2024-2025学年云南省昆明市云南大学附中高三（上）段考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年云南大学附中高三（上）段考数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
2.某运动员在一次训练中共射击次，射击成绩单位：环如下：，，，，，则下列说法正确的是( )
A. 成绩的极差为 B. 成绩的第百分位数等于成绩的平均数
C. 成绩的中位数为和 D. 若增加一个成绩，则成绩的方差不变
3.空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
4.某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列单调递增，前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
6.在直角坐标系中，已知直线与圆相交于，两点，则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，满足，则( )
A. 数列为等比数列 B. 数列为等差数列
C. D. 数列是等比数列
10.已知函数，则( )
A. 当时，函数的周期为
B. 函数图象的对称轴是
C. 当时，是函数的一个最大值点
D. 函数在区间内不单调，则
11.若函数在处取得极大值，则( )
A. ，或
B. 的解集为
C. 当时，
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法．
13.紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______填写百分数，现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______．
14.在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且的平行线与的角平分线交于，，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若为中点，，，求的周长．
16.本小题分
已知函数．
当时，证明：；
若函数有极小值，且的极小值小于，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在体积为的三棱柱中，平面平面，，．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响．
若甲队先主场后客场，且，
求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
(ⅱ)求甲队获得冠军的概率；
除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为问哪种赛制更有利于甲队夺冠？
19.本小题分
如图所示，，是抛物线上的一系列点，其中，，记直线、的斜率分别为、，．
证明是等比数列，并求出数列的通项公式；
记的面积为，求；
若，，求证：．
注：中，若，，则面积
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由及余弦定理，
可得，
整理得，
即，又，
所以；
由及，可得，
在中，由余弦定理，
可得，
整理得，
由余弦定理，得，
所以，
因此，
所以的周长为．
16.解：证明：要证，
需证．
当时，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极小值，也是最小值，最小值，
则；
因为，函数定义域为，
可得，
当时，，，单调递增；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
此时，
即．
设，函数定义域为，且．
可得，
当且仅当时，即时，，
所以，函数在单调递增，
因为，
所以．
则实数的取值范围为．
17.证明：取的中点，连接，由为正三角形，得，
因为平面平面且交于，所以平面，
即为该三棱柱的高，
因为三棱柱的体积，且，
所以，
因为，所以，即，
又因为平面平面，平面，可得平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
在菱形中，，
又因，平面，平面，
所以平面；
解：如图，
过作直线平行于交于，
以为原点，以的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，
因为，
所以，
令，得，
设平面的法向量为，
因为，
所以，
令，得，
因为，，，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：记甲队通过点球大战获得冠军为事件，
则事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，
甲队通过点球大战获得冠军的概率为：
，
，
，
甲队通过点球大战获得冠军的概率为．
记甲队获得冠军为事件，
事件包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，
甲队获得冠军的概率为：
，
将代入，得，
甲队获得冠军的概率为．
由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件，
事件包含甲队胜，甲队平同时点球胜，
，
，，
此时满足题意，
，
，，，
，
“主客场比赛“比“单场比赛制”更有利于甲夺冠．
19.解：证明：因为，
同理得，
因为，
所以，
又，
所以，
则是首项为，公比为的等比数列，
所以；
由知，，
令
此时，
同理得，
所以，
即；
证明：因为，
所以，
则．
第1页，共1页