2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷B卷（含解析）

高二上学期数学人教A版（2019）期末模拟测试卷B卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知圆C：，P为直线上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为( )
A. B. C. D.
2.如图，已知点P在正方体的对角线上，.设，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆E：（）的左焦点为F，过焦点F作圆的一条切线l交椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
4.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线l，l与x轴的交点的横坐标为，称是r的一次近似值；过点做曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为，称是r的二次近似值．则( )
A. B. C. D.
5.以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.或4 B. C.或4 D.4
6.数列的前n项和为，，，设，则数列的前51项之和为( )
A.-149 B.-49 C.49 D.149
7.已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为( ).
A. B. C. D.
8.设曲线，过点的直线l与C交于A，B两点，线段的垂直平分线分别交直线和l于点M，N，若，则l的斜率可以为( )
A. B. C.2 D.
二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知实数x，y满足圆C的方程，则下列说法正确的是( )
A.圆心，半径为1
B.过点作圆C的切线，则切线方程为
C.的最大值是
D.的最大值是4
10.已知等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C.为递减数列 D.的前5项和为
11.已知函数，对于任意实数a，b，下列结论成立的有( )
A.
B.函数在定义域上单调递增
C.曲线在点处的切线方程是
D.若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等比数列中，，，公比，则__________.
13.在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
14.已知定点，动点P满足.设点P的轨迹为E，则轨迹E的方程为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.已知圆心为的圆经过点，直线.
（1）求圆M的方程；
（2）写出直线l恒过定点Q的坐标，并求直线l被圆M所截得的弦长最短时m的值及最短弦长.
16.如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，E为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
17.已知函数(a为实常数)．
(1)若，求证：在上是增函数；
(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
18.已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
19.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率
（1）求双曲线C的方程：
（2）记双曲线C的右顶点为A，过点A作直线，与C的左支分别交于M，N两点，且，，为垂足.
（i）证明：直线恒过定点P，并求出点P坐标
（ii）判断是否存在定点Q，使得为定值，若存在说明理由并求出Q点坐标.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由，得圆C的圆心，半径.因为，所以四边形PACB的面积.所以当最小时，S也最小，此时，.故PC的方程为，即.联立，，解得，，即.所以直线AB的方程为，化简，得.
2.答案：C
解析：以D为原点，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，所以，，，所以，因为，所以，整理得，解得或，由题可知，所以.故选：C
3.答案：A
解析：由题意可知：圆的圆心为点O，半径为b，，设椭圆E的右焦点为，连接，因为，可知点Q为的中点，且点O为的中点，则，，由椭圆定义可知：，因为Q为切点，可知，则，可得，即，解得，即，所以椭圆E的离心率.故选：A.
4.答案：C
解析：由题意可得，，由导数的几何意义得过点做曲线的切线的斜率，所以，整理得，所以，，所以过点做曲线的切线的斜率，设该切线为，则，整理得，所以，故选：C.
5.答案：A
解析：双曲线的右顶点坐标为，焦点为，渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为，所以题中圆的方程为，因为圆和抛物线的图象都关于轴对称，所以A，B两点关于x轴对称，不妨设点A，在第一象限，设，则，
则，所以，因为点A在圆上，所以，解得或3，所以或，当，则，解得，当，则，解得，综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为或4.
故选：A.
6.答案：B
解析：因为，当时，，
即，可得，又，所以是以-1为首项，1为公差的等差数列，所以，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前51项之和为.故选：B.
7.答案：C
解析：由得，即，可设，当时，因得，所以，可化为，即，设，因为，故为偶函数，，当时，因，，故，所以在区间上单调递增，因为，所以当时的解集为，又因为为偶函数，故的解集为.故选：C
8.答案：D
解析：因为曲线，，所以C是双曲线的右支，
其焦点为，渐近线为.由题意，设，且（故A选项可排除），
联立得，，所以，，
，，的斜率为，.
因为，所以，解得.故选：D.
9.答案：BD
解析：对选项A：，即，圆心为，半径为，A错误；
对选项B：在圆上，则和圆心均在x轴上，故切线与x轴垂直，为，B正确；
对选项C：表示圆上的点到点的斜率，如图所示：
当与圆相切时，斜率最大，此时，，故，
故此时斜率最大为，C错误；
对选项D：表示圆上的点到原点距离的平方，故最大值为，D正确.
故选：BD.
10.答案：BC
解析：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，为递减数列，C正确；
对于D，，所以的前5项和为，D错误，故选：BC.
11.答案：ACD
解析：对A，对求导，，令，即，解得.
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
所以函数在处取得最小值，即，所以，A选项正确.
对B，由上述分析可知，上函数单调递减，上函数单调递增，B选项错误.
对C，由于切线斜率为0，在点，切线方程为，C选项正确.
对D，因为，则.则.令，则，则在单调递增.故.即，即.D选项正确.
故选：ACD
12.答案：512
解析：，，，，则得，或者，，公比q为整数，，，，解得，
即，故答案为：512.
13.答案：
解析：设正方体中棱长为3，以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，设异面直线与所成角为，则.即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.
14.答案：
解析：设动点，则.又，.化简得，即，动点P的轨迹E的方程为.故答案为：.
15.答案：（1）
（2）最小值为，.
解析：（1）圆M的半径，
圆M的方程为.
（2）直线l的方程为，，令解得：，定点Q的坐标为.
，点Q在圆M的内部，故直线l恒与圆M相交.
又圆心M到直线l的距离
l被圆M截得的弦长为，
当d取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为，此时.
16.答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）证明：如图所示，连接，设，连接，
因为四边形为正方形，则O为的中点，
因为E是的中点，所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，四边形为正方形，
以A为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
又为平面的一个法向量，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
17.答案：(1)答案见解析
(2)当时，函数有最小值为，
当时，函数有最大值为
(3)
解析：(1)由题可知函数的定义域，
因为，所以，所以，
令解得，所以在上是增函数
(2)因为，所以，
所以，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有最小值为，
因为，
所以当时，函数有最大值为.
(3)由得，即，
因为，所以，所以，且当时，
所以在恒成立，所以，
即存在时，，
令，，
令，
令，解得，令，解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
所以时，恒成立，
所以，所以实数a的取值范围是.
18.答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)，
当时，，两式相减，
得，整理得，
即时，，
又当时，，解得，
数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
．
(2)由(1)知，
，令，
易知，，
设数列的前n项和为，
则，
，
由，得，
即
．
19.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意，双曲线C的中心为坐标原点，
左焦点为，离心率为，
可得，解得，
所以双曲线方程.
（2）证明：（i）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，整理得，
，即，
设，，由韦达定理可得.
因为，所以，可得，
即，
即，
整理得，
即，
即，
可得，解得，
将代入直线，
此时直线过定点，不合题意；
将代入直线，
此时直线过定点，
当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，
因为，所以为等腰直角三角形，
此时M点坐标为，
所以（舍）或，
此时过定点，综上可知，直线恒过定点
（ii）因为，此时存在以为斜边的直角三角形，
所以存在定点Q为中点满足，此时.