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答题卡
(
条
码
粘
贴
处
（正面朝上贴在此虚线框内）
)
试卷类型：A
姓名：______________班级：______________
准考证号
(
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
) (
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的
[
条码粘贴处
]
的方框内
3
、
选择题必须使用
2B
铅笔填涂；非选择题必须用
0.5
毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5
、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6
、填涂样例
正确
[
■
]
错误
[
--
][
√
] [
×
]
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
13.答：
14.答：
15.答：
16.答：
17.1.答：
17.2.答：
18.1.答：
18.2.答：
19.1.答：
19.2.答：
20.1.答：
20.2.答：
21.1.答：
21.2.答：
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人教（A）版（2019）高一上学期期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.(共8题；共40分)
1．（5分）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（5分） 已知函数，则“的最小正周期为”是“的图象关于点对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）令圆锥的底面半径为r，母线长为l，若，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）定义在上的函数满足，，当时，，则方程在上解的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（5分）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
8．（5分）已知若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（ ）
A．{-1} B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(共4题；共20分)
9．（5分）下列命题正确的是（ ）
A．设是第一象限角，则为第一或第三象限角
B．
C．在中，若点满足，则是的重心
D．
10．（5分）已知函数，结论正确的有（ ）
A．是周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．在区间上单调递增
11．（5分）已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是（ ）
A．图象的对称中心为
B．在上的值域为
C．将的图象向左平移个单位长度得到的图象
D．在上单调递减
12．（5分）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）
A． B．的最大值为
C．最大值为9 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.(共4题；共20分)
13．（5分）写出一个定义在上的函数，使得的值域为，且最小正周期为，则 ．
14．（5分）已知，，，则a，b，c的大小关系为 ．
15．（5分）已知，，，则点A到直线BC的距离为 .
16．（5分）满足条件的集合的个数为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共5题；共70分)
17．（10分）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且，终边上有两点.
（1）（5分）求的值；
（2）（5分）若，求的值.
18．（12分）在平面直角坐标系 中，设与 轴、 轴方向相同的两个单位向量分别为 和 ， ， ．
（1）（6分）求向量 与 夹角的余弦值；
（2）（6分）若点 是线段 的中点，且向量 与 垂直，求实数 的值．
19．（16分）在中，内角，，的对边分别为，，，且向量，，.
（1）（8分）求角的大小；
（2）（8分）若，的周长为，面积为，求的最大值.
20．（16分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）（8分）求的值；
（2）（8分）若，求面积的最大值.
21．（16分） 已知函数．
（1）（8分）若，求在处的切线方程；
（2）（8分）若方程有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数零点存在定理；函数的零点
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
3．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；指数函数的概念与表示
4．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
5．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
6．【答案】B
【知识点】函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
7．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系；函数与方程的综合运用
8．【答案】D
【知识点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用
9．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；三角形五心；象限角、轴线角；辅助角公式
10．【答案】A,D
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
12．【答案】A,C
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
14．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点
15．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
16．【答案】
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断
17．【答案】（1）解：法一：因为，所以，
所以
法二：因为，所以，易知a，b同号，
所以
（2）解：因为，所以，
所以
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
18．【答案】（1）由已知得 ， ，
所以： ， ， ，
所以所求余弦值为 ．
（2）因为 ， ，
而向量 与向量有 垂直，
所以 ，
所以 ．
所以 ，
解得 ．
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
19．【答案】（1）解：因为，
故，
即，
由正弦定理得出，
整理得到，则，
又因为，故.
（2）解：由（1）知，则，
所以，即，
因为，，
所以，
又因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的坐标表示；解三角形；三角形中的几何计算
20．【答案】（1）解：由题意及正、余弦定理得，
整理得，
∴
（2）解：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴.
由余弦定理得，
∴，
，当且仅当时等号成立．
∴．
∴面积的最大值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理；三角形中的几何计算
21．【答案】（1）解：当时，，则，
所以切线的斜率为，
又，
所以在处的切线方程为，即.
（2）解：若方程有且仅有一个实数根，即有一根，
即两个函数图象只有一个交点，
由，令，则或，
所以在和上单调递增，
令，则，
所以在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，如图所示：
由图可知，当或时，两个函数图象只有一个交点，
故方程有且仅有一个实数根，
实数a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
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