甘肃省陇南市第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考模拟数学试卷（PDF版，含答案）

甘肃省陇南市第一中学 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考模拟数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ， 都是 的子集，则图中的阴影部分表示( )
A. ∪ B. ( ∪ ) C. ( ) ∩ D. ( ∩ )
2.已知正数 、 满足 = 10，则 + 2 的最小值是( )
A. 2√ 10 B. 3√ 5 C. 3√ 10 D. 4√ 5
3.关于 的不等式 2 ( + 1) + < 0的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是( )
A. ( 2, 1] ∪ [3,4) B. [ 2, 1] ∪ [3,4] C. [ 2, 1) ∪ (3,4] D. ( 2, 1) ∪ (3,4)
√ 3
4.已知cos( + ) = 且| | < ，则 等于( )
2 2 2
√ 3 √ 3
A. B. √ 3 C. D. √ 3
3 3
5.函数 ( ) = (2 3) 是指数函数，则 (1) =( )
3
A. 8 B. C. 4 D. 2
2
2
6.在数列{ }中， = 1， = ( ≥ 2, ∈ 1 )，则 4 =( ) 2 1 1
2 2
A. B. C. 2 D. 6
11 3
7.已知函数 ( ) = 在 = 2处取得极值，则 =( )
1
A. 1 B. 2 C. D. 2
2
8.函数 ( ) = + 2的零点所在区间是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 (4, 3)， (2, 1)和直线 ：4 + 3 2 = 0，若在坐标平面内存在一点 ，使| | = | |，且点 到
直线 的距离为2，则 点坐标为( )
2 1 6 27 8
A. ( , ) B. (1, 4) C. (1, ) D. ( , )
3 3 5 7 7
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2 2
10.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别 1、 2，过 1且斜率为2的直线交椭圆 于 、 两点，
若△ 1 2为直角三角形，则该椭圆 的离心率 =( )
√ 3 √ 5
A. √ 2 1 B. C. √ 5 2 D.
3 3
11.下列命题中不正确的是( )
A. 若 、 、 、 是空间任意四点，则有 + + + = 0
B. 若| | = | |，则 、 的长度相等而方向相同或相反
C. | | | | = | + |是 、 共线的充分条件
D. 对空间任意一点 与不共线的三点 、 、 ，若 = + + ( , , ∈ )，则 、 、 、 四
点共面
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = { |1 ≤ ≤ 2}， = { | < }，若 ∩ = ，则实数 的取值范围是 ，若 ∩ = ，
则 的范围为 ．
13.已知实数 、 ，满足0 < < < 2，则 的取值范围是______．
14.设函数 ( ) = log ( > 0且 ≠ 1)，若 (
2 2 2
1 2 … 2012)= 8，则 ( 1) + ( 2) + + ( 2012)的值等于
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = (2 ) ．
(1)求 ；

(2)若 = ， = 2√ 3，求△ 的面积．
4
16.(本小题15分)
为等差数列{ }的前 项和，已知 7 = 1， 4 = 32．
(1)求数列{ }的通项公式．
(2)求 ，并求 的最小值．
17.(本小题15分)
已知点 (√ 2 + 1,2 √ 2)，点 (3,1)，圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 4．
(1)求过点 的圆 的切线方程；
(2)求过点 的圆 的切线方程，并求出切线长．
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18.(本小题17分)
已知三棱柱 1 1 1，底面三角形 为正三角形，侧棱 1 ⊥底面 ， = 2， 1 = 4， 为 1
的中点， 为 中点．
(1)求证：直线 //平面 1；
(2)求平面 1和平面 所成的锐二面角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知关于 的不等式 2 + 2 ≤ 0．
(1)求不等式的解集 ；
(2)若 ， ( 1,1)，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(2,+∞)；( ∞, 1]
13.【答案】( 2,0)
14.【答案】16
15.【答案】解：(1)因为 = (2 ) ，

由正弦定理可得： = (2 ) ，

在△ 中， > 0，
整理可得： + = 2 ，
即sin( + ) = 2 ，
即 = 2 ，
因为 > 0，
1
可得 = ，而 ∈ (0, )，
2

可得 = ；
3

(2) = ， = 2√ 3， = ，
4 3

由正弦定理可得 = ，

√ 2

即 = = 2 2√ 3 = 2√ 2，
√ 3
2
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5
可得 = = = ，
4 3 12
5 7 √ 2 1 √ 2 √ 3 √ 6+√ 2
sin = sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = + = ，
12 12 4 3 4 3 4 3 2 2 2 2 4
1 1 √ 6+√ 2
所以 △ = = × 2√ 2 × 2√ 3× = 3 +√ 3． 2 2 4
即△ 的面积为3 +√ 3．
16.【答案】解：(1) ∵ 为等差数列{ }的前 项和， 7 = 1， 4 = 32．
1 +6 = 1
∴ { 4×3 ，
4 1 + = 322
解得 1 = 11， = 2，
∴数列{ }的通项公式 = 11+ ( 1)× 2 = 2 13．
( 1)
(2) = 11 + × 2 =
2 12 = ( 6)2 36．
2
∴ = 6时， 的最小值为 36．
17.【答案】解：(1)圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 4的圆心坐标为(1,2)，半径为2；
由于点 在圆上，
由于 = 1，
所以圆的切线的斜率 = 1，
故圆的切线方程为 (2 √ 2) = (√ 2 + 1)，
整理得 +1 2√ 2 = 0；
(2)当点 在圆外，
当过点 的直线的斜率不存在时，直线的方程为 = 3，由于点 (1,2)到直线 3 = 0的距离 = 3 1 = 2 =
，
满足题意，
故直线 = 3是圆的切线；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 1 = ( 3)；
即直线的方程为 + 1 3 = 0，
| 2+1 3 |
利用圆心(1,2)到直线的距离 = = 2 = ，
√ 2 1+
3
解得 = ；
4
故直线的方程为3 4 5 = 0；
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故圆的切线方程为 = 3或3 4 5 = 0；
过点 的圆的切线的长为√ | |2 2 = √ 5 4 = 1．
18.【答案】解：法一(1)取 1的中点为 ，连接 ， ，
则 // 1， // 1，且 = ，… (3分)
则四边形 为平行四边形，
则 // ， 平面 1 . 平面 1 .∴ //平面 1.… (6分)
(2)延长 1 交 延长线于点 ，连接 ，
则 即为平面 1与平面 的交线，
由于 // 1 ， 为 1的中点，∴ 为 中点，∴ = = ，
1
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 30°，
2
∴ ∠ = ∠ +∠ = 60°+ 30° = 90°，
∴ ⊥ ，又 ⊥ 1 ，∴ ⊥面 1 1，
∴ 1 ⊥ ，
则∠ 1 为平面 1和平面 所成的锐二面角的平面角．… (8分)
2 √ 5
在△ 中，cos∠ 1 = = = =1 1 √ 2 2
2√ 5 5
+ 1
√ 5
平面 1和平面 所成的锐二面角的余弦值为 . … (12分) 5
法二 取 1 1中点为 ，连接 ，
以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 (√ 3, 0,0), (0,1,0), (0,0,0), (0, 1,0)， 1(√ 3,0,4), 1(0,1,4), (0, 1,4), (√ 3, 0,2)，… (2分)
(1)则 = ( √ 3, 0,0)， = (√ 3, 1,2), 1 = (0, 2,4)，
设平面 1的法向量为 = ( 1, 1 , 1)，
则 3 + 2 = 0 = 0, = 0，即{√ 1 1 11 … (4分) 2 1 + 4 1 = 0
令 1 = 2，则 1 = 0， 1 = 1，即 = (0,2,1)，所以 = 0，
故直线 //平面 1 .… (6分)
(2)设平面 的法向量 = (0,0,1)，
√ 5
则 = = ．
| || | 5
由于平面 1和平面 所成二面角是锐二面角
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所以其余弦值是√ 5．
5
… (12分)
19.【答案】解：(1)关于 的不等式 2 + 2 ≤ 0可化为( )( 1 + ) ≤ 0，
且不等式对应方程的两个实数根为 和1 ；
所以当 < 1 ，即 < 时，不等式的解集为[ , 1 ]；
当 > 1 ，即 > 时，不等式的解集为[1 , ]；
当 = 1 ，即 = 时，不等式的解集为{ }；
综上知， < 时 = [ , 1 ]，
> 时 = [1 , ]，
= 时 = { }；
(2) > 时 = [1 , ]，
由 ( 1,1)，得 ，
解得 < < 1，
所以实数 的取值范围是 < < 1．
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