治·期末）若，则的值为 ．
14．（2024山西晋中·期末）计算：
(1)；(2)
15．（2024山西太原·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)（运用整式乘法公式进行计算）．
16．（2024山西大同·期末）（1）计算：；
（2）运用完全平方公式计算：．
17．（2024山西晋中·期末）先化简，再求值：，其中，．
18．（2024山西朔州·期末）如图，有甲、乙两种长方形卡片若干张．
(1)甲种长方形卡片的面积为______，乙种长方形卡片的面积为______，甲、乙两张卡片的面积和为______；（结果需化简）
(2)试比较两种长方形卡片的面积、的大小，并说明理由；
(3)若用相同数量的甲、乙两种长方形卡片刚好能够拼成一个面积为的图形，求使用卡片的总数量．
19．（2024山西太原十中·期末）【教材呈现】
已知，，求的值．
【例题讲解】
同学们探究出解这道题的两种方法：
方法一 方法二
∵∴∵，，∴∵∴ ∵，∵，∴__________∵，，∴．
(1)请将方法二补充完整；
【方法运用】
(2)解答以下问题：
已知，求的值．
【拓展提升】
(3)如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，求的长度．
考点二 因式分解
1．（2024山西太原·期末）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024山西大同·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2-4=（x+4）（x-4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx-6my=3m（x-6y） D．x2y-y3=y（x+y）（x-y）
3．（2024山西太原太原五中·开学摸底）运用提公因式法将多项式“”分解因式，应提取的公因式是( )
A． B． C． D．
4．（2024山西阳泉·一模）如图，小明在学习因式分解时，从不同角度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式因式分解成．这种方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．分类讨论 C．公理化 D．由一般到特殊
5．（2024山西·期中）若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024山西·期中）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（ ）
A．80 B．160 C．320 D．480
7．（2024山西运城·期中）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024山西朔州·期末）对于多项式（其中，且a为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则a的值可能有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．（2024山西大同·二模）分解因式： ．
10．（2024山西·期中）因式分解： ．
11．（2024山西·期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，则原多项式分解因式的结果应该是 ．
12．（2024山西太原·月考）已知，，则 ．
13．（2024山西·期中）已知，，，则多项式的值为 ．
14．（2024山西临汾·期中）将下列各式分解因式：
(1)；(2)
15．（2024山西·期中）(1)分解因式：；
(2)数学课上，李老师出了一道题：将分解因式，婷婷和亮亮展开了激烈的讨论，请认真阅读下面内容并完成填空．
亮亮的解题过程
原式……………第一步
………………第二步
………………第三步
填空：
①以上解题过程中，第一步用到的因式分解的方法叫做 ，第二步用到的乘法公式用字母表示为 ．
②第 步出现错误，出现错误的原因是 ，该因式分解的正确结果为 ．
16．（2024山西·期中）在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式进行因式分解．指导老师的讲解过程如下．
解：令，
则原式．
∵，∴原式．
老师解答到此就停止了，并提出了以下2个问题：
(1)上述解答的结果是否分解到最后？_______（填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果______（如果是则不用填写）．
(2)请模仿以上方法对多项式进行因式分解．
17．（2024山西晋中·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
“拆项法”因式分解
在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解．
【例题分析】因式分解：
解：原式 …………………………第一步
………………………………第二步
………………………………第三步
……………………………………第四步
任务：
(1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解：
A．提公因式法 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．整式乘法
(2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解．
18．（2024山西长治·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.
数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其过程如下：.
此种因式分解的方法叫做“分组分解法”.
任务：
(1)因式分解：
(2)已知，，求的值.
19．（2024山西忻州·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值.
解法一：设另一个因式为，得
则，
∴解得，.
∴另一个因式为，的值为－21.
解法二：设另一个因式为，得
∴当时，
即，解得
∴
∴另一个因式为，的值为－21.
问题：仿照以上一种方法解答下面问题.
（1）若多项式分解因式的结果中有因式，则实数______.
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值.
20．（2024山西朔州·期末）综合与实践
特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法，综合实践课上田老师展示了如下例题：
例：已知多项式有一个因式是，求m的值．
解：由题意，设（A为整式），
由于上式为恒等式，为了方便计算，取，
则，解得__■__．
(1)“■”处m的值为______；
(2)已知多项式有一个因式是，求b的值；
(3)若多项式有因式和，求a，b的值；
21．（2024山西·期中）形如及的式子，我们叫做“完全平方式”．在运用公式法进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最小）值问题．
例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2．
(1)代数式的最小值是________，此时的值是_______．
(2)求代数式的最小值．
(3)求代数式的最值（请说明“最大值”或“最小值”），并求出此时相应的的值．
22．（2024山西·期中）阅读理解
请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题：
①；
②;
③；
④；……
问题：
(1)（____________）；
(2)________；
(3)以上各等式，从左到右的变形_________（选填“是”或“不是”）因式分解；
(4)将用平方差公式因式分解，其结果为________，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将因式分解的结果为_______．
参考答案
考点一 整式的乘法及乘法公式
1．【答案】C
【分析】同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．据此即可得解．
【详解】解：．
故此题答案为C．
2．【答案】A
【分析】此题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方及积的乘方运算法则进行运算即可进行判断，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项正确，符合题意；
、和不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项正确，符合题意；
故此题答案为．
3．【答案】B
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故此题答案为B．
4．【答案】D
【分析】此题考查了完全平方公式，将等式左边的公式展开即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故此题答案为D．
5．【答案】A
【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
解得：．
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查了完全平方式，掌握完全平方式的形式是关键．
6．【答案】A
【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c，
，
∵，，
∴，
，故A正确．
故此题答案为：A．
【关键点拨】此题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值．
7．【答案】C
【分析】根据图形，大长方形面积等于5个小正方形面积加上7个小长方形的面积和，列出等式即可．
【详解】解：∵长方形的面积=，
长方形的面积=，
∴
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释．
8．【答案】A
【详解】解：由题可得大的正方形面积为，
阴影部分的正方形面积为，
阴影部分的长方形面积为，
剩下的正方形的面积为，
大的正方形面积减去一个小的正方形面积以及两个长方形面积等于剩余的正方形面积，
即，
化简得，
故此题答案为A．
9．【答案】
【分析】根据底数相同，指数相加即可求得结果，正确计算是解题的关键．
【详解】解：
.
10．【答案】a2-2a
【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
【详解】a（a-2）
=a2-2a．
故此题答案为a2-2a．
【关键点拨】此题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
11．【答案】/
【分析】此题主要考查了平方差公式，熟知是解题的关键．
根据平方差公式求解即可．
【详解】解：，
故此题答案为：．
12．【答案】
【分析】此题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．
先逆用同底数幂相乘将化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解．
【详解】解：
．
13．【答案】
【分析】此题考查多项式乘多项式．掌握相应计算法则即可．将利用多项式乘多项式的计算法则展开即可求解．
【详解】解：，
，
则，
故此题答案为：．
14．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方及零指数幂将原式化简，再进行加减运算；
先根据积的乘方将原式化简，再进行单项式的乘除运算即可
【详解】（1）解：；
（2）
．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
16．【答案】（1）；（2）10404
【分析】此题考查了负整数指数幂、零指数幂和完全平方公式．
（1）利用负整数指数幂、绝对值和零指数幂的性质计算即可求解；
（2）利用完全平方公式简便计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）解：
．
17．【答案】，
【详解】解：
，
∵，，
∴原式，
∴化简结果为；代入值为．
18．【答案】(1)，，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】此题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据图示，利用整式的乘除运算即可求解；
（2）计算即可判断；
（3）设用了张甲种长方形卡，张乙种长方形卡，根据即可求解．
【详解】（1）解：由图可知：
甲种长方形卡片的面积为：；
乙种长方形卡片的面积为：；
甲、乙两张卡片的面积和为：;
故此题答案为：，，
（2）解：，理由如下：
∵，
∴
（3）解：设用了张甲种长方形卡，张乙种长方形卡，
则由（1）可得：
，
∴，
∴，
则使用卡片的总数量为
19．【答案】(1)4ab；
(2)，12；
(3)4．
【分析】（1）根据题目的推理过程，即可填空；
（2）根据，，找到两者的关系，即可求解；
（3）设，，则，根据，即可求解．
【详解】（1），
故答案为4ab，
（2）∵，
，
∴，
（3）设，，则，
由题意可得，，
∴，
∵，
∴，即．
考点二 因式分解
1．【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】解：A项是整式的乘法，故A不符合题意；
B项多项式转化成几个式子的积，存在分式，故B不符合题意；
C项把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故C符合题意；
D项没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故D不符合题意；
故此题答案为C．
2．【答案】D
【分析】根据提公因式法、公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可．
【详解】解：A．x2-4=（x+2）（x-2），因此选项A不符合题意；
B．x2+2x+1=（x+1）2，因此选项B不符合题意；
C.3mx-6my=3m（x-2y），因此选项C不符合题意；
D．x2y-y3=y（x2-y2）=y（x+y）（x-y），因此选项D符合题意；
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握a2-b2=（a+b）（a-b），a2±2ab+b2=（a±b）2是正确应用的前提．
3．【答案】B
【分析】根据公因式的定义以及多项式各项得出答案．
【详解】解：多项式的公因式为，
故此题答案为B．
4．【答案】A
【详解】解：根据图形面积的两种不同的表示方式得出等式，从而推导出，属于数形结合思想．
故此题答案为A．
5．【答案】C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：．
【详解】解：多项式可分解为，
．
．
．
故选：C．
6．【答案】B
【分析】根据题意可得，，则，代入求解即可．
【详解】解：根据题意可得，，即，
，
故选：B
7．【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：．
【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、，能用平方差公式分解因式，符合题意；
D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
8．【答案】C
【分析】此题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的公式结构是解题的关键．根据平方差公式的公式结构求解即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
所以a的值可能有3种，
故此题答案为C．
9．【答案】
【分析】综合提公因式法与公式法进行因式分解即可．
【详解】解：由题意知，
10．【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用公式法即可求解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
11．【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘以多项式和因式分解的方法．设原多项式为（其中、、均为常数，且），然后分别把两位同学因式分解的结果化为多项式，即可求出a、b、c的值，从而得到原多项式为，然后进行分解因式即可．
【详解】解：设原多项式为（其中、、均为常数，且）．
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴原多项式为，将它分解因式，得：
．
12．【答案】
【分析】先整理，再代入，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴
13．【答案】3
【分析】根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
，
∴
=3
故答案为：3
14．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先利用平方差公式法进行因式分解，再提公因式即可；
（2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
15．【答案】(1)；(2)①提公因式法，；②三，去括号以后，括号里的没有变号，
【分析】（1）先提公因式，然后根据公式法因式分解即可求解；
（2）①根据因式分解的方法，以及完全平方公式填空即可求解；
②根据因式分解的步骤填空即可求解．
【详解】解：（1）原式)
（2）①以上解题过程中，第一步用到的因式分解的方法叫做提公因式法，第二步用到的乘法公式用字母表示为
②第三步出现错误，出现错误的原因是去括号以后，括号里的没有变号，该因式分解的正确结果为
16．【答案】(1)否；
(2)
【分析】（1）检查解答结果继续应用完全平方公式进行分解即可；
（2）利用题目提供的信息进行分解因式即可．
【详解】（1）解：∵，
∴上述解答的结果没有分解到最后．
故答案为：否；．
（2）解：令，
则
∵，
∴原式
17．【答案】(1)A
(2)
【分析】（1）根据提公因式法即可求解；
（2）根据题意中的分解因式的方法求解即可．
【详解】（1）解：，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解：
故此题答案为A．
（2）解：
18．【答案】(1)
(2)，8
【分析】此题考查因式分解，掌握“分组分解法”是解题的关键．
（1）仿照材料中的方法，前两项为一组，后两项为一组，利用“分组分解法”求解；
（2）先利用“分组分解法”进行因式分解，再将，作为整体代入求值．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：
.
将，代入，得：
原式．
19．【答案】（1）1；（2）另一个因式为，的值为5
【分析】（1）根据题中的方法，设另一个因式为（x+m），则，把等式右边展开合并得，则-3m=-6，从而可求出m的值，再根据m-3=-p，求出；
（2）根据题中的方法，设另一个因式为（x+n），则2x2+3x-k=（2x+5）（x+n），把等式右边展开合并得，则，然后解方程即可得到n和k的值，即得到另一个因式．
【详解】（1）设另一个因式为（x+m），则
∴
∴-3m=-6，
解得，m=2，
∵m-3=-p，
∴p=1；
（2）设另一个因式为，得
则
∴
解方程组，得
∴另一个因式为，的值为5.
【关键点拨】此题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
20．【答案】(1)24
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了因式分解的应用：
（1）解方程可得出m的值；
（2）依照示例即可求出b的值；
（3）依题意设：，先取，得，再取，得，由此可解出a，b的值．
【详解】（1）解：，
，
∴，
故此题答案为：24；
（2）解：设，
令，则有：，
解得，；
（3）解：依题意设：，
由于上式是恒等式，为方便计算，
取，得：，即，
取，得：，即，
解方程组，
得，．
21．【答案】(1)3，-2
(2)-6
(3)代数式的最大值为5，此时x=-1
【分析】（1）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可求解；
（2）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可解决问题；
（3）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可解决问题．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴代数式的最小值是3，此时的值是-2；
故答案为：3，-2
（2）解：
∵，
∴，
∴，
∴代数式的最小值为-6；
（3）解：
，
，
∵，
∴
∴，
∴代数式的最大值为5，此时x=-1．
22．【答案】(1)
(2)
(3)是
(4)；
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解，规律探究，解题的关键是理解题意，得出一般规律．
（1）仿照已知等式归纳总结得出规律，写出结果即可；
（2）根据解析（1）中得到规律，写出即可；
（3）根据因式分解的定义进行判断即可；
（4）根据平方差公式进行因式分解，然后根据因式分解的结果得出即可．
【详解】（1）解：∵；
;
；
；
……
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：根据（1）中得出的规律可知：
．
故答案为：．
（3）解：以上各等式，从左到右的变形是因式分解．
故答案为：是．
（4）解：∵，
又∵，
∴．
故答案为：；．
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专项复习提升（四） 整式的乘法与因式分解
考点一 整式的乘法及乘法公式
1．（2024山西晋中·期末）的运算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．据此即可得解．
【详解】解：．
故此题答案为C．
2．（2024山西朔州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方及积的乘方运算法则进行运算即可进行判断，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项正确，符合题意；
、和不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项正确，符合题意；
故此题答案为．
3．（2024山西太原·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故此题答案为B．
4．（2024山西朔州·期末）若，则k的值是（ ）
A． B．6 C．12 D．
【答案】D
【分析】此题考查了完全平方公式，将等式左边的公式展开即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故此题答案为D．
5．（2024山西大同·期末）若是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±18 B．±9 C．9 D．18
【答案】A
【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．
【详解】解：是一个完全平方式，
，
解得：．
故此题答案为A．
【关键点拨】此题考查了完全平方式，掌握完全平方式的形式是关键．
6．（2024山西运城·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c，
，
∵，，
∴，
，故A正确．
故此题答案为：A．
【关键点拨】此题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值．
7．（2024山西忻州·期末）用不同的方法计算几何图形的面积，可得数学等式．如图的数学等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图形，大长方形面积等于5个小正方形面积加上7个小长方形的面积和，列出等式即可．
【详解】解：∵长方形的面积=，
长方形的面积=，
∴
故此题答案为C．
【关键点拨】此题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释．
8．（2024山西晋中·期末）如图所示，在一次数学实践活动中，同学们发现准备的边长为的正方形有点大，于是，决定在它相邻的一组边上同时剪掉宽的长条．有同学发现这个方案正好可以验证所学过的一个乘法公式，这个公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题可得大的正方形面积为，
阴影部分的正方形面积为，
阴影部分的长方形面积为，
剩下的正方形的面积为，
大的正方形面积减去一个小的正方形面积以及两个长方形面积等于剩余的正方形面积，
即，
化简得，
故此题答案为A．
9．（2024山西晋中·期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据底数相同，指数相加即可求得结果，正确计算是解题的关键．
【详解】解：
.
10．（2024山西朔州·期末）计算：= ．
【答案】a2-2a
【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
【详解】a（a-2）
=a2-2a．
故此题答案为a2-2a．
【关键点拨】此题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
11．（2024山西大同·期末）计算： ．
【答案】/
【分析】此题主要考查了平方差公式，熟知是解题的关键．
根据平方差公式求解即可．
【详解】解：，
故此题答案为：．
12．（2024山西大同·期末）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查积的乘方，同底数幂相乘，解答的关键是积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用．
先逆用同底数幂相乘将化成，再逆用积的乘方法则计算，即可求解．
【详解】解：
．
13．（2024山西长治·期末）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查多项式乘多项式．掌握相应计算法则即可．将利用多项式乘多项式的计算法则展开即可求解．
【详解】解：，
，
则，
故此题答案为：．
14．（2024山西晋中·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方及零指数幂将原式化简，再进行加减运算；
先根据积的乘方将原式化简，再进行单项式的乘除运算即可
【详解】（1）解：；
（2）
．
15．（2024山西太原·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)（运用整式乘法公式进行计算）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；
（2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（3）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
16．（2024山西大同·期末）（1）计算：；
（2）运用完全平方公式计算：．
【答案】（1）；（2）10404
【分析】此题考查了负整数指数幂、零指数幂和完全平方公式．
（1）利用负整数指数幂、绝对值和零指数幂的性质计算即可求解；
（2）利用完全平方公式简便计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）解：
．
17．（2024山西晋中·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：
，
∵，，
∴原式，
∴化简结果为；代入值为．
18．（2024山西朔州·期末）如图，有甲、乙两种长方形卡片若干张．
(1)甲种长方形卡片的面积为______，乙种长方形卡片的面积为______，甲、乙两张卡片的面积和为______；（结果需化简）
(2)试比较两种长方形卡片的面积、的大小，并说明理由；
(3)若用相同数量的甲、乙两种长方形卡片刚好能够拼成一个面积为的图形，求使用卡片的总数量．
【答案】(1)，，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】此题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据图示，利用整式的乘除运算即可求解；
（2）计算即可判断；
（3）设用了张甲种长方形卡，张乙种长方形卡，根据即可求解．
【详解】（1）解：由图可知：
甲种长方形卡片的面积为：；
乙种长方形卡片的面积为：；
甲、乙两张卡片的面积和为：;
故此题答案为：，，
（2）解：，理由如下：
∵，
∴
（3）解：设用了张甲种长方形卡，张乙种长方形卡，
则由（1）可得：
，
∴，
∴，
则使用卡片的总数量为
19．（2024山西太原十中·期末）【教材呈现】
已知，，求的值．
【例题讲解】
同学们探究出解这道题的两种方法：
方法一 方法二
∵∴∵，，∴∵∴ ∵，∵，∴__________∵，，∴．
(1)请将方法二补充完整；
【方法运用】
(2)解答以下问题：
已知，求的值．
【拓展提升】
(3)如图，以的直角边，为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，求的长度．
【答案】(1)4ab；
(2)，12；
(3)4．
【分析】（1）根据题目的推理过程，即可填空；
（2）根据，，找到两者的关系，即可求解；
（3）设，，则，根据，即可求解．
【详解】（1），
故答案为4ab，
（2）∵，
，
∴，
（3）设，，则，
由题意可得，，
∴，
∵，
∴，即．
考点二 因式分解
1．（2024山西太原·期末）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】解：A项是整式的乘法，故A不符合题意；
B项多项式转化成几个式子的积，存在分式，故B不符合题意；
C项把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故C符合题意；
D项没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故D不符合题意；
故此题答案为C．
2．（2024山西大同·期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2-4=（x+4）（x-4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx-6my=3m（x-6y） D．x2y-y3=y（x+y）（x-y）
【答案】D
【分析】根据提公因式法、公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可．
【详解】解：A．x2-4=（x+2）（x-2），因此选项A不符合题意；
B．x2+2x+1=（x+1）2，因此选项B不符合题意；
C.3mx-6my=3m（x-2y），因此选项C不符合题意；
D．x2y-y3=y（x2-y2）=y（x+y）（x-y），因此选项D符合题意；
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握a2-b2=（a+b）（a-b），a2±2ab+b2=（a±b）2是正确应用的前提．
3．（2024山西太原太原五中·开学摸底）运用提公因式法将多项式“”分解因式，应提取的公因式是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据公因式的定义以及多项式各项得出答案．
【详解】解：多项式的公因式为，
故此题答案为B．
4．（2024山西阳泉·一模）如图，小明在学习因式分解时，从不同角度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式因式分解成．这种方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．分类讨论 C．公理化 D．由一般到特殊
【答案】A
【详解】解：根据图形面积的两种不同的表示方式得出等式，从而推导出，属于数形结合思想．
故此题答案为A．
5．（2024山西·期中）若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：．
【详解】解：多项式可分解为，
．
．
．
故选：C．
6．（2024山西·期中）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（ ）
A．80 B．160 C．320 D．480
【答案】B
【分析】根据题意可得，，则，代入求解即可．
【详解】解：根据题意可得，，即，
，
故选：B
7．（2024山西运城·期中）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：．
【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、，能用平方差公式分解因式，符合题意；
D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
故选：C．
8．（2024山西朔州·期末）对于多项式（其中，且a为整数）能够利用平方差公式进行因式分解，则a的值可能有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】此题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的公式结构是解题的关键．根据平方差公式的公式结构求解即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
所以a的值可能有3种，
故此题答案为C．
9．（2024山西大同·二模）分解因式： ．
【答案】
【分析】综合提公因式法与公式法进行因式分解即可．
【详解】解：由题意知，
10．（2024山西·期中）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用公式法即可求解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
11．（2024山西·期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，则原多项式分解因式的结果应该是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘以多项式和因式分解的方法．设原多项式为（其中、、均为常数，且），然后分别把两位同学因式分解的结果化为多项式，即可求出a、b、c的值，从而得到原多项式为，然后进行分解因式即可．
【详解】解：设原多项式为（其中、、均为常数，且）．
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴原多项式为，将它分解因式，得：
．
12．（2024山西太原·月考）已知，，则 ．
【答案】
【分析】先整理，再代入，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴
13．（2024山西·期中）已知，，，则多项式的值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
，
，
∴
=3
故答案为：3
14．（2024山西临汾·期中）将下列各式分解因式：
(1)；
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先利用平方差公式法进行因式分解，再提公因式即可；
（2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
15．（2024山西·期中）(1)分解因式：；
(2)数学课上，李老师出了一道题：将分解因式，婷婷和亮亮展开了激烈的讨论，请认真阅读下面内容并完成填空．
亮亮的解题过程
原式……………第一步
………………第二步
………………第三步
填空：
①以上解题过程中，第一步用到的因式分解的方法叫做 ，第二步用到的乘法公式用字母表示为 ．
②第 步出现错误，出现错误的原因是 ，该因式分解的正确结果为 ．
【答案】(1)；(2)①提公因式法，；②三，去括号以后，括号里的没有变号，
【分析】（1）先提公因式，然后根据公式法因式分解即可求解；
（2）①根据因式分解的方法，以及完全平方公式填空即可求解；
②根据因式分解的步骤填空即可求解．
【详解】解：（1）原式)
（2）①以上解题过程中，第一步用到的因式分解的方法叫做提公因式法，第二步用到的乘法公式用字母表示为
②第三步出现错误，出现错误的原因是去括号以后，括号里的没有变号，该因式分解的正确结果为
16．（2024山西·期中）在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式进行因式分解．指导老师的讲解过程如下．
解：令，
则原式．
∵，∴原式．
老师解答到此就停止了，并提出了以下2个问题：
(1)上述解答的结果是否分解到最后？_______（填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果______（如果是则不用填写）．
(2)请模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】(1)否；
(2)
【分析】（1）检查解答结果继续应用完全平方公式进行分解即可；
（2）利用题目提供的信息进行分解因式即可．
【详解】（1）解：∵，
∴上述解答的结果没有分解到最后．
故答案为：否；．
（2）解：令，
则
∵，
∴原式
17．（2024山西晋中·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
“拆项法”因式分解
在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解．
【例题分析】因式分解：
解：原式 …………………………第一步
………………………………第二步
………………………………第三步
……………………………………第四步
任务：
(1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解：
A．提公因式法 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．整式乘法
(2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解．
【答案】(1)A
(2)
【分析】（1）根据提公因式法即可求解；
（2）根据题意中的分解因式的方法求解即可．
【详解】（1）解：，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解：
故此题答案为A．
（2）解：
18．（2024山西长治·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.
数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其过程如下：.此种因式分解的方法叫做“分组分解法”.
任务：
(1)因式分解：
(2)已知，，求的值.
【答案】(1)
(2)，8
【分析】此题考查因式分解，掌握“分组分解法”是解题的关键．
（1）仿照材料中的方法，前两项为一组，后两项为一组，利用“分组分解法”求解；
（2）先利用“分组分解法”进行因式分解，再将，作为整体代入求值．
【详解】（1）解：，
．
（2）解：
.
将，代入，得：
原式．
19．（2024山西忻州·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值.
解法一：设另一个因式为，得
则，
∴解得，.
∴另一个因式为，的值为－21.
解法二：设另一个因式为，得
∴当时，
即，解得
∴
∴另一个因式为，的值为－21.
问题：仿照以上一种方法解答下面问题.
（1）若多项式分解因式的结果中有因式，则实数______.
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值.
【答案】（1）1；（2）另一个因式为，的值为5
【分析】（1）根据题中的方法，设另一个因式为（x+m），则，把等式右边展开合并得，则-3m=-6，从而可求出m的值，再根据m-3=-p，求出；
（2）根据题中的方法，设另一个因式为（x+n），则2x2+3x-k=（2x+5）（x+n），把等式右边展开合并得，则，然后解方程即可得到n和k的值，即得到另一个因式．
【详解】（1）设另一个因式为（x+m），则
∴
∴-3m=-6，
解得，m=2，
∵m-3=-p，
∴p=1；
（2）设另一个因式为，得
则
∴
解方程组，得
∴另一个因式为，的值为5.
【关键点拨】此题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
20．（2024山西朔州·期末）综合与实践
特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法，综合实践课上田老师展示了如下例题：
例：已知多项式有一个因式是，求m的值．
解：由题意，设（A为整式），
由于上式为恒等式，为了方便计算，取，
则，解得__■__．
(1)“■”处m的值为______；
(2)已知多项式有一个因式是，求b的值；
(3)若多项式有因式和，求a，b的值；
【答案】(1)24
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了因式分解的应用：
（1）解方程可得出m的值；
（2）依照示例即可求出b的值；
（3）依题意设：，先取，得，再取，得，由此可解出a，b的值．
【详解】（1）解：，
，
∴，
故此题答案为：24；
（2）解：设，
令，则有：，
解得，；
（3）解：依题意设：，
由于上式是恒等式，为方便计算，
取，得：，即，
取，得：，即，
解方程组，
得，．
21．（2024山西·期中）形如及的式子，我们叫做“完全平方式”．在运用公式法进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最小）值问题．
例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2．
(1)代数式的最小值是________，此时的值是_______．
(2)求代数式的最小值．
(3)求代数式的最值（请说明“最大值”或“最小值”），并求出此时相应的的值．
【答案】(1)3，-2
(2)-6
(3)代数式的最大值为5，此时x=-1
【分析】（1）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可求解；
（2）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可解决问题；
（3）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可解决问题．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴代数式的最小值是3，此时的值是-2；
故答案为：3，-2
（2）解：
∵，
∴，
∴，
∴代数式的最小值为-6；
（3）解：
，
，
∵，
∴
∴，
∴代数式的最大值为5，此时x=-1．
22．（2024山西·期中）阅读理解
请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题：
①；
②;
③；
④；……
问题：
(1)（____________）；
(2)________；
(3)以上各等式，从左到右的变形_________（选填“是”或“不是”）因式分解；
(4)将用平方差公式因式分解，其结果为________，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将因式分解的结果为_______．
【答案】(1)
(2)
(3)是
(4)；
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解，规律探究，解题的关键是理解题意，得出一般规律．
（1）仿照已知等式归纳总结得出规律，写出结果即可；
（2）根据解析（1）中得到规律，写出即可；
（3）根据因式分解的定义进行判断即可；
（4）根据平方差公式进行因式分解，然后根据因式分解的结果得出即可．
【详解】（1）解：∵；
;
；
；
……
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：根据（1）中得出的规律可知：
．
故答案为：．
（3）解：以上各等式，从左到右的变形是因式分解．
故答案为：是．
（4）解：∵，
又∵，
∴．
故答案为：；．
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