河南省九校联盟2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省九校联盟2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 656.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-21 16:39:45 | ||
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文档简介
河南省九校联盟2024-2025学年高一上学期第二次月考
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数是上的奇函数，则函数的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
7．用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数满足关系式，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数且时，，则（ ）
A． B．
C．的取值范围为 D．函数的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．_________．
13．若命题是真命题，则实数a的取值范围为_________．
14．已知定义在上的函数满足，且函数在区间上单调递增，则关于t的不等式的解集为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16．（本小题满分15分）
已知幂函数在上单调递增．
（1）求实数m的值；
（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
17．（本小题满分15分）
某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（且，k，a是常数），如图所示：
（1）根据图象写出y关于t的函数表达式；
（2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长．
18．（本小题满分17分）
定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”减函数．
（1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由；
（2）若是“a距”减函数，求实数a的取值范围；
（3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数k的取值范围及的最大值．
19．（本小题满分17分）
已知函数为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明：函数在区间上单调递增；
（3）若函数，当时，函数与函数的值域相同，求的最大值．
高一数学参考答案、提示及评分细则
1．A 因为集合，所以．故选A．
2．C 由题知，解得．所以的定义域为．故选C．
3．B 由．得．所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．
4．D 由题知函数的定义域为，又，所以函数为奇函数．排除A，B，令．得．排除C，故D正确，故选D．
5．D 由函数是上的奇函数，得，则，所以函数的图象恒过定点．故选D
6．B 因为函数都是增函数，所以函数都是增函数．因为．即．所以在区间内存在唯一零点，即；因为，即，所以在区间内存在唯一零点．即；因为．所以．综上．．故选B．
7．C 因为，所以．令，则且，可得，解得或（舍），又，所以的值所在的区间为．故选C．
8．A 因为是上的奇函数，所以，则，即．又．所以，因此，．故选A．
9．AC 因为，所以，A正确；因为，所以，B错误；因为，所以．C正确；因为，所以，所以，D错误．故选AC．
10．AD 将代换x，则，又，所以，故，A正确，B正确；，即，C错误；根据已知关系，显然，D正确．故选ABD．
11．ACD 函数的图象如图所示．
由图知A正确；由，得所以．B错误；设，则，所以，又函数在区间上单调递增．所以在上单调递增，所以的取值范围为．C正确；由图知，函数的值域为，结合函数．知，令，则，所以，又，所以函数的值域为，D正确．故选ACD．
12．2
13． 不等式恒成立可化为恒成立．由函数为增函数，知，则不等式恒成立，只需，所以实数a的取值范围为．
14． 令，由，得，则．故函数为上的偶函数．又函数和在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递减．不等式可化为，即．由函数的单调性，知，解得．
15．解：（1）由，得，即． 1分
当时，， 2分
所以． 3分
又， 5分
所以， 6分
（2）因为是的充分不必要条件，所以． 8分
故且等号不同时成立， 11分
解得，
所以实数a:的取值范围为． 13分
16．解：（1）由幂函数的定义知，解得或． 3分
①当时，，函数在上单凋递增，满足题意； 4分
②当时，．函数在上单调递减，不合题意，舍去． 5分
由①②知，实数n的值为0． 6分
（2）由（1）知，函数．
由恒成立，得恒成立． 9分
又，所以当时，取得最小值， 13分
故，即a的取值范围为． 15分
17．解：（1）因为当时，血液中的药物浓度与时间成正比，且过点，
所以； 3分
当时y与t的函数关系式为（，且．k，a是常数），且过点，
所以解得所以． 6分
所以 7分
（2）当时，令，得； 10分
当时．令．得． 13分
因此当时，药物有效、有效时长为． 15分
18．解：（1）因为，3分
所以．
故为“1距”减函数． 4分
（2）由题知在上恒成立，即，
整理得在上恒成立， 6分
即解得， 8分
所以实数a的取值范围为． 9分
（3）因为是“2距”减函数，故，
即，即在上恒成立，
所以，即k的取值范围为． 11分
设函数，则图象的对称轴为． 13分
所以当，即时，； 14分
当，即时，， 15分
又函数为增函数，所以当时，函数的最大值； 16分
当时．函数的最大值． 17分
19．（1）解：由函数为偶函数，知．
即， 2分
所以．
又，所以，解得．
所以实数0的值为． 4分
（2）证明：设．
由（1）知． 5分
又． 7分
因为，所以，所以，
所以．
所以． 8分
因为函数在区间上单调递增，所以，即，
所以函数在区间上单调递增． 9分
（3）解：由（2）及函数为偶函数，可得函数在上单调递减，在上单调递增．
所以． 10分
又由，知函数在区间门上单调递增，在区间上单调递减． 11分
当时，设函数的值域为，显然有，
可得函数的值域为，即 13分
则有解得或
又，所以．
故函数的值域为．
又由函数的单调性，及，知或． 15分
由．即．得．即，
解得或．
由函数的单调性可得的最大值为． 17分
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数是上的奇函数，则函数的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
7．用计算器计算可知：，则的值所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数满足关系式，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数且时，，则（ ）
A． B．
C．的取值范围为 D．函数的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．_________．
13．若命题是真命题，则实数a的取值范围为_________．
14．已知定义在上的函数满足，且函数在区间上单调递增，则关于t的不等式的解集为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知集合．
（1）当时，求和；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16．（本小题满分15分）
已知幂函数在上单调递增．
（1）求实数m的值；
（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
17．（本小题满分15分）
某种药物被服用后，在人体内大致要经过释放和代谢两个主要过程，已知在药物释放过程中，血液中的药物浓度与时间成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（且，k，a是常数），如图所示：
（1）根据图象写出y关于t的函数表达式；
（2）据测算，药物浓度不低于时才有效，求该药物的有效时长．
18．（本小题满分17分）
定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”减函数．
（1）若，判断是否为“1距”减函数，并说明理由；
（2）若是“a距”减函数，求实数a的取值范围；
（3）已知，其中，若是“2距”减函数，求实数k的取值范围及的最大值．
19．（本小题满分17分）
已知函数为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明：函数在区间上单调递增；
（3）若函数，当时，函数与函数的值域相同，求的最大值．
高一数学参考答案、提示及评分细则
1．A 因为集合，所以．故选A．
2．C 由题知，解得．所以的定义域为．故选C．
3．B 由．得．所以“”是“”的必要不充分条件．故选B．
4．D 由题知函数的定义域为，又，所以函数为奇函数．排除A，B，令．得．排除C，故D正确，故选D．
5．D 由函数是上的奇函数，得，则，所以函数的图象恒过定点．故选D
6．B 因为函数都是增函数，所以函数都是增函数．因为．即．所以在区间内存在唯一零点，即；因为，即，所以在区间内存在唯一零点．即；因为．所以．综上．．故选B．
7．C 因为，所以．令，则且，可得，解得或（舍），又，所以的值所在的区间为．故选C．
8．A 因为是上的奇函数，所以，则，即．又．所以，因此，．故选A．
9．AC 因为，所以，A正确；因为，所以，B错误；因为，所以．C正确；因为，所以，所以，D错误．故选AC．
10．AD 将代换x，则，又，所以，故，A正确，B正确；，即，C错误；根据已知关系，显然，D正确．故选ABD．
11．ACD 函数的图象如图所示．
由图知A正确；由，得所以．B错误；设，则，所以，又函数在区间上单调递增．所以在上单调递增，所以的取值范围为．C正确；由图知，函数的值域为，结合函数．知，令，则，所以，又，所以函数的值域为，D正确．故选ACD．
12．2
13． 不等式恒成立可化为恒成立．由函数为增函数，知，则不等式恒成立，只需，所以实数a的取值范围为．
14． 令，由，得，则．故函数为上的偶函数．又函数和在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递减．不等式可化为，即．由函数的单调性，知，解得．
15．解：（1）由，得，即． 1分
当时，， 2分
所以． 3分
又， 5分
所以， 6分
（2）因为是的充分不必要条件，所以． 8分
故且等号不同时成立， 11分
解得，
所以实数a:的取值范围为． 13分
16．解：（1）由幂函数的定义知，解得或． 3分
①当时，，函数在上单凋递增，满足题意； 4分
②当时，．函数在上单调递减，不合题意，舍去． 5分
由①②知，实数n的值为0． 6分
（2）由（1）知，函数．
由恒成立，得恒成立． 9分
又，所以当时，取得最小值， 13分
故，即a的取值范围为． 15分
17．解：（1）因为当时，血液中的药物浓度与时间成正比，且过点，
所以； 3分
当时y与t的函数关系式为（，且．k，a是常数），且过点，
所以解得所以． 6分
所以 7分
（2）当时，令，得； 10分
当时．令．得． 13分
因此当时，药物有效、有效时长为． 15分
18．解：（1）因为，3分
所以．
故为“1距”减函数． 4分
（2）由题知在上恒成立，即，
整理得在上恒成立， 6分
即解得， 8分
所以实数a的取值范围为． 9分
（3）因为是“2距”减函数，故，
即，即在上恒成立，
所以，即k的取值范围为． 11分
设函数，则图象的对称轴为． 13分
所以当，即时，； 14分
当，即时，， 15分
又函数为增函数，所以当时，函数的最大值； 16分
当时．函数的最大值． 17分
19．（1）解：由函数为偶函数，知．
即， 2分
所以．
又，所以，解得．
所以实数0的值为． 4分
（2）证明：设．
由（1）知． 5分
又． 7分
因为，所以，所以，
所以．
所以． 8分
因为函数在区间上单调递增，所以，即，
所以函数在区间上单调递增． 9分
（3）解：由（2）及函数为偶函数，可得函数在上单调递减，在上单调递增．
所以． 10分
又由，知函数在区间门上单调递增，在区间上单调递减． 11分
当时，设函数的值域为，显然有，
可得函数的值域为，即 13分
则有解得或
又，所以．
故函数的值域为．
又由函数的单调性，及，知或． 15分
由．即．得．即，
解得或．
由函数的单调性可得的最大值为． 17分