黑龙江省哈尔滨市香坊区2016届九年级上学期期末考试数学试题（解析版）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省哈尔滨市香坊区2016届九年级上学期期末考试数学试题（解析版） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 360.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-04-07 00:00:00 | ||
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文档简介
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨市香坊区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1． （2015秋 香坊区期末）抛物线y=x2+2的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
2． （2015 黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3． （2015 松北区一模）反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
4． （2015 永嘉县二模）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2
5． （2015秋 香坊区期末）如图，将 ( http: / / www.21cnjy.com )一长为6米的梯子CD斜靠在墙面上，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与地面的距离BD的长为（ ）米．
A．6cos55° B． C．6sin55° D．
6． （2015秋 香坊区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则棱高CD为（ ）
A．10.5m B．9.5m C．12m D．14m
7． （2015秋 香坊区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OA=2，∠B=60°，则CD的长（ ）
A． B．2 C．2 D．4
8． （2015秋 香坊区期末）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AC=BC，BD⊥AC于点D，以点C为旋转中心，将△BCD顺时针旋转，得到△ACD′．若∠ABD=35°，则∠BCD′的大小为（ ）
A．140° B．145° C．150° D．155°
9． （2015秋 香坊区期末）如图，在 ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10． （2015秋 香坊区期末）甲、乙两 ( http: / / www.21cnjy.com )车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，下列说法：
①乙车的速度是60千米/时；
②甲车从C返回A的速度为120千米/时；
③t=3；
④当两车相距120千米/时，乙车行驶的时间是4小时，
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11． （2015 郴州）函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12． （2015秋 香坊区期末）一个扇形面积是36πcm2，半径是12cm，则这个扇形的弧长是 cm．
13． （2015秋 香坊 ( http: / / www.21cnjy.com )区期末）如图，A、B两点在双曲线y=上，经过A、B两点分别向坐标轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2= ．
14． （2015秋 香坊区期末）二次函数y=2x2﹣3x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
15． （2015 福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= 度．
16． （2015秋 香坊区期末）在 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，M是AB延长线上一点，E是BC的中点，连接ME并延长，交CD于F，交AD延长线于点N，若，BC=4，则AN= ．
17． （2015秋 香坊区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF=2BF，则∠CAE的度数是 ．
18． （2015秋 香坊区期末）在△ABC中，tan∠B=，AB=，AC=，则线段BC的长为 ．
19． （2015秋 香坊区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，若tan∠ACO=2，则此反比函数解析式为 ．
20． （2015秋 香坊区期末）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，D是BC上一点，且AB=BD=3CD，若cos∠DAC=，AD=6，则AC= ．
三、解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）（2015秋 香坊区期末）先化简，再求值：，其中a=6sin30°+cos45°，b=tan60°．
22．（7分）（2015秋 香坊区期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段AB绕A点旋转，得到线段AC，点C落在校正方形的顶点上，连接BC，且△ABC的面积为10；
（2）在方格纸中画，以AC所在直线为对称轴，作△ACB的轴对称图形△ACD，连接BD．直接写出∠BDC的正弦值．
23．（8分）（2015秋 ( http: / / www.21cnjy.com ) 香坊区期末）如图，AB、CD为⊙O的弦，且AB∥CD，连接CO并延长交AB于F，连接DO并延长交AB于E两点，求证：AE=BF．
24．（8分）（2015 ( http: / / www.21cnjy.com )秋 香坊区期末）在△ABC中，AB=AC，以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转得到△DBE．（点A的对应点是点D，点C的对应点是点E）．
（1）如图1，若BD∥AC，连接CD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，当点D落在BC上时，若tan∠C=，AB=5，连接CE，求CE的长．
25．（10分）（2015秋 香坊区期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：
（1）抛物线的解析式；
（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．
26．（10分）（2015秋 香坊区期末）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O，交BC于点D，且BD=CD，交直线AC于点E，连接BE．
（1）如图1，求证：∠CAB=2∠CBE；
（2）如图2，过D作DF⊥AB于F，求证：BE=2DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在∠B ( http: / / www.21cnjy.com )DF的内部作∠BDM，使∠BDM=∠ABE，DM分别交AB、BE于点N、G，交⊙O于点M，若DF=BN=2，求MG的长．
27．（10分）（2015秋 香坊区期末）已知抛物线y=﹣x2+2kx+3k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转90°，得到BQ，连接PQ，过A作直线PQ的垂线，垂足为E，过B作直线PQ的垂线，垂足为F，作线段EF的垂直平分线交x轴于点H，过点H作HD∥y轴，交抛物线于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，延长BP交HD延长线于点M，连接AP交HD于点N，当MD=NH时，求∠QPA的正切值．
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨市香坊区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1． （2015秋 香坊区期末）抛物线y=x2+2的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据y轴上点的坐标特征，计算自变量为0时的函数值即可．
【解答】解：当x=0时，y=x2+2=2，
所以抛物线y=x2+2的图象与y轴的交点坐标是（0，2）．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，即已知横坐标可求对应的纵坐标．本题的关键是确定y轴上点的坐标特征．
2． （2015 黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的 ( http: / / www.21cnjy.com )知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3． （2015 松北区一模）反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣3＜0，再解不等式即可．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
解得m＜3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，关键是掌握对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．
4． （2015 永嘉县二模）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【解答】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．
5． （2015秋 香坊区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，将一长为6米的梯子CD斜靠在墙面上，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与地面的距离BD的长为（ ）米．
A．6cos55° B． C．6sin55° D．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】在Rt△BCD中，根据∠BCD=55°，CD=6米，解直角三角形求出BD的长度即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，
∵∠DBC=90°，∠BCD=55°，CD=6米，
∴BD=CD×sin∠BCD=6sin55°．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用的知识，解答本题的关键是根据已知条件构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解，难度适中．
6． （2015秋 香坊区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则棱高CD为（ ）
A．10.5m B．9.5m C．12m D．14m
【考点】相似三角形的应用．
【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，
∵BE=1.5，AB=2，BC=14，
∴AC=16，
∴=，
∴CD=12．
故选C．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．
7． （2015秋 香坊区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OA=2，∠B=60°，则CD的长（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】根据弦CD⊥AB于E，OA=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B=60°可知CE=DE=CD，设BE=x，则CE=DE=BE tan60°=x，OE=2﹣x，在Rt△ODE中，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，OA=2，∠B=60°，
∴CE=DE=CD，设BE=x，则CE=DE=BE tan60°=x，OE=2﹣x，
在Rt△ODE中，OE=2﹣x，DE=x，OD=2，
∵OE2+DE2=OD2，即（2﹣x）2+（x）2=22，解得x=1，
∴DE=，
∴CD=2DE=2．
故选B．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意得出OE与DE之间的关系，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
8． （2015秋 香坊区期末）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AC=BC，BD⊥AC于点D，以点C为旋转中心，将△BCD顺时针旋转，得到△ACD′．若∠ABD=35°，则∠BCD′的大小为（ ）
A．140° B．145° C．150° D．155°
【考点】旋转的性质．
【分析】直角△ABD中利用三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后根据等边对等角求得∠ABC的度数，则在△ABC中利用三角形内角和定理求得∠BCA的度数，则∠BCD′即可求得．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴直角△ABD中，∠BAC=90°﹣∠ABD=90°﹣35°=55°，
又∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=55°，
∴∠BCA=180°﹣55°﹣55°=70°，
又∵∠BCA=∠ACD'，
∴∠BCD'=70°+70°=140°．
故选A．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质：等边对等角，正确求得∠BCA的度数是关键．
9． （2015秋 香坊区期末）如图，在 ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】由EM∥AD，EN∥CD，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线分线段成比例定理，可得证得， ==，，，又由四边形ABCD是平行四边形，易得，则可求得答案．
【解答】解：A、∵EM∥AD，
∴，故正确；
B、∵EM∥AD，EN∥CD，
∴=， =，
∴=，故正确；
C、∵EM∥AD，EN∥CD，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∴，故正确；
D、∵EN∥CD，
∴，故错误．
故选D．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握线段的对应关系．
10． （2015秋 香坊区期末）甲、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，下列说法：
①乙车的速度是60千米/时；
②甲车从C返回A的速度为120千米/时；
③t=3；
④当两车相距120千米/时，乙车行驶的时间是4小时，
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的应用．
【专题】行程问题．
【分析】根据函数图象和已知条件，可以判断①②③④是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，乙车的速度为：60÷1=60千米/时，故①正确；
甲车从开始最后回到A地用的时间为：（480﹣60）÷60=7（小时）
则甲从C返回A地的速度为：360÷=120千米/时，故②正确；
由图可得：t==3（小时），故③正确；
由图象可知，两车相距120千米时有三种情况，相遇前一种，相遇后两种，故④错误；
故①②③正确．
故选C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11． （2015 郴州）函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
12． （2015秋 香坊区期末）一个扇形面积是36πcm2，半径是12cm，则这个扇形的弧长是 6π cm．
【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：设弧长为l，
∵扇形的面积为36πcm2，半径为12cm，
∴×4 l=36π，
∴l=6π．
故答案为：6π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S= l R（l为扇形的弧长，R为半径），熟记扇形的面积公式是解题的关键．
13． （2015秋 香坊区期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )A、B两点在双曲线y=上，经过A、B两点分别向坐标轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2= 10 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例系数k的几何意义得到S1+S阴影=S2+S阴影=6，由S阴影=1得S1=S2=5，然后计算S1+S2．
【解答】解：根据题意得S1+S阴影=S2+S阴影=6，
而S阴影=1，
所以S1=S2=5，
所以S1+S2=10．
故答案为10．
【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义：在 ( http: / / www.21cnjy.com )反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
14． （2015秋 香坊区期末）二次函数y=2x2﹣3x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤ ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=（﹣3）2﹣4×2×k≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣3x+k的图象与x轴有交点，
∴△=（﹣3）2﹣4×2×k≥0，
∴k≤．
故答案为k≤．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点 ( http: / / www.21cnjy.com )：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
15． （2015 福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= 36 度．
【考点】圆周角定理；正多边形和圆．
【分析】圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴=====72°，
∴∠CAD=×72°=36°．
故答案为36．
【点评】本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键．
16． （2015秋 香坊区期末）在 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，M是AB延长线上一点，E是BC的中点，连接ME并延长，交CD于F，交AD延长线于点N，若，BC=4，则AN= 7 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据平行四边形的性质得到AD∥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，AB=CD，则由得到=，根据比例性质得=，接着证明△MBE∽△BAN，然后利用相似比可计算出AN．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
而，
∴=，
∴=，即=，
∵E是BC的中点，BC=4，
∴BE=2，
∵BE∥AN，
∴△MBE∽△BAN，
∴=，即=，
∴AN=7．
故答案为7．
【点评】本题考查了相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在利用相似三角形的性质时，注意通过相似比计算相应线段的长或对应角线段．解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形．
17． （2015秋 香坊区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF=2BF，则∠CAE的度数是 30° ．
【考点】切线的判定．
【分析】连接OE、EF，根据圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com )和切线的性质得出OE⊥BC，∠AEF=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出OE=OF=EF，求得∠OEF=60°，得出∠AEO=30°，然后根据平行线的性质即可求得∠CAE=∠AEO=30°．
【解答】解：连接OE、EF，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直径，
∴∠AEF=90°，
∵OA=OF=AF，AF=2BF，
∴OF=BF，
∴OE=OF=EF，
∴∠OEF=60°，
∴∠AEO=90°﹣60°=30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
故答案为30°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．
18． （2015秋 香坊区期末）在△ABC中，tan∠B=，AB=，AC=，则线段BC的长为 4或2 ．
【考点】解直角三角形．
【分析】此题分两种情况：如图 ( http: / / www.21cnjy.com )1，过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由已知条件tan∠B=，设AD=3x，BD=4x，根据勾股定理求出x的值，从而得出AD=2，BD=3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出CD=3，于是得到结果；如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，同理可得结果．
【解答】解：如图1，过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∵tan∠B=，
∴设AD=2x，BD=3x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴（2x）2+（3x）2=（）2，
∴x=1，
∴AD=2，BD=3，
在Rt△ADC中，CD==1，
∴BC=BD+CD=4；
如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
在Rt△ABD中，∵tan∠B=，
∴设AD=2x，BD=3x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴（2x）2+（3x）2=（）2，
∴x=1，
∴AD=2，BD=3，
在Rt△ADC中，CD==1，
∴BC=BD﹣CD=2；
故答案为：4或2．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
19． （2015秋 香坊 ( http: / / www.21cnjy.com )区期末）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，若tan∠ACO=2，则此反比函数解析式为 y= ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据直线的解析式求得A的坐标，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )根据已知求得B的横坐标，把B的横坐标代入直线解析式求得B的坐标，然后代入y=（x＞0），根据待定系数法即可求得．
【解答】解：∵直线y=2x+2与y轴交于A点，
∴A（0，2），
∴OA=2，
∵tan∠ACO=2，
∴=2，
∴OC=1，
∴B的横坐标为1，
把x=1代入y=2x+2得，y=2×1+2=4，
∴B（1，4），
代入y=（x＞0）得，4=，
∴k=4，
∴反比函数解析式为y=，
故答案为y=．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求得B点的坐标是解题的关键．
20． （2015秋 香坊区期末）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，D是BC上一点，且AB=BD=3CD，若cos∠DAC=，AD=6，则AC= 8 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】作CE⊥AD，BF⊥AD垂足分别为E ( http: / / www.21cnjy.com )、F，由△BFD∽△CED得==3，因为AF=FD=3，可以求出DE=1，AE=7，再在RT△AEC利用cos∠EAC求出AC即可．
【解答】解：作CE⊥AD，BF⊥AD垂足分别为E、F．
∵∠BFE=∠CEA=90°，
∴BF∥CE，
∴△BFD∽△CED，
∴==3，
∵BA=BD，BF⊥AD，
∴AF=DF=3，DE=1，
在RT△AEC中，∵∠AEC=90°，AE=7，cos∠EAC=，
∴，
∴AC=8．
故答案为8．
【点评】本题考查相似三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、三角函数等知识，解题的关键是由三角形相似得出边的比例关系，求出相应的线段，记住等腰三角形的高是常用辅助线．
三、解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）（2015秋 香坊区期末）先化简，再求值：，其中a=6sin30°+cos45°，b=tan60°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】先把括号内通分，再把分子 ( http: / / www.21cnjy.com )分解因式后把除法运算化为乘法运算得到原式=，然后根据特殊角的三角函数值计算出a和b的值，再把a和b的值代入中计算即可．
【解答】解：原式=÷
=
=，
∵a=6sin30°+cos45°=6×+=3+，b=tan60°=×=3，
∴原式==．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式 ( http: / / www.21cnjy.com )化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了特殊角的三角函数值．
22．（7分）（2015秋 香坊区期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段AB绕A点旋转，得到线段AC，点C落在校正方形的顶点上，连接BC，且△ABC的面积为10；
（2）在方格纸中画，以AC所在直线为对称轴，作△ACB的轴对称图形△ACD，连接BD．直接写出∠BDC的正弦值．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）由于AB==5，而△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的面积为10，则点B到AC的距离为4，然后再过点A的水平格线上取5个单位即可得到C点，从而得到△ABC；
（2）作点B关于直线AC的对称点D ( http: / / www.21cnjy.com )，则可得到△ADC，BD与直线AC相交于点E，计算出DC和CE，然后利用正弦的定义可计算出∠BDC的正弦值．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，△ACD为所求作，tan∠BDC==．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换 ( http: / / www.21cnjy.com )：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
23．（8分）（2015秋 香坊区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AB、CD为⊙O的弦，且AB∥CD，连接CO并延长交AB于F，连接DO并延长交AB于E两点，求证：AE=BF．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】过O作OH⊥AB于H，由垂 ( http: / / www.21cnjy.com )径定理得出AH=BH，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠OFE=∠OEF，证出OE=OF，由等腰三角形的三线合一性质得出EH=FH，即可得出结论．
【解答】证明：过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH=BH，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∵CD∥AB，
∴∠C=∠OFE，∠D=∠OEF，
∴∠OFE=∠OEF，
∴OE=OF，
∵OH⊥AB，
∴EH=FH，
∴AH﹣EH=BH﹣FH，
∴AE=BF．
【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握垂径定理，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．
24．（8分）（2015秋 香坊区期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）在△ABC中，AB=AC，以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转得到△DBE．（点A的对应点是点D，点C的对应点是点E）．
（1）如图1，若BD∥AC，连接CD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，当点D落在BC上时，若tan∠C=，AB=5，连接CE，求CE的长．
【考点】旋转的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】（1）由旋转的性质可知：AB= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，从而得到AC=BD，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知四边形ABDC为平行四边形，然后由AB=AC可知四边形ABDC为菱形；
（2）过A作AF⊥BC于 ( http: / / www.21cnjy.com )F，过E作EH⊥BC于H．由等腰三角形三线合一的性质可知CF=BF，由tan∠ACF==．可求得AF=4，CF=BF=3，从而得到BC=BF+CF=6．由旋转性质得BE=BC=6，∠DBE=∠ABC．由锐角三角函数的定义可求得BH和EH的长，由CH=BC﹣BH可求得HC=．最后在CH中由勾股定理可求得CE的长．
【解答】解：（1）∵由旋转的性质可知：AB=BD，AB=AC，
∴AC=BD．
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形．
又∵AB=AC，
∴四边形ABDC为菱形．
（2）如图所示：过A作AF⊥BC于F，过E作EH⊥BC于H，连接CE．
∵AC=AB=5
∴∠ACB=∠ABC
∵AF⊥BC
∴CF=BF．
在Rt△AFC中，tan∠ACF==．
设AF=4a，CF=3a
∴在Rt△AFC中，AC==5a=5．
∴a=1．
∴AF=4，CF=BF=3a=3
∴BC=BF+CF=6．
在Rt△AFC中，sin∠ACB=，cos∠ACB=．
由旋转性质得，BE=BC=6，∠DBE=∠ABC．
∴sin∠DBE=，cos∠DBE=．
∵EH⊥BC，
∴在Rt△BHE中，EH=BE sin∠DBE=6×=，BH=BE cos∠DBE=6×=．
∴CH=BC﹣BH=．
∴在Rt△CHE中，CE==．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、勾股定理的应用、平行四边形、菱形的判定，锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质，求得HE、CH的长是解题的关键．
25．（10分）（201 ( http: / / www.21cnjy.com )5秋 香坊区期末）如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：
（1）抛物线的解析式；
（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）由图形可知这是一条抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；
（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是它们的距离．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），
设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，
把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，
得a=﹣，
∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，
∴4=﹣（x﹣5）2+5，
∴（x﹣5）2=1，
∴x1=，x2=，
∴两景观灯间的距离为﹣=5米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键．
26．（10分）（2015秋 香坊区期末）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O，交BC于点D，且BD=CD，交直线AC于点E，连接BE．
（1）如图1，求证：∠CAB=2∠CBE；
（2）如图2，过D作DF⊥AB于F，求证：BE=2DF；
（3）如图3，在（2）的条件下， ( http: / / www.21cnjy.com )在∠BDF的内部作∠BDM，使∠BDM=∠ABE，DM分别交AB、BE于点N、G，交⊙O于点M，若DF=BN=2，求MG的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，推出AD垂直平分BC，AB=AC，得到AD平分∠BAC，即可得到结论；
（2）延长DF交⊙O于K，连接DE ( http: / / www.21cnjy.com )，由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，于是得到DE=BC，推出DF=FK，BK=BD，求得DK=2DF，BK=DE，等量代换即可得到结论；
（3）连接AD，连接ED， ( http: / / www.21cnjy.com )由BE=2DF，DF=2，得到BE=4，求得BN=，推出△DAE≌△DNB，根据全等三角形的性质得到AE=NB=，解直角三角形求得CE=AC+AE=4，过G作GH⊥BD于H，则在Rt△GHD中，tan∠GDH==，设GH=a，DH=4a，于是得到tan∠GBH===，推出DH=，GH=，由勾股定理得到D=，连接BM，推出△GDB∽△BDM，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AD垂直平分BC，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAB=2∠CAD，
∵∠CAD=∠CBE，
∴∠CAB=2∠CBE，
（2）证明：延长DF交⊙O于K，连接DE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵BD=CD，
∴DE=BC，
∴DE=BD=CD，
∴DE=DB，
∵AB⊥DK，且AB为⊙O的直径，
∴DF=FK，BK=BD，
∴DK=2DF，BK=DE，
∴BK+EK=DE+EK，
∴DK=BE，
∴DK=BE，
∴BE=2DF，
（3）解：连接AD，连接ED，
∵BE=2DF，DF=2，
∴BE=4，
∵BN=2，
∴BN=，
∵∠BDM=∠ABE∠ADE=∠ABE，
∴∠ADE=∠BDM，
在△DAE与△DNB中，，
∴△DAE≌△DNB，
∴AE=NB=，
在Rt△AEB中，AB==3，
tan∠ABE==，
∴AC=AB=3，tan∠BDG=，
∴CE=AC+AE=4，
在Rt△CEB中，tan∠CBE==，
过G作GH⊥BD于H，则在Rt△GHD中，tan∠GDH==，
设GH=a，DH=4a，
∴在Rt△GHB中，tan∠GBH===，
∴BH=a，
∴BD=BH+DH=a+4a=6，
∴a=，
∴DH=，GH=，
在Rt△DHG中，DG===，
连接BM，
∵DB=DE，
∴∠DEB=∠DBE，
∵∠DEB=∠M，
∴∠DBG=∠M，
∵∠GDB=∠BDM，
∴△GDB∽△BDM，
∴，即，
∴DM=5，
∴MG=DM﹣DG=．
【点评】本题考查了全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．（10分）（2015秋 香坊区期末）已知抛物线y=﹣x2+2kx+3k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内一点，连接B ( http: / / www.21cnjy.com )P，将线段BP绕点B逆时针旋转90°，得到BQ，连接PQ，过A作直线PQ的垂线，垂足为E，过B作直线PQ的垂线，垂足为F，作线段EF的垂直平分线交x轴于点H，过点H作HD∥y轴，交抛物线于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，延长BP交HD延长线于点M，连接AP交HD于点N，当MD=NH时，求∠QPA的正切值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线解析式得到C（ ( http: / / www.21cnjy.com )0，3k），结合已知条件得到点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线解析式列出关于k的一元二次方程，通过解方程求得k的值即可；
（2）根据平行线的判定推 ( http: / / www.21cnjy.com )知AE∥GH∥BF，则由平行线分线段成比例得到： ==1，由点的坐标与图形的性质求得H（1，0）．又因为DH∥y轴，所以点D的横坐标为1．把点D的横坐标代入函数解析式即可求得点D的纵坐标；
（3）设P（m，﹣m2+ ( http: / / www.21cnjy.com )2m+3）．由抛物线上点的坐标特征和待定系数法求得直线PA的解析式为y=（3﹣m）x+3﹣m，易得NH=6﹣2m．同理，由直线PB的解析式得到MH=2m+2，结合MD=NH，求得P（2，3）．如图2，过P作PK⊥AB于K，构建等角∠QPA=∠BPK，所以通过解Rt△PKB得到：tan∠BPK==，即tan∠QPA=．
【解答】（1）解：当x=0时，y=﹣02+2k×0+3k，
解得y=3k，
∴C（0，3k），
∴OC=3k．
∵OA=OC，
∴OA=k，
∴A（﹣k，0）．
∵点A在抛物线上，
∴0=﹣（﹣k）2+2k×（﹣k）+3k，
解得k1=0（舍去），k2=1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）解：如图1，∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
∴当y=0时，0=﹣x2+2x+3，
解得x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0）B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=OA+OB=4．
∵AE⊥PQ，BF⊥PQ，
∴∠AEP=∠BFQ=90°，
∴AE∥BF．
∵GH垂直平分EF，
∴EG=FG，∠HGQ=90°，
∴∠HGQ=∠BFQ，
∴GH∥BF，
∴AE∥GH∥BF，
∴==1，
∴AH=BH=AB=2，
∴OH=OB﹣BH=1，
∴H（1，0）．
∵DH∥y轴，
∴点D的横坐标为1．
∵点D在抛物线上，
∴当x=1时，y=﹣12+2×1+3=4，
∴D（1，4）；
（3）解：∵点P在抛物线y=﹣x2+2x+3上，设P（m，﹣m2+2m+3）
由（2）知A（﹣1，0）B（3，0）设直线PA的解析式为y=k1x+b1
点A（﹣1，0）、P（m，﹣m2+2m+3）在直线PA上，则
，
解得，
∴直线PA的解析式为y=（3﹣m）x+3﹣m，
∵N的横坐标为1
∴当x=1时，y=（3﹣m）×1+3﹣m=6﹣2m，
∴NH=6﹣2m．
设直线PB的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．
点B（3，0）、P（m，﹣m2+2m+3）在直线PB上，则
，
解得，
∴直线PB的解析式为y=（﹣m﹣1）x+3m+3．
∵M的横坐标为1，
∴当x=1时，y=（﹣m﹣1）×1+3m+3=2m+2，
∴MH=2m+2，
∵D（1，4），
∴DH=4，
∴MD=MH﹣DH=2m﹣2．
∵MD=NH，
∴2m﹣2=6﹣2m，
解得m=2，
∴P（2，3）．
如图2，过P作PK⊥AB于K，
∴OK=2，PK=3，
∴AK=OA+OK=3，BK=OB﹣OK=1，
∴AK=PK=3．
∵PK⊥AB，
∴∠PKA=90°，
∴∠PAK=∠APK=45°．
∵BP=BQ，∠PBQ=90°，
∴∠BPQ=∠BQP=45°
∴∠APK﹣∠QPK=∠QPB﹣∠QPK，即∠QPA=∠BPK，
在Rt△PKB中，tan∠BPK==，
∴tan∠QPA=．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数、一次函数解析式，图形旋转变换，平行线的判定与性质等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生熟练运用数形结合的数学思想方法．
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1． （2015秋 香坊区期末）抛物线y=x2+2的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
2． （2015 黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3． （2015 松北区一模）反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
4． （2015 永嘉县二模）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2
5． （2015秋 香坊区期末）如图，将 ( http: / / www.21cnjy.com )一长为6米的梯子CD斜靠在墙面上，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与地面的距离BD的长为（ ）米．
A．6cos55° B． C．6sin55° D．
6． （2015秋 香坊区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则棱高CD为（ ）
A．10.5m B．9.5m C．12m D．14m
7． （2015秋 香坊区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OA=2，∠B=60°，则CD的长（ ）
A． B．2 C．2 D．4
8． （2015秋 香坊区期末）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AC=BC，BD⊥AC于点D，以点C为旋转中心，将△BCD顺时针旋转，得到△ACD′．若∠ABD=35°，则∠BCD′的大小为（ ）
A．140° B．145° C．150° D．155°
9． （2015秋 香坊区期末）如图，在 ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10． （2015秋 香坊区期末）甲、乙两 ( http: / / www.21cnjy.com )车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，下列说法：
①乙车的速度是60千米/时；
②甲车从C返回A的速度为120千米/时；
③t=3；
④当两车相距120千米/时，乙车行驶的时间是4小时，
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11． （2015 郴州）函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
12． （2015秋 香坊区期末）一个扇形面积是36πcm2，半径是12cm，则这个扇形的弧长是 cm．
13． （2015秋 香坊 ( http: / / www.21cnjy.com )区期末）如图，A、B两点在双曲线y=上，经过A、B两点分别向坐标轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2= ．
14． （2015秋 香坊区期末）二次函数y=2x2﹣3x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
15． （2015 福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= 度．
16． （2015秋 香坊区期末）在 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，M是AB延长线上一点，E是BC的中点，连接ME并延长，交CD于F，交AD延长线于点N，若，BC=4，则AN= ．
17． （2015秋 香坊区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF=2BF，则∠CAE的度数是 ．
18． （2015秋 香坊区期末）在△ABC中，tan∠B=，AB=，AC=，则线段BC的长为 ．
19． （2015秋 香坊区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，若tan∠ACO=2，则此反比函数解析式为 ．
20． （2015秋 香坊区期末）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，D是BC上一点，且AB=BD=3CD，若cos∠DAC=，AD=6，则AC= ．
三、解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）（2015秋 香坊区期末）先化简，再求值：，其中a=6sin30°+cos45°，b=tan60°．
22．（7分）（2015秋 香坊区期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段AB绕A点旋转，得到线段AC，点C落在校正方形的顶点上，连接BC，且△ABC的面积为10；
（2）在方格纸中画，以AC所在直线为对称轴，作△ACB的轴对称图形△ACD，连接BD．直接写出∠BDC的正弦值．
23．（8分）（2015秋 ( http: / / www.21cnjy.com ) 香坊区期末）如图，AB、CD为⊙O的弦，且AB∥CD，连接CO并延长交AB于F，连接DO并延长交AB于E两点，求证：AE=BF．
24．（8分）（2015 ( http: / / www.21cnjy.com )秋 香坊区期末）在△ABC中，AB=AC，以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转得到△DBE．（点A的对应点是点D，点C的对应点是点E）．
（1）如图1，若BD∥AC，连接CD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，当点D落在BC上时，若tan∠C=，AB=5，连接CE，求CE的长．
25．（10分）（2015秋 香坊区期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：
（1）抛物线的解析式；
（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．
26．（10分）（2015秋 香坊区期末）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O，交BC于点D，且BD=CD，交直线AC于点E，连接BE．
（1）如图1，求证：∠CAB=2∠CBE；
（2）如图2，过D作DF⊥AB于F，求证：BE=2DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在∠B ( http: / / www.21cnjy.com )DF的内部作∠BDM，使∠BDM=∠ABE，DM分别交AB、BE于点N、G，交⊙O于点M，若DF=BN=2，求MG的长．
27．（10分）（2015秋 香坊区期末）已知抛物线y=﹣x2+2kx+3k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，连接BP，将线段BP绕点B逆时针旋转90°，得到BQ，连接PQ，过A作直线PQ的垂线，垂足为E，过B作直线PQ的垂线，垂足为F，作线段EF的垂直平分线交x轴于点H，过点H作HD∥y轴，交抛物线于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，延长BP交HD延长线于点M，连接AP交HD于点N，当MD=NH时，求∠QPA的正切值．
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨市香坊区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1． （2015秋 香坊区期末）抛物线y=x2+2的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据y轴上点的坐标特征，计算自变量为0时的函数值即可．
【解答】解：当x=0时，y=x2+2=2，
所以抛物线y=x2+2的图象与y轴的交点坐标是（0，2）．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，即已知横坐标可求对应的纵坐标．本题的关键是确定y轴上点的坐标特征．
2． （2015 黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的 ( http: / / www.21cnjy.com )知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3． （2015 松北区一模）反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＞3 D．m≥3
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣3＜0，再解不等式即可．
【解答】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，
解得m＜3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )，关键是掌握对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内y随x的增大而增大．
4． （2015 永嘉县二模）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【解答】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y=（x﹣1）2+2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．
5． （2015秋 香坊区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，将一长为6米的梯子CD斜靠在墙面上，梯子与地面所成的角∠BCD=55°，此时梯子的顶端与地面的距离BD的长为（ ）米．
A．6cos55° B． C．6sin55° D．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】在Rt△BCD中，根据∠BCD=55°，CD=6米，解直角三角形求出BD的长度即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，
∵∠DBC=90°，∠BCD=55°，CD=6米，
∴BD=CD×sin∠BCD=6sin55°．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用的知识，解答本题的关键是根据已知条件构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解，难度适中．
6． （2015秋 香坊区期末）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则棱高CD为（ ）
A．10.5m B．9.5m C．12m D．14m
【考点】相似三角形的应用．
【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．
【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，
∵BE=1.5，AB=2，BC=14，
∴AC=16，
∴=，
∴CD=12．
故选C．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．
7． （2015秋 香坊区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OA=2，∠B=60°，则CD的长（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】根据弦CD⊥AB于E，OA=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B=60°可知CE=DE=CD，设BE=x，则CE=DE=BE tan60°=x，OE=2﹣x，在Rt△ODE中，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，OA=2，∠B=60°，
∴CE=DE=CD，设BE=x，则CE=DE=BE tan60°=x，OE=2﹣x，
在Rt△ODE中，OE=2﹣x，DE=x，OD=2，
∵OE2+DE2=OD2，即（2﹣x）2+（x）2=22，解得x=1，
∴DE=，
∴CD=2DE=2．
故选B．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意得出OE与DE之间的关系，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
8． （2015秋 香坊区期末）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AC=BC，BD⊥AC于点D，以点C为旋转中心，将△BCD顺时针旋转，得到△ACD′．若∠ABD=35°，则∠BCD′的大小为（ ）
A．140° B．145° C．150° D．155°
【考点】旋转的性质．
【分析】直角△ABD中利用三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后根据等边对等角求得∠ABC的度数，则在△ABC中利用三角形内角和定理求得∠BCA的度数，则∠BCD′即可求得．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴直角△ABD中，∠BAC=90°﹣∠ABD=90°﹣35°=55°，
又∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=55°，
∴∠BCA=180°﹣55°﹣55°=70°，
又∵∠BCA=∠ACD'，
∴∠BCD'=70°+70°=140°．
故选A．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质：等边对等角，正确求得∠BCA的度数是关键．
9． （2015秋 香坊区期末）如图，在 ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】由EM∥AD，EN∥CD，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )平行线分线段成比例定理，可得证得， ==，，，又由四边形ABCD是平行四边形，易得，则可求得答案．
【解答】解：A、∵EM∥AD，
∴，故正确；
B、∵EM∥AD，EN∥CD，
∴=， =，
∴=，故正确；
C、∵EM∥AD，EN∥CD，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
∴，故正确；
D、∵EN∥CD，
∴，故错误．
故选D．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握线段的对应关系．
10． （2015秋 香坊区期末）甲、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，下列说法：
①乙车的速度是60千米/时；
②甲车从C返回A的速度为120千米/时；
③t=3；
④当两车相距120千米/时，乙车行驶的时间是4小时，
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的应用．
【专题】行程问题．
【分析】根据函数图象和已知条件，可以判断①②③④是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，乙车的速度为：60÷1=60千米/时，故①正确；
甲车从开始最后回到A地用的时间为：（480﹣60）÷60=7（小时）
则甲从C返回A地的速度为：360÷=120千米/时，故②正确；
由图可得：t==3（小时），故③正确；
由图象可知，两车相距120千米时有三种情况，相遇前一种，相遇后两种，故④错误；
故①②③正确．
故选C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11． （2015 郴州）函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
12． （2015秋 香坊区期末）一个扇形面积是36πcm2，半径是12cm，则这个扇形的弧长是 6π cm．
【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：设弧长为l，
∵扇形的面积为36πcm2，半径为12cm，
∴×4 l=36π，
∴l=6π．
故答案为：6π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S= l R（l为扇形的弧长，R为半径），熟记扇形的面积公式是解题的关键．
13． （2015秋 香坊区期末）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )A、B两点在双曲线y=上，经过A、B两点分别向坐标轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2= 10 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】根据反比例系数k的几何意义得到S1+S阴影=S2+S阴影=6，由S阴影=1得S1=S2=5，然后计算S1+S2．
【解答】解：根据题意得S1+S阴影=S2+S阴影=6，
而S阴影=1，
所以S1=S2=5，
所以S1+S2=10．
故答案为10．
【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义：在 ( http: / / www.21cnjy.com )反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
14． （2015秋 香坊区期末）二次函数y=2x2﹣3x+k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 k≤ ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=（﹣3）2﹣4×2×k≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣3x+k的图象与x轴有交点，
∴△=（﹣3）2﹣4×2×k≥0，
∴k≤．
故答案为k≤．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点 ( http: / / www.21cnjy.com )：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
15． （2015 福建）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= 36 度．
【考点】圆周角定理；正多边形和圆．
【分析】圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分，即可求得五条弧的度数，根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴=====72°，
∴∠CAD=×72°=36°．
故答案为36．
【点评】本题考查了正多边形的计算，理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键．
16． （2015秋 香坊区期末）在 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，M是AB延长线上一点，E是BC的中点，连接ME并延长，交CD于F，交AD延长线于点N，若，BC=4，则AN= 7 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据平行四边形的性质得到AD∥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，AB=CD，则由得到=，根据比例性质得=，接着证明△MBE∽△BAN，然后利用相似比可计算出AN．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
而，
∴=，
∴=，即=，
∵E是BC的中点，BC=4，
∴BE=2，
∵BE∥AN，
∴△MBE∽△BAN，
∴=，即=，
∴AN=7．
故答案为7．
【点评】本题考查了相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在利用相似三角形的性质时，注意通过相似比计算相应线段的长或对应角线段．解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形．
17． （2015秋 香坊区期末）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一点，⊙O与BC相切于点E，交AB于点F，连接AE，若AF=2BF，则∠CAE的度数是 30° ．
【考点】切线的判定．
【分析】连接OE、EF，根据圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com )和切线的性质得出OE⊥BC，∠AEF=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出OE=OF=EF，求得∠OEF=60°，得出∠AEO=30°，然后根据平行线的性质即可求得∠CAE=∠AEO=30°．
【解答】解：连接OE、EF，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AF是直径，
∴∠AEF=90°，
∵OA=OF=AF，AF=2BF，
∴OF=BF，
∴OE=OF=EF，
∴∠OEF=60°，
∴∠AEO=90°﹣60°=30°，
∵AC⊥BC，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
故答案为30°．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．
18． （2015秋 香坊区期末）在△ABC中，tan∠B=，AB=，AC=，则线段BC的长为 4或2 ．
【考点】解直角三角形．
【分析】此题分两种情况：如图 ( http: / / www.21cnjy.com )1，过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由已知条件tan∠B=，设AD=3x，BD=4x，根据勾股定理求出x的值，从而得出AD=2，BD=3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出CD=3，于是得到结果；如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，同理可得结果．
【解答】解：如图1，过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∵tan∠B=，
∴设AD=2x，BD=3x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴（2x）2+（3x）2=（）2，
∴x=1，
∴AD=2，BD=3，
在Rt△ADC中，CD==1，
∴BC=BD+CD=4；
如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
在Rt△ABD中，∵tan∠B=，
∴设AD=2x，BD=3x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴（2x）2+（3x）2=（）2，
∴x=1，
∴AD=2，BD=3，
在Rt△ADC中，CD==1，
∴BC=BD﹣CD=2；
故答案为：4或2．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
19． （2015秋 香坊 ( http: / / www.21cnjy.com )区期末）如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，若tan∠ACO=2，则此反比函数解析式为 y= ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据直线的解析式求得A的坐标，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )根据已知求得B的横坐标，把B的横坐标代入直线解析式求得B的坐标，然后代入y=（x＞0），根据待定系数法即可求得．
【解答】解：∵直线y=2x+2与y轴交于A点，
∴A（0，2），
∴OA=2，
∵tan∠ACO=2，
∴=2，
∴OC=1，
∴B的横坐标为1，
把x=1代入y=2x+2得，y=2×1+2=4，
∴B（1，4），
代入y=（x＞0）得，4=，
∴k=4，
∴反比函数解析式为y=，
故答案为y=．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求得B点的坐标是解题的关键．
20． （2015秋 香坊区期末）如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，D是BC上一点，且AB=BD=3CD，若cos∠DAC=，AD=6，则AC= 8 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】作CE⊥AD，BF⊥AD垂足分别为E ( http: / / www.21cnjy.com )、F，由△BFD∽△CED得==3，因为AF=FD=3，可以求出DE=1，AE=7，再在RT△AEC利用cos∠EAC求出AC即可．
【解答】解：作CE⊥AD，BF⊥AD垂足分别为E、F．
∵∠BFE=∠CEA=90°，
∴BF∥CE，
∴△BFD∽△CED，
∴==3，
∵BA=BD，BF⊥AD，
∴AF=DF=3，DE=1，
在RT△AEC中，∵∠AEC=90°，AE=7，cos∠EAC=，
∴，
∴AC=8．
故答案为8．
【点评】本题考查相似三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、三角函数等知识，解题的关键是由三角形相似得出边的比例关系，求出相应的线段，记住等腰三角形的高是常用辅助线．
三、解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）（2015秋 香坊区期末）先化简，再求值：，其中a=6sin30°+cos45°，b=tan60°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】先把括号内通分，再把分子 ( http: / / www.21cnjy.com )分解因式后把除法运算化为乘法运算得到原式=，然后根据特殊角的三角函数值计算出a和b的值，再把a和b的值代入中计算即可．
【解答】解：原式=÷
=
=，
∵a=6sin30°+cos45°=6×+=3+，b=tan60°=×=3，
∴原式==．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式 ( http: / / www.21cnjy.com )化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了特殊角的三角函数值．
22．（7分）（2015秋 香坊区期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将线段AB绕A点旋转，得到线段AC，点C落在校正方形的顶点上，连接BC，且△ABC的面积为10；
（2）在方格纸中画，以AC所在直线为对称轴，作△ACB的轴对称图形△ACD，连接BD．直接写出∠BDC的正弦值．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）由于AB==5，而△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的面积为10，则点B到AC的距离为4，然后再过点A的水平格线上取5个单位即可得到C点，从而得到△ABC；
（2）作点B关于直线AC的对称点D ( http: / / www.21cnjy.com )，则可得到△ADC，BD与直线AC相交于点E，计算出DC和CE，然后利用正弦的定义可计算出∠BDC的正弦值．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，△ACD为所求作，tan∠BDC==．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换 ( http: / / www.21cnjy.com )：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
23．（8分）（2015秋 香坊区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，AB、CD为⊙O的弦，且AB∥CD，连接CO并延长交AB于F，连接DO并延长交AB于E两点，求证：AE=BF．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】过O作OH⊥AB于H，由垂 ( http: / / www.21cnjy.com )径定理得出AH=BH，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠OFE=∠OEF，证出OE=OF，由等腰三角形的三线合一性质得出EH=FH，即可得出结论．
【解答】证明：过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH=BH，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D，
∵CD∥AB，
∴∠C=∠OFE，∠D=∠OEF，
∴∠OFE=∠OEF，
∴OE=OF，
∵OH⊥AB，
∴EH=FH，
∴AH﹣EH=BH﹣FH，
∴AE=BF．
【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质；熟练掌握垂径定理，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．
24．（8分）（2015秋 香坊区期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）在△ABC中，AB=AC，以点B为旋转中心，将△ABC顺时针旋转得到△DBE．（点A的对应点是点D，点C的对应点是点E）．
（1）如图1，若BD∥AC，连接CD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，当点D落在BC上时，若tan∠C=，AB=5，连接CE，求CE的长．
【考点】旋转的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】（1）由旋转的性质可知：AB= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，从而得到AC=BD，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知四边形ABDC为平行四边形，然后由AB=AC可知四边形ABDC为菱形；
（2）过A作AF⊥BC于 ( http: / / www.21cnjy.com )F，过E作EH⊥BC于H．由等腰三角形三线合一的性质可知CF=BF，由tan∠ACF==．可求得AF=4，CF=BF=3，从而得到BC=BF+CF=6．由旋转性质得BE=BC=6，∠DBE=∠ABC．由锐角三角函数的定义可求得BH和EH的长，由CH=BC﹣BH可求得HC=．最后在CH中由勾股定理可求得CE的长．
【解答】解：（1）∵由旋转的性质可知：AB=BD，AB=AC，
∴AC=BD．
又∵AC∥BD，
∴四边形ABDC为平行四边形．
又∵AB=AC，
∴四边形ABDC为菱形．
（2）如图所示：过A作AF⊥BC于F，过E作EH⊥BC于H，连接CE．
∵AC=AB=5
∴∠ACB=∠ABC
∵AF⊥BC
∴CF=BF．
在Rt△AFC中，tan∠ACF==．
设AF=4a，CF=3a
∴在Rt△AFC中，AC==5a=5．
∴a=1．
∴AF=4，CF=BF=3a=3
∴BC=BF+CF=6．
在Rt△AFC中，sin∠ACB=，cos∠ACB=．
由旋转性质得，BE=BC=6，∠DBE=∠ABC．
∴sin∠DBE=，cos∠DBE=．
∵EH⊥BC，
∴在Rt△BHE中，EH=BE sin∠DBE=6×=，BH=BE cos∠DBE=6×=．
∴CH=BC﹣BH=．
∴在Rt△CHE中，CE==．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、勾股定理的应用、平行四边形、菱形的判定，锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质，求得HE、CH的长是解题的关键．
25．（10分）（201 ( http: / / www.21cnjy.com )5秋 香坊区期末）如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：
（1）抛物线的解析式；
（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）由图形可知这是一条抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；
（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是它们的距离．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），
设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，
把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，
得a=﹣，
∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，
∴4=﹣（x﹣5）2+5，
∴（x﹣5）2=1，
∴x1=，x2=，
∴两景观灯间的距离为﹣=5米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键．
26．（10分）（2015秋 香坊区期末）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O，交BC于点D，且BD=CD，交直线AC于点E，连接BE．
（1）如图1，求证：∠CAB=2∠CBE；
（2）如图2，过D作DF⊥AB于F，求证：BE=2DF；
（3）如图3，在（2）的条件下， ( http: / / www.21cnjy.com )在∠BDF的内部作∠BDM，使∠BDM=∠ABE，DM分别交AB、BE于点N、G，交⊙O于点M，若DF=BN=2，求MG的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，推出AD垂直平分BC，AB=AC，得到AD平分∠BAC，即可得到结论；
（2）延长DF交⊙O于K，连接DE ( http: / / www.21cnjy.com )，由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，于是得到DE=BC，推出DF=FK，BK=BD，求得DK=2DF，BK=DE，等量代换即可得到结论；
（3）连接AD，连接ED， ( http: / / www.21cnjy.com )由BE=2DF，DF=2，得到BE=4，求得BN=，推出△DAE≌△DNB，根据全等三角形的性质得到AE=NB=，解直角三角形求得CE=AC+AE=4，过G作GH⊥BD于H，则在Rt△GHD中，tan∠GDH==，设GH=a，DH=4a，于是得到tan∠GBH===，推出DH=，GH=，由勾股定理得到D=，连接BM，推出△GDB∽△BDM，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AD
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，
∴AD垂直平分BC，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAB=2∠CAD，
∵∠CAD=∠CBE，
∴∠CAB=2∠CBE，
（2）证明：延长DF交⊙O于K，连接DE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵BD=CD，
∴DE=BC，
∴DE=BD=CD，
∴DE=DB，
∵AB⊥DK，且AB为⊙O的直径，
∴DF=FK，BK=BD，
∴DK=2DF，BK=DE，
∴BK+EK=DE+EK，
∴DK=BE，
∴DK=BE，
∴BE=2DF，
（3）解：连接AD，连接ED，
∵BE=2DF，DF=2，
∴BE=4，
∵BN=2，
∴BN=，
∵∠BDM=∠ABE∠ADE=∠ABE，
∴∠ADE=∠BDM，
在△DAE与△DNB中，，
∴△DAE≌△DNB，
∴AE=NB=，
在Rt△AEB中，AB==3，
tan∠ABE==，
∴AC=AB=3，tan∠BDG=，
∴CE=AC+AE=4，
在Rt△CEB中，tan∠CBE==，
过G作GH⊥BD于H，则在Rt△GHD中，tan∠GDH==，
设GH=a，DH=4a，
∴在Rt△GHB中，tan∠GBH===，
∴BH=a，
∴BD=BH+DH=a+4a=6，
∴a=，
∴DH=，GH=，
在Rt△DHG中，DG===，
连接BM，
∵DB=DE，
∴∠DEB=∠DBE，
∵∠DEB=∠M，
∴∠DBG=∠M，
∵∠GDB=∠BDM，
∴△GDB∽△BDM，
∴，即，
∴DM=5，
∴MG=DM﹣DG=．
【点评】本题考查了全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．（10分）（2015秋 香坊区期末）已知抛物线y=﹣x2+2kx+3k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上第一象限内一点，连接B ( http: / / www.21cnjy.com )P，将线段BP绕点B逆时针旋转90°，得到BQ，连接PQ，过A作直线PQ的垂线，垂足为E，过B作直线PQ的垂线，垂足为F，作线段EF的垂直平分线交x轴于点H，过点H作HD∥y轴，交抛物线于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，延长BP交HD延长线于点M，连接AP交HD于点N，当MD=NH时，求∠QPA的正切值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线解析式得到C（ ( http: / / www.21cnjy.com )0，3k），结合已知条件得到点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线解析式列出关于k的一元二次方程，通过解方程求得k的值即可；
（2）根据平行线的判定推 ( http: / / www.21cnjy.com )知AE∥GH∥BF，则由平行线分线段成比例得到： ==1，由点的坐标与图形的性质求得H（1，0）．又因为DH∥y轴，所以点D的横坐标为1．把点D的横坐标代入函数解析式即可求得点D的纵坐标；
（3）设P（m，﹣m2+ ( http: / / www.21cnjy.com )2m+3）．由抛物线上点的坐标特征和待定系数法求得直线PA的解析式为y=（3﹣m）x+3﹣m，易得NH=6﹣2m．同理，由直线PB的解析式得到MH=2m+2，结合MD=NH，求得P（2，3）．如图2，过P作PK⊥AB于K，构建等角∠QPA=∠BPK，所以通过解Rt△PKB得到：tan∠BPK==，即tan∠QPA=．
【解答】（1）解：当x=0时，y=﹣02+2k×0+3k，
解得y=3k，
∴C（0，3k），
∴OC=3k．
∵OA=OC，
∴OA=k，
∴A（﹣k，0）．
∵点A在抛物线上，
∴0=﹣（﹣k）2+2k×（﹣k）+3k，
解得k1=0（舍去），k2=1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）解：如图1，∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
∴当y=0时，0=﹣x2+2x+3，
解得x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0）B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴AB=OA+OB=4．
∵AE⊥PQ，BF⊥PQ，
∴∠AEP=∠BFQ=90°，
∴AE∥BF．
∵GH垂直平分EF，
∴EG=FG，∠HGQ=90°，
∴∠HGQ=∠BFQ，
∴GH∥BF，
∴AE∥GH∥BF，
∴==1，
∴AH=BH=AB=2，
∴OH=OB﹣BH=1，
∴H（1，0）．
∵DH∥y轴，
∴点D的横坐标为1．
∵点D在抛物线上，
∴当x=1时，y=﹣12+2×1+3=4，
∴D（1，4）；
（3）解：∵点P在抛物线y=﹣x2+2x+3上，设P（m，﹣m2+2m+3）
由（2）知A（﹣1，0）B（3，0）设直线PA的解析式为y=k1x+b1
点A（﹣1，0）、P（m，﹣m2+2m+3）在直线PA上，则
，
解得，
∴直线PA的解析式为y=（3﹣m）x+3﹣m，
∵N的横坐标为1
∴当x=1时，y=（3﹣m）×1+3﹣m=6﹣2m，
∴NH=6﹣2m．
设直线PB的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．
点B（3，0）、P（m，﹣m2+2m+3）在直线PB上，则
，
解得，
∴直线PB的解析式为y=（﹣m﹣1）x+3m+3．
∵M的横坐标为1，
∴当x=1时，y=（﹣m﹣1）×1+3m+3=2m+2，
∴MH=2m+2，
∵D（1，4），
∴DH=4，
∴MD=MH﹣DH=2m﹣2．
∵MD=NH，
∴2m﹣2=6﹣2m，
解得m=2，
∴P（2，3）．
如图2，过P作PK⊥AB于K，
∴OK=2，PK=3，
∴AK=OA+OK=3，BK=OB﹣OK=1，
∴AK=PK=3．
∵PK⊥AB，
∴∠PKA=90°，
∴∠PAK=∠APK=45°．
∵BP=BQ，∠PBQ=90°，
∴∠BPQ=∠BQP=45°
∴∠APK﹣∠QPK=∠QPB﹣∠QPK，即∠QPA=∠BPK，
在Rt△PKB中，tan∠BPK==，
∴tan∠QPA=．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二 ( http: / / www.21cnjy.com )次函数、一次函数解析式，图形旋转变换，平行线的判定与性质等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生熟练运用数形结合的数学思想方法．
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