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专项复习提升（五） 分式
考点一 分式的概念及其运算
1．（2024山西太原·期末）若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024山西朔州·期末）若a，b，c为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．无法确定 D．等边三角形
3．（2024山西晋中·期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024山西太原·期末）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024山西晋中·期末）我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024山西吕梁·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024山西忻州·期末）已知分式，当x＝1时，分式无意义，则a＝ ．
9．（2024山西晋中·期末）计算： ．
10．（2024山西朔州·期末）如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 ．
11．（2024山西太原·期末）先化简，再求值：，其中，
12．（2024山西大同·期末）先化简，再求值：，其中，，．
13．（2024山西忻州·期末）先化简：（）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
14．（2024山西大同·期末）观察下面的等式：
(1)按上面的规律归纳出一般的结论（用含的等式表示，为正整数）；
(2)运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
15．（2024山西晋中·期末）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．
异分母的分式加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：
下面是我在课堂上化简分式 的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．
任务：
(1)在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；
A．方程思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想
(2)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；
(3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______．
考点二 分式方程
1．（2024山西太原·期末）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ）
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
2．（2024山西太原·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．3 B． C．7 D．
3．（2024山西忻州·期末）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024山西阳泉·期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分400元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为人，则可列方程 ．
5．（2024山西长治·期中）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
6．（2024山西太原·其他模拟）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ．
7．（2024山西太原·期末）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务．
解：去分母得，，………………第一步
去括号得，，………………第二步
解得，，………………第三步
检验：当时，，………………第四步
是原方程的根．………………第五步
任务：
(1)小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______；
(2)请你改正并写出完整的解方程过程；
(3)解分式方程产生增根的原因是______．
8．（2024山西忻州·期末）小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下：
解：去分母得：第一步；
解得：……第二步；
∴原分式方程的解是……第三步；
(1)小丽解答过程从第 步开始出错，正确结果是 ，这一步的依据是 ．
(2)小丽解答过程缺少的步骤是 ．
(3)请写出正确的解题过程．
9．（2024山西阳泉·期末）下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：．
方程两边同乘__________，得．第一步
去括号，得． 第二步
移项、合并同类项，得． 第三步
系数化为1，得 第四步
所以是原方程的解 第五步
(1)任务一：第一步横线处所填的内容为__________，这一步的依据为__________；
(2)任务二：在小组组长的引导下，小颖反思上述解答过程缺少了一步，请你补全这一步；
(3)任务三：在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请你写出一条，并于同学们分享．
10．（2024山西晋中·期末）某景区为应对即将到来的暑期旅游旺季，方便更多的游客在游览之余得到休息，计划采购一批A型和B型户外休闲椅，经过市场调查了解到A型休闲椅的单价是B型休闲椅单价的1.5倍，用2700元购买A型休闲椅的数量比用2400元购买B型休闲椅的数量少5张．求每张B型休闲椅多少元
11．（2024山西忻州·期末）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
(1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
(2)若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
12．（2024山西太原·期末）习总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校计划组织600名师生前往山西老陈醋的发源地——清徐研学．现准备租用A，B两种型号的客车若干辆，为安全起见，每名师生都需有座且每一辆客车都不得超载．已知每辆A型客车比每辆B型客车的乘客座位数多，若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆．
(1)求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数；
(2)由于实际参加研学活动的人数比原计划增加了35人、学校决定同时租用A、B两种型号的客车共14辆，为确保所有参加活动的师生都有座位（可以坐不满），求最多租用B型客车多少辆？
13．（2024山西朔州·期末）山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用．
课题 劳动基地菜地护栏建设
调查方式 走访调研、实地查看测量
测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明：①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元．②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成．
计算结果 …
14．（2024山西阳泉·期末）某市建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
(2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为1000万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由．
参考答案
考点一 分式的概念及其运算
1．【答案】C
【分析】掌握分式有意义的条件是分母不为0，据此即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得：，
故此题答案为C．
2．【答案】A
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件及三角形的分类，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．根据分式的值为零的条件可得且，再进行判断即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且，
所以此三角形的形状为等腰三角形，
故此题答案为A．
3．【答案】D
【分析】分子分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可．
【详解】解：A．不是最简分式，不符合题意；
B．不是最简分式，不符合题意；
C．不是最简分式，不符合题意；
D．是最简分式，符合题意；
故此题答案为D．
4．【答案】D
【分析】最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为．
故此题答案为D．
5．【答案】D
【详解】解：，
故此题答案为．
6．【答案】B
【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：其中用科学记数法表示为．
故此题答案为B．
7．【答案】C
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行化简，然后计算分式的加法即可．
【详解】解：
，
故此题答案为C．
8．【答案】3
【分析】把x=1代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可
【详解】解：把x=1代入得：
,
此时分式无意义，
∴a-3=0，
解得a=3．
故此题答案为：3．
【关键点拨】此题考查了分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
9．【答案】
【分析】根据异分母分式加法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
10．【答案】
【分析】此题主要考查分式的混合运算，原等式两边除以再加上1即可得出撕掉部分中▲的内容．
【详解】解：
．
故此题答案为：．
11．【答案】；
【分析】先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
12．【答案】，5
【分析】此题考查的是分式的化简求值．根据分式的加法法则、除法法则以及平方差公式把原式化简，把、的值代入计算，得到答案．
【详解】解：
，
当，时，原式．
13．【答案】；．
【分析】先把括号内的两项通分后利用同分母分式的加减法法则进行计算，同时把除法转化为乘法，最后约分化成最简分式，根据分式有意义的条件选择一个a值代入求值即可．
【详解】解：
=
=
=
=
当a=-3、-1、1、0时，原式没有意义，舍去，
当a=-2时，原式=．
【关键点拨】此题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质及分式有意义的条件是解题关键．
14．【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题考查了数式规律探究，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）观察已知等式，归纳总结得到一般性规律即可；
（2）等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得出结论，
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
第n个等式：．
（2）解：∵左边右边，
∴．
15．【答案】(1)C
(2)三，分式的基本性质
(3)四，
【分析】（1）根据分式加减运算进行解答即可；
（2）根据通分的定义进行解答即可；
（3）根据分式加减运算法则，进行计算得出正确答案即可．
【详解】（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确
（2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
（3）解：从第四步开始出现错误，
．
因此正确结果为：．
考点二 分式方程
1．【答案】B
【分析】根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案．
【详解】根据分式方程可知：
食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分，
x表示的意义是蒸发掉的水量．
故此题答案为B．
2．【答案】C
【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将代入方程，求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得：；
故此题答案为C．
3．【答案】A
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【详解】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（1+30%）x万棵，需要天完成，
∵提前2天完成任务，
∴-=2，
故此题答案为A．
4．【答案】
【分析】此题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系、列出分式方程是解题的关键．
根据等量关系“第二次每人所得与第一次相同”列分式方程即可．
【详解】解：设第一次分钱的人数为人，
根据题意得 ．
故此题答案为 ．
5．【答案】
【分析】根据“使分式的分母为零的未知数的值是方程的增根”计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，故答案为．
6．【答案】
【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，
根据题意得．
7．【答案】(1)一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“”
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（）根据去分母的方法即可判定；
（）运用解分式方程的方法即可求解；
（）根据解分式方程的方法，增根的概念即可求解．
【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，
错误的原因是：方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“”．
（2）解：原方程可化为．
方程两边都乘以去分母，得．
整理，得．
解得．
检验：当时，，所以是原分式方程的增根，
所以原方程无解．
（3）解：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根．
8．【答案】(1)一，，等式的基本性质
(2)检验
(3)见解析
【分析】（1）根据等式的两边同乘，即可判断；
（2）根据分式方程一定要验根，即可确定答案；
（3）根据解分式方程正确的步骤求解即可．
【详解】（1）解：小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是，
这一步的依据是等式的性质，
故此题答案为：一，，等式的基本性质；
（2）小丽解答过程缺少的步骤是检验，
故此题答案为：检验；
（3），
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
原分式方程的解是．
【关键点拨】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
9．【答案】(1)，等式的基本性质2（或等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式）
(2)检验：当时，
(3)去分母时，每一项都要乘最简公分母，不能漏乘；分式方程必须检验（答案不唯一）
【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握等式的性质，去括号，合并同类项的法则是解题的关键．
（1）根据解分式方程的依据解答； 根据等式的性质解得即可．
（2）检验方程的解即可．
（3）给出合理建议即可．
【详解】（1）解：∵分式方程的公分母为，
∴第一步横线处所填的内容为，这一步的目的是去分母，其依据是等式的基本性质．
（2）缺少的步骤为：
检验：当时，；
（3）建议：去分母时，每一项都要乘最简公分母，不能漏乘；分式方程必须检验（答案不唯一）．
10．【答案】型休闲椅单价为180元/张，型休闲椅单价为120元/张．
【分析】设型休闲椅单价为元/张，则型休闲椅单价为元/张，根据“用2700元购买A型休闲椅的数量比用2400元购买B型休闲椅的数量少5张”这个等量关系列式子，求解，即可．
【详解】解：设型休闲椅单价为元/张，则型休闲椅单价为元/张，
根据题意，得：
，
解方程，得，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴（元），
答：型休闲椅单价为180元/张，型休闲椅单价为120元/张．
11．【答案】(1)甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米
(2)甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意列出分式方程，解方程求解即可；
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，根据题意列一元一次方程求解即可
【详解】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，
由题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元；
【关键点拨】此题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
12．【答案】(1)50个；40个
(2)6辆
【分析】（1）设每辆型客车乘客座位数为个，则每辆型客车乘客座位数为个，根据“若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆”，列方程求解即可；
（2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列不等式求解即可；
【详解】（1）解：设每辆型客车乘客座位数为个，则每辆型客车乘客座位数为个．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
．
答：每辆型客车的乘客座位数为50个，每辆型客车的乘客座位数为40个．
（2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆．
根据题意，得．
解这个不等式，得．
因为为整数，且取最大值，所以．
答：最多租用型客车数量6辆．
13．【答案】支付给工人的总费用为1360元．
【分析】此题主要考查了分式方程的实际应用，设安排x名工人安装横杠，在安排名工人安装竖杠，根据每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根且两项安装任务同时开始，并在当天同时完成列出方程求解即可．
【详解】解：设安排x名工人安装横杠，安排名工人安装竖杠，
由题意得， ，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
元，
答：支付给工人的总费用为1360元．
14．【答案】(1)乙队单独完成这项工程需6个月，甲队单独完成这项工程需18个月
(2)施工费用为1000万元不够用，需追加预算80万元，理由见解析
【分析】此题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
（1）若乙队单独完成这项工程需个月，则乙队单独完成这项工程需个月，由题意可得等量关系：甲的工作效率×2+（甲的工作效率+乙的工作效率）×4=1，根据等量关系可得方程：，解方程即可．
（2）设甲乙两个工程队合作需要个月完成任务，由题意可得等量关系：（甲的工作效率+乙的工作效率）×工作时间=总工资量1，根据等量关系列方程，算出两队合作需要的时间，再根据时间计算出费用即可得出1000万元是否够用．
【详解】（1）设乙队单独完成这项工程需个月．
由题意，得．
解得．
经检验：是原方程的解．
则甲队单独完成这项工程需要的月数：（个），
答：乙队单独完成这项工程需6个月，甲队单独完成这项工程需18个月．
（2）设甲乙两个工程队合作需要个月完成任务．
由题意，得．
解得．
施工费用为：（万元）．
不够用．
需追加：（万元）．
答：施工费用为1000万元不够用，需追加预算80万元．
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专项复习提升（五） 分式
考点一 分式的概念及其运算
1．（2024山西太原·期末）若分式有意义，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】掌握分式有意义的条件是分母不为0，据此即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得：，
故此题答案为C．
2．（2024山西朔州·期末）若a，b，c为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．无法确定 D．等边三角形
【答案】A
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件及三角形的分类，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．根据分式的值为零的条件可得且，再进行判断即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且，
所以此三角形的形状为等腰三角形，
故此题答案为A．
3．（2024山西晋中·期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分子分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可．
【详解】解：A．不是最简分式，不符合题意；
B．不是最简分式，不符合题意；
C．不是最简分式，不符合题意；
D．是最简分式，符合题意；
故此题答案为D．
4．（2024山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为．
故此题答案为D．
5．（2024山西太原·期末）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
故此题答案为．
6．（2024山西晋中·期末）我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：其中用科学记数法表示为．
故此题答案为B．
7．（2024山西吕梁·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行化简，然后计算分式的加法即可．
【详解】解：
，
故此题答案为C．
8．（2024山西忻州·期末）已知分式，当x＝1时，分式无意义，则a＝ ．
【答案】3
【分析】把x=1代入分式，根据分式无意义得出关于a的方程，求出即可
【详解】解：把x=1代入得：
,
此时分式无意义，
∴a-3=0，
解得a=3．
故此题答案为：3．
【关键点拨】此题考查了分式无意义的条件，能得出关于a的方程是解此题的关键．
9．（2024山西晋中·期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据异分母分式加法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
10．（2024山西朔州·期末）如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查分式的混合运算，原等式两边除以再加上1即可得出撕掉部分中▲的内容．
【详解】解：
．
故此题答案为：．
11．（2024山西太原·期末）先化简，再求值：，其中，
【答案】；
【分析】先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
12．（2024山西大同·期末）先化简，再求值：，其中，，．
【答案】，5
【分析】此题考查的是分式的化简求值．根据分式的加法法则、除法法则以及平方差公式把原式化简，把、的值代入计算，得到答案．
【详解】解：
，
当，时，原式．
13．（2024山西忻州·期末）先化简：（）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】；．
【分析】先把括号内的两项通分后利用同分母分式的加减法法则进行计算，同时把除法转化为乘法，最后约分化成最简分式，根据分式有意义的条件选择一个a值代入求值即可．
【详解】解：
=
=
=
=
当a=-3、-1、1、0时，原式没有意义，舍去，
当a=-2时，原式=．
【关键点拨】此题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质及分式有意义的条件是解题关键．
14．（2024山西大同·期末）观察下面的等式：
(1)按上面的规律归纳出一般的结论（用含的等式表示，为正整数）；
(2)运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题考查了数式规律探究，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）观察已知等式，归纳总结得到一般性规律即可；
（2）等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得出结论，
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
第n个等式：．
（2）解：∵左边右边，
∴．
15．（2024山西晋中·期末）下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．
异分母的分式加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：
下面是我在课堂上化简分式 的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．
任务：
(1)在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；
A．方程思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想
(2)以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；
(3)我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______．
【答案】(1)C
(2)三，分式的基本性质
(3)四，
【分析】（1）根据分式加减运算进行解答即可；
（2）根据通分的定义进行解答即可；
（3）根据分式加减运算法则，进行计算得出正确答案即可．
【详解】（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确
（2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
（3）解：从第四步开始出现错误，
．
因此正确结果为：．
考点二 分式方程
1．（2024山西太原·期末）实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ）
A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量
【答案】B
【分析】根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案．
【详解】根据分式方程可知：
食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分，
x表示的意义是蒸发掉的水量．
故此题答案为B．
2．（2024山西太原·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】C
【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将代入方程，求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得：；
故此题答案为C．
3．（2024山西忻州·期末）在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．
【详解】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（1+30%）x万棵，需要天完成，
∵提前2天完成任务，
∴-=2，
故此题答案为A．
4．（2024山西阳泉·期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分400元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为人，则可列方程 ．
【答案】
【分析】此题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系、列出分式方程是解题的关键．
根据等量关系“第二次每人所得与第一次相同”列分式方程即可．
【详解】解：设第一次分钱的人数为人，
根据题意得 ．
故此题答案为 ．
5．（2024山西长治·期中）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ．
【答案】
【分析】根据“使分式的分母为零的未知数的值是方程的增根”计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，故答案为．
6．（2024山西太原·其他模拟）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【详解】解：装裱后的长为cm，宽为cm，
根据题意得．
7．（2024山西太原·期末）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务．
解：去分母得，，………………第一步
去括号得，，………………第二步
解得，，………………第三步
检验：当时，，………………第四步
是原方程的根．………………第五步
任务：
(1)小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______；
(2)请你改正并写出完整的解方程过程；
(3)解分式方程产生增根的原因是______．
【答案】(1)一；方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“”
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（）根据去分母的方法即可判定；
（）运用解分式方程的方法即可求解；
（）根据解分式方程的方法，增根的概念即可求解．
【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，
错误的原因是：方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“”．
（2）解：原方程可化为．
方程两边都乘以去分母，得．
整理，得．
解得．
检验：当时，，所以是原分式方程的增根，
所以原方程无解．
（3）解：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根．
8．（2024山西忻州·期末）小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下：
解：去分母得：第一步；
解得：……第二步；
∴原分式方程的解是……第三步；
(1)小丽解答过程从第 步开始出错，正确结果是 ，这一步的依据是 ．
(2)小丽解答过程缺少的步骤是 ．
(3)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)一，，等式的基本性质
(2)检验
(3)见解析
【分析】（1）根据等式的两边同乘，即可判断；
（2）根据分式方程一定要验根，即可确定答案；
（3）根据解分式方程正确的步骤求解即可．
【详解】（1）解：小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是，
这一步的依据是等式的性质，
故此题答案为：一，，等式的基本性质；
（2）小丽解答过程缺少的步骤是检验，
故此题答案为：检验；
（3），
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
原分式方程的解是．
【关键点拨】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
9．（2024山西阳泉·期末）下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：．
方程两边同乘__________，得．第一步
去括号，得． 第二步
移项、合并同类项，得． 第三步
系数化为1，得 第四步
所以是原方程的解 第五步
(1)任务一：第一步横线处所填的内容为__________，这一步的依据为__________；
(2)任务二：在小组组长的引导下，小颖反思上述解答过程缺少了一步，请你补全这一步；
(3)任务三：在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请你写出一条，并于同学们分享．
【答案】(1)，等式的基本性质2（或等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式）
(2)检验：当时，
(3)去分母时，每一项都要乘最简公分母，不能漏乘；分式方程必须检验（答案不唯一）
【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握等式的性质，去括号，合并同类项的法则是解题的关键．
（1）根据解分式方程的依据解答； 根据等式的性质解得即可．
（2）检验方程的解即可．
（3）给出合理建议即可．
【详解】（1）解：∵分式方程的公分母为，
∴第一步横线处所填的内容为，这一步的目的是去分母，其依据是等式的基本性质．
（2）缺少的步骤为：
检验：当时，；
（3）建议：去分母时，每一项都要乘最简公分母，不能漏乘；分式方程必须检验（答案不唯一）．
10．（2024山西晋中·期末）某景区为应对即将到来的暑期旅游旺季，方便更多的游客在游览之余得到休息，计划采购一批A型和B型户外休闲椅，经过市场调查了解到A型休闲椅的单价是B型休闲椅单价的1.5倍，用2700元购买A型休闲椅的数量比用2400元购买B型休闲椅的数量少5张．求每张B型休闲椅多少元
【答案】型休闲椅单价为180元/张，型休闲椅单价为120元/张．
【分析】设型休闲椅单价为元/张，则型休闲椅单价为元/张，根据“用2700元购买A型休闲椅的数量比用2400元购买B型休闲椅的数量少5张”这个等量关系列式子，求解，即可．
【详解】解：设型休闲椅单价为元/张，则型休闲椅单价为元/张，
根据题意，得：
，
解方程，得，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴（元），
答：型休闲椅单价为180元/张，型休闲椅单价为120元/张．
11．（2024山西忻州·期末）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
(1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
(2)若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
【答案】(1)甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米
(2)甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意列出分式方程，解方程求解即可；
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，根据题意列一元一次方程求解即可
【详解】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，
由题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元；
【关键点拨】此题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
12．（2024山西太原·期末）习总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校计划组织600名师生前往山西老陈醋的发源地——清徐研学．现准备租用A，B两种型号的客车若干辆，为安全起见，每名师生都需有座且每一辆客车都不得超载．已知每辆A型客车比每辆B型客车的乘客座位数多，若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆．
(1)求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数；
(2)由于实际参加研学活动的人数比原计划增加了35人、学校决定同时租用A、B两种型号的客车共14辆，为确保所有参加活动的师生都有座位（可以坐不满），求最多租用B型客车多少辆？
【答案】(1)50个；40个
(2)6辆
【分析】（1）设每辆型客车乘客座位数为个，则每辆型客车乘客座位数为个，根据“若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆”，列方程求解即可；
（2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列不等式求解即可；
【详解】（1）解：设每辆型客车乘客座位数为个，则每辆型客车乘客座位数为个．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的根，且符合题意．
．
答：每辆型客车的乘客座位数为50个，每辆型客车的乘客座位数为40个．
（2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆．
根据题意，得．
解这个不等式，得．
因为为整数，且取最大值，所以．
答：最多租用型客车数量6辆．
13．（2024山西朔州·期末）山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用．
课题 劳动基地菜地护栏建设
调查方式 走访调研、实地查看测量
测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明：①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元．②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成．
计算结果 …
【答案】支付给工人的总费用为1360元．
【分析】此题主要考查了分式方程的实际应用，设安排x名工人安装横杠，在安排名工人安装竖杠，根据每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根且两项安装任务同时开始，并在当天同时完成列出方程求解即可．
【详解】解：设安排x名工人安装横杠，安排名工人安装竖杠，
由题意得， ，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
元，
答：支付给工人的总费用为1360元．
14．（2024山西阳泉·期末）某市建设工程指挥部对某工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的招标书、从招标书中得知：甲队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
(2)已知甲队每月的施工费用是75万元，乙队每月的施工费用是165万元，工程预算的施工费用为1000万元，为缩短工期以减少对交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断，并说明理由．
【答案】(1)乙队单独完成这项工程需6个月，甲队单独完成这项工程需18个月
(2)施工费用为1000万元不够用，需追加预算80万元，理由见解析
【分析】此题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
（1）若乙队单独完成这项工程需个月，则乙队单独完成这项工程需个月，由题意可得等量关系：甲的工作效率×2+（甲的工作效率+乙的工作效率）×4=1，根据等量关系可得方程：，解方程即可．
（2）设甲乙两个工程队合作需要个月完成任务，由题意可得等量关系：（甲的工作效率+乙的工作效率）×工作时间=总工资量1，根据等量关系列方程，算出两队合作需要的时间，再根据时间计算出费用即可得出1000万元是否够用．
【详解】（1）设乙队单独完成这项工程需个月．
由题意，得．
解得．
经检验：是原方程的解．
则甲队单独完成这项工程需要的月数：（个），
答：乙队单独完成这项工程需6个月，甲队单独完成这项工程需18个月．
（2）设甲乙两个工程队合作需要个月完成任务．
由题意，得．
解得．
施工费用为：（万元）．
不够用．
需追加：（万元）．
答：施工费用为1000万元不够用，需追加预算80万元．
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