圆相关的证明题（含解析）--2024-2025学年人教版九年级数学上册期末专题训练

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圆相关的证明题--2024-2025学年人教版九年级数学上册期末专题训练
1．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．
(1)求证：直线与相切；
(2)若，求的长．
2．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
3．如图，内接于，交于点D，交于点E，交于点F，连接，，，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为3，求的长．
4．如图，为的直径，为上一点，，交于，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)为上一点，连接，若，，，求的半径．
5．如图，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为．
(1)求证：为的切线；
(2)若半径为5，，求的长．
6．已知，内接于，为的直径，点D为优弧的中点．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，过点D作，垂足为E．若，，求的半径．
7．如图，交于点是半径，且于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
8．已知：如图，为直径，为上一点，平分，交于点，过点作的垂线，垂足为．
(1)判断直线与的位置关系，并给出证明．
(2)若，求的半径．
9．如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：与相切；
(2)当时，求阴影部分的面积．
10．如图，是的直径，，，点是的中点，连接．
(1)求的长；
(2)求的度数．
11．如图，是半圆的直径，和是它的两条切线，切点分别为，平分．
(1)求证：是半圆的切线．
(2)若，，求的长．
12．如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，过点作的延长线于，已知平分．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的半径．
13．如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
14．如图，在中，，为的中点，以为直径作，交边于点，过点作，垂足为点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
15．如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
16．如图，是的直径，P为的中点，连接并延长至点B，使，连接．
(1)求证为的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
17．如图中，，平分，交于点，点在上，以为直径的经过点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
18．如图，在中，，为的直径，与相交于点D，过点D作于点E，延长线交于点F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
19．如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连结，，．延长，相交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
20．如图，为的直径，C是上一点，D在的延长线上，．
(1)求证：是切线；
(2)若，，求的半径．
21．如图，四边形内接于，为直径，过点C作的垂线，垂足为点E，连接．
(1)求证：；
(2)连结，若，，，求、、围成的阴影部分的面积．
22．如图，在中，弦，于E，于H．
(1)求证：．
(2)若的半径为5，，，求的长．
23．已知：如图所示，是的直径，是上一点，平分交于，过作于．

(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长；
(3)若是中点，过作交于，若，与的交点为F且，求的半径．
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参考答案：
1．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）如图，连接，由与相切于点D，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证；
（2）设⊙O的半径为r，则，，由，，得到，即，解得，从而，由（1）知，得到，根据含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵与相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切；
（2）解：设⊙O的半径为r，则，，
∵是切线，
∴，
∵，
∴，
即，解得，
∴，
∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
2．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线；
（2）连接，延长交于点H，可证明四边形是矩形，由， ，，，得，，则，求得，则，所以．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
，
，
，
，
于点E，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）解：连接，延长交于点H，
是的直径，
，
由（1）知：，
∴四边形是矩形，
，，
∴，
是的半径，,
∴，
， ，，，
， ，
，
，
解得，
，
，
的长为．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，可证得四边形是平行四边形，于是可得，由同弧所对的圆周角相等可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由同弧所对的圆周角相等可得，由直径所对的圆周角是直角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）由（1）可得，由圆周角定理可得，然后根据弧长公式即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，延长交于点，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
是的半径，点在上，
直线是的切线；
（2）解：如图，连接，，
由（1）可得：，
，
的长为：
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定定理，圆周角定理，弧长公式等知识点，熟练掌握切线的判定定理和圆周角定理是解题的关键．
4．(1)见解析；
(2)．
【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可证，即可得是的切线；
延长交于点，根据平行线的性质可证，根据垂径定理可得，利用勾股定理可求，在根据勾股定理
即可求出圆的半径．
【详解】（1）证明：如下图所示，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：如下图所示，延长交于点，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求半径的长 ．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，根据等边对等角的性质，推出，进而得到，即可证明得到结论；
（2）证明和是等边三角形，从而得出，，再根据锐角三角函数求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
为的切线；
（2）解：半径为5，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，，
∴，
∴
．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长交于F，根据圆心角定理的推论及线段垂直平分线的判定定理可得，即；
（2）连接并延长交于F，易得，进而可得，再证明，根据全等三角形的性质得到，然后在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，延长交于F，连接，，，
∵点D为优弧的中点，
∴，
，
∴点D在线段的垂直平分线上，
，
∴点O在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
，即；
（2）解：连接并延长交于F，
设的半径为x，
∵点D为优弧的中点，，，
∴，
由（1）得，，
∴，
，
，
，，
，
，
，
即，
解得，
的半径为．
【点睛】本题主要考查圆心角定理的推论、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)的半径是
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答．
（2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵
∴是等腰三角形，
∵于点F，
∴
又∵是的半径，
∴，
∴
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为的弦，
∴
∴
设的半径是r，
∴，
解得，
∴的半径是
8．(1)是的切线，理由见详解
(2)的半径为
【分析】本题主要考查切线的证明，矩形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握切线的证明方法，矩形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意，如图所示，连接，可证，，根据切线的定义即可求解；
（2）如图所示，连接，交于点，可证四边形是矩形，得，，设的半径为，则，，在中，由勾股定理可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：是的切线，理由如下，
∵平分，
∴，
如图所示，连接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是半径的外端点，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接，交于点，
∵是直径，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，且是过圆心的半径，
∴，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，，
∴的半径为．
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键．
（1）连接，由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论；
（2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
是⊙O的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，，
∴
．
10．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，勾股定理，弧圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键，
（1）由直径所对的圆周角得．进而根据勾股定理得，即可得解；
（2）由弧与圆周角的关系得．由（）得，进而，再利用圆周角定理的推论即可得解。
【详解】（1）解：是的直径，
．
又，，
，
；
（2）解：点是弧的中点，
弧弧
．
由（）得，
，
．
11．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）过作，垂足为，再由角平分线的性质得到，从而可知是半圆的切线；
（）由切线长定理可知，，再由线段和差可求得的长；
本题主要考查了切线的性质和判定、切线长定理的应用，掌握切线的性质和判定、切线长定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，过作，垂足为，
∵与半圆相切于点，
∴，
∵平分，
∴，
∴是半圆的半径，
∴是半圆的切线；
（2）解：∵是半圆的两条切线，切点分别为，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆的两条切线，切点分别为，
∴．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据已知条件证明即可解决问题；
（2）取中点F，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，取中点F，连接，
∴于点F．
又，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件证得即可得到结论；
（2）如图，过点作于点，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
．
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，过点作于点，则，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，
是的直径，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线以及三角形中位线，掌握三角形中位线性质是正确解答的关键．
（1）根据圆周角定理，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出是的中位线，再根据平行线的性质得出即可；
（2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半求出斜边，由勾股定理求出，再根据中点的定义可得，再由勾股定理求出，由三角形面积公式求出最后由勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
为直径，
．
即，
∵在中，，为的中点，
．
点是的中点，
∵点是的中点，
是的中位线，
．
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：是斜边中线，，
，．
，
，
点是的中点，
．
在中，，，
，
，即，
．
在中，，，
．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用圆周角定理，求出，继而求出长，利用等腰直角三角形的性质求得，过点作于点，利用角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的平分线，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
为的半径，
直线是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
为的直径，
，
，
过点作于点，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据是的直径，可得，再根据P为的中点，得出，再推出，从而得证；
（2）利用求得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵P为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）解：∵，
∴，,
∵P为的中点，
∴，
∴
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质以及扇形面积公式的应用，正确掌握切线的判定是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由平分，可知，易证，所以，所以，由于，所以，从而可证直线是的切线；
（2）根据含30度角的直角三角形性质可求出的长度，然后求出的度数，然后根据扇形的面积公式即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
直线是的切线；
（2）解：由，，，
得：，，，
，
，
，
，
由，得，
．
【点睛】本题考查圆的切线的判定，涉及角平分线的性质，平行线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等，需要学生灵活运用所学知识．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等边对等角得出，，从而得到，推出，由平行线的性质得出，即可得证；
（2）过点作于点H，则，则四边形是矩形，由矩形的性质可得，，有勾股定理得出，推出，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点作于点H，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
19．(1)见解析
(2)5
【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理．
（1）延长交于F，连接，根据直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，由此可得出结论；
（2）设的半径为R，则，，证明是的中位线，则，，进而得，，在和中利用勾股定理构造方程，由此解出R即可．
【详解】（1）证明：延长交于F，连接，如图所示：
∵为的直径，
∴，
即，
∵点C为的中点，
∴根据垂径定理得：，
∴；
（2）解：设的半径为R，则，，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴的半径为5．
20．(1)见解析
(2)2
【分析】此题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理．
（1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据切线判定推出即可；
（2）在中，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵为直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
答：的半径是2．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解本题的关键．
（1）先判断出，然后用等角的余角相等即可证明结论；
（2）求出和，，再利用面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
又，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键；
（1）由题意易得，进而问题可求证；
（2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解．
【详解】（1）证明：，
，，
即，
．
（2）解：连接，如图所示：
，，
．
由勾股定理，得．
同理可得．
．
23．(1)见解析
(2)
(3)16
【分析】（1）连接，根据角平分线的性质及圆的半径相等的性质得到，推出，根据即可得到，由此得到结论；
（2）连接交于，根据勾股定理求出得到，再利用勾股定理求出，得到，即可利用勾股定理求出；
（3）连接，设与的交点为，根据设，可求，根据角平分线的性质及圆的半径相等的性质得到，推出，根据求出，即可得到半径．
【详解】（1）证明：连接．
平分，
，
，
，
，
，
，
∴，
与相切；
（2）解：连接交于，

∵是直径，
∴，
∴，
．
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，设与的交点为．
，
∴可设，
．
，，
，
，
，
，
，
，
．
∴半径．
【点睛】此题考查切线的判定定理，圆周角定理的推论，角平分线的定义，平行线的判定及性质，勾股定理，垂径定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
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