选择必修第二册 第五章 5.1.2 导数的概念及其几何意义（第1课时）课件（20页ppt）

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选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解导数概念的实际背景． 1.特殊到一般的数学素养和逻辑推理素养.
2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想． 2.特殊到一般的数学抽象素养.
温故知新
1.跳台跳水运动员的速度.
平均速度：
瞬时速度
．
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
v(t0)=.
温故知新
2.抛物线的切线斜率
抛物线y=f(x)在x=x0处割线的斜率
k1=.
抛物线y=f(x)在x=x0处切线的斜率
k=.
新知探究
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题, 涉及平均速度和瞬时速度; 另一类是几何学中的问题, 涉及割线斜率和切线斜率 . 这两类问题来自不同的学科领域, 但在解决问题时, 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法 ; 问题的答案也是一样的表示形式 . 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.
对于函数y=f(x), 设自变量x从x0变化到x0+ x, 相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+ x).这时，x的变化量为 x , y的变化量为
y=f(x0+ x)-f(x0).
我们把比值,即
.
叫做函数y=f(x)从x0到x0+ x的平均变化率.
知新探究
如果当 x→0时, 平均变化率无限接近一个确定的值, 即有极限, 则称y=f(x)在x=x0处可导, 并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(derivative)(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x=x ，即
f′(x0)=.
说明：
1.f′(x0)与x0的取值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
2.f′(x0)与 x的具体取值无关；
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.
知新探究
问题2中抛物f(x)=x2线在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0，就是函数f(x)=x2在x =1处的导数f′(1).
实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等.
根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度和求已知曲线的切线这两类问题直接促使了导数的产生.
由导数的定义可知，问题1中运动员在t =1时的瞬时速度v(1)，就是函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11. 在t =1处的导数h′(1) ；
知新探究
【例1】设f (x)= ，求f ′(1).
解：
f ′(1)=.
=.
==-1.
知新探究
1.求函数的增量:
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)在x=x0处的导数的一般方法:
y=f(x0+ x)-f(x0).
2.求平均变化率：
.
3.取极限得导数值:
f′(x0)=.
简记：一差、二比、三极限.
初试身手
∵，
1.求函数y=在x=1处的导数.
.
解：
∴.
∴2.
∴f ′(1)=2,即函数y=在x=1处的导数为2.
知新探究
【例2】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热 . 如果在第xh时, 原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解：
在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6).根据导数的定义，
同理可得 f ′(6)=5.
=
=.
∴f ′(2)=.
.
知新探究
【例2】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热 . 如果在第xh时, 原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解：
f ′(6)=5.它说明在第6h附近,原油温度的瞬时变化率为5℃/h，原油温度大约以5℃/h的速率上升.
在本题中，f ′(x0)(0≤x≤8) 是原油温度在时刻x0的瞬时变化率，它反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
f ′(2)=-3它说明在第2h附近, 原油温度的瞬时变化率为-3℃/h，原油温度大约以3℃/h的速率下降;
知新探究
【例3】一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+17, 求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
解：
在第2s和第6s时,汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6).根据导数的定义，
同理可得 v ′(6)=-6.
=,
=.
∴v ′(2)=.
.
分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率. 因此,在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2), v′(6).
知新探究
【例3】一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位:m/s)为y=v(t)=-t2+6t+17, 求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
解：
在第2s和第6s时,汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6).根据导数的定义，
同理可得 v ′(6)=-6.
∴v ′(2)=.
分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率. 因此,在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2), v′(6).
在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度分别为2m/s2和-6m/s2. 它说明在第2s附近, 汽车的速度每秒大约增加2m/s; 在第6h附近, 汽车的速度每秒大约减少6m/s.
初试身手
∵，
2.已知函数f(x)=x2+ax+b,f ′(2)=-1,则a= .
.
解：
∴.
∴f ′(1)=-1.
∴a=-5.
-5
课堂小结
1.导数的概念
如果当 x→0时, 平均变化率无限接近一个确定的值, 即有极限, 则称y=f(x)在x=x0处可导, 并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x=x ，即
f′(x0)=.
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
2.求函数 y = f (x)在x=x0处的导数的一般方法
①求函数的增量:
y=f(x0+ x)-f(x0).
②求平均变化率：
.
③取极限得导数值:
简记：一差、二比、三极限.
f′(x0)=.
作业布置
作业： P68 练习 第2，3,4题
P习题5.1 第11题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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