湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 858.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-21 07:39:00 | ||
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文档简介
1
高三年级12月份月考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（）
A．1 B．2 C． D．5
2．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
3．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）
A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数
4．已知，且，则的值为（）
A． B． C． D．
5．已知函数是减函数，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
6．已知数列的前项和为，且，，则的值为（）
A． B． C． D．
7．若直线与曲线相切，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
8．已知分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．已知直线与圆，则（）
A．直线过定点 B．圆的半径为4
C．直线与圆一定相交 D．圆心到直线的距离的最大值是1
10．已知函数，则下列说法正确的是（）
A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称
C．在区间上的零点个数为4 D．的最大值为
11．已知正方体的棱长为3，为正方体表面上的一个动点，为线段上的动点，．则下列说法正确的是（）
A．当点在侧面（含边界）内时，为定值
B．当点在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为
C．当点在侧面（含边界）内时，对任意点，总存在点，使得
D．点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中，常数项为__________．
13．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球．第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为__________．
14．已知函数，满足，且，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分
15．（本题满分13分）已知内角的对边分别为，，且．
（1）求边的值；
（2）若为边的中点，，求的面积．
16．（本题满分15分）已知数列满足，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前的和．
17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，为棱的中点，求证：平面平面．
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分17分）已知函数
（1）求的单调性;
（2）若有两个不相同的零点，，设的导函数为．证明：
19．（本题满分17分）黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁．每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分．假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率．
（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C B A C D D C B ACD ABD ACD
三、填空题
12． 6 13． 14． 9
四、解答题
15．解：（1）因为，
由正弦定理得：，且，
所以．
（2）延长至点，满足，连接，在中，
由余弦定理得：，
因为，，
代入上式整理得：，所以
所以．
16．（1）略
（2）
17．（1）因为分别是的中点，所以//，
在矩形中，，所以，
又平面，平面，所以平面．
又是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
因为，，平面，
所以平面平面．
（2）假设在棱上存在点满足题意．
在等边三角形中，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以是四棱锥的高．
设，则，，
所以，所以．
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
18．（1）∵，
，
当时，恒成立，
当时，令，解得，
令，解得，
∴当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：（2）∵有两个不相同的零点，
∴由（1）知，，
，
，
，
∴
，
不妨设，令，则．
构造函数，则恒成立，
∴在上单调递增，
则，
∴成立．
19． 由题意得，随机变量的可能取值为2，3，4，
可得，，．
所以的分布列如下表所示：
2 3 4
所以，数学期望为．
【小问2解析】
由这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，
所以，
则，
由两式相减，可得，，
所以．
【小问3解析】
在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，
记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，
因为，
所以，即，
因为，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数．
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高三年级12月份月考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（）
A．1 B．2 C． D．5
2．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
3．有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（）
A．平均数 B．第50百分位数 C．极差 D．众数
4．已知，且，则的值为（）
A． B． C． D．
5．已知函数是减函数，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
6．已知数列的前项和为，且，，则的值为（）
A． B． C． D．
7．若直线与曲线相切，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
8．已知分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．已知直线与圆，则（）
A．直线过定点 B．圆的半径为4
C．直线与圆一定相交 D．圆心到直线的距离的最大值是1
10．已知函数，则下列说法正确的是（）
A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称
C．在区间上的零点个数为4 D．的最大值为
11．已知正方体的棱长为3，为正方体表面上的一个动点，为线段上的动点，．则下列说法正确的是（）
A．当点在侧面（含边界）内时，为定值
B．当点在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为
C．当点在侧面（含边界）内时，对任意点，总存在点，使得
D．点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中，常数项为__________．
13．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球．第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为__________．
14．已知函数，满足，且，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分
15．（本题满分13分）已知内角的对边分别为，，且．
（1）求边的值；
（2）若为边的中点，，求的面积．
16．（本题满分15分）已知数列满足，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前的和．
17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，为棱的中点，求证：平面平面．
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
18．（本题满分17分）已知函数
（1）求的单调性;
（2）若有两个不相同的零点，，设的导函数为．证明：
19．（本题满分17分）黄冈地处湖北省东部，以山带水，胜迹如云．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观罗田天堂寨，另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁．每位游客若只参观罗田天堂寨，则记1分；若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，则记2分．假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立，视频率为概率．
（1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
（2）从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；
（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C B A C D D C B ACD ABD ACD
三、填空题
12． 6 13． 14． 9
四、解答题
15．解：（1）因为，
由正弦定理得：，且，
所以．
（2）延长至点，满足，连接，在中，
由余弦定理得：，
因为，，
代入上式整理得：，所以
所以．
16．（1）略
（2）
17．（1）因为分别是的中点，所以//，
在矩形中，，所以，
又平面，平面，所以平面．
又是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
因为，，平面，
所以平面平面．
（2）假设在棱上存在点满足题意．
在等边三角形中，为的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以是四棱锥的高．
设，则，，
所以，所以．
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
18．（1）∵，
，
当时，恒成立，
当时，令，解得，
令，解得，
∴当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：（2）∵有两个不相同的零点，
∴由（1）知，，
，
，
，
∴
，
不妨设，令，则．
构造函数，则恒成立，
∴在上单调递增，
则，
∴成立．
19． 由题意得，随机变量的可能取值为2，3，4，
可得，，．
所以的分布列如下表所示：
2 3 4
所以，数学期望为．
【小问2解析】
由这人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁，
所以，
则，
由两式相减，可得，，
所以．
【小问3解析】
在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，
记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，
因为，
所以，即，
因为，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数．
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