山西省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年高三12月质量检测卷
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，则（ ）
A. B.
D.
3.的展开式中常数项为（ ）
A. B.30 C. D.15
4.（ ）
A. B. C. D.
5.已知，动点满足，动点满足，则的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.
6.设函数在上单调递增，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为是上不同的两点，为坐标原点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.9
8.同底的两个正三棱锥与的所有顶点都在球的表面上，若2，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（ ）
A.不平行是不平行的充分条件
B.不相交是不相交的必要条件
C.垂直且相交是垂直的充分条件
D.平行或相交是异面的必要条件
10.已知函数的定义域，对任意的，恒有，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.是奇函数
C.若，则
D.若，则
11.某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为，则（ ）
A.该零部件的合格率为
B.从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96
C.从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为
D.从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若向量满足，且，则__________.
13.对于勾股定理的证明，我国历史上有多位数学家创造了利用面积出入相补证明勾股定理的不同的证法，如后汉时期的赵爽 三国时期的刘徽 清代的梅文鼎 华蘅芳等.如图是华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，其中为直角三角形，分别以为边长作3个正方形，通过出入相补证明两个较小的正方形面积之和等于大正方形面积，从而可以证明勾股定理.若，以中点为圆心作圆，使得三个正方形的所有顶点只有2个在圆外，则满足题意的一个圆的标准方程为__________.
14.若对任意，当时恒有，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知中，内角所对的边分别为.
（1）若，求面积的最大值；
（2）若，求.
16.（本小题满分15分）
近年来，因使用手机过久 工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表：
90后 非90后 合计
23：00前入睡 30 80
23：00后入睡
合计 100 200
（1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析能否认为“23：00前入睡”与“是90后”有关联？
（2）随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到消费者推崇，记年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为年中国睡眠经济市场规模及2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）预测，
年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 3.8 4.2 4.5 5.0 5.3
根据上表数据求关于的回归方程.
参考公式：，其中.回归方程，
其中
参考数据：.
17.（本小题满分15分）
如图，在体积为的三棱柱中，底面是边长为2的正三角形， 为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆经过点的左 右焦点分别为，且..
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与交于点 ，且线段的中点恰好为，求直线的方程；
（3）若斜率为且不经过点的直线与交于不同两点，直线的斜率成等差数列，求的取值范围.
19.（本小题满分17分）
若的定义域为，数列满足，则称为的“倍点列”.
（1）若为的“2倍点列”，求的前项和；
（2）若为的“1倍点列”且，求证：为定值；
（3）若，判断是否存在，使得为的“倍点列”，并证明你的结论.
2024~2025学年高三12月质量检测卷·数学
参考答案 提示及评分细则
1.A 因为，所以，则.故选A.
2.D 因为，所以.故选D.
3.B 的展开式中常数项为.故选B.
4.A 原式.故选A.
5.C 点的轨迹是双曲线的右支，设，由可得，整理得点轨迹方程为，所以.故选C.
6.C 因为函数在上单调递增，则需满足解得.故选C.
7.A 设，则，所以，当且仅当，即时等号成立.故选A.
8.B 由题意可得为球的直径，，因为，所以，作，垂足为，则为外接圆半径，且，所以在正中，，取中点，连接，则就是二面角的平面角.，所以.故选B.
9.BD 不平行，有可能平行，故A错误；若不相交，则不相交，故B正确；若垂直相交，，
可能不垂直，故C错误；若异面，则平行或相交，故D正确.故选BD.
10.ABD 中取得，取，得，故A正确；取得，故B正确；由题意构造函数，取，满足，此时，所以，即，故C错误；取，得，所以，又，所以，故D正确.故选ABD.
11.BCD 设零部件的合格率为，由题意可得，解得，故A错误；从该代工厂加工的零部件中任取100个，记取到的合格品个数为，则，故B正确；从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，至少有1个为合格品的概率为，所以所求概率为，故C正确；从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，记取到件合格品，则，所以当时，，当时，，当时，，所以或最大，故D正确.故选BCD.
12. 由得；由得；由得，所以.
13.（答案不唯一，形如的方程都可以）的中点，点到三个正方形顶点的距离最大为，其次为，所以该圆的一个标准方程为.
14. 由得，即，设，则，所以问题转化为在上没有零点.当0时，没有零点，满足题意；当时，由得，设，
则，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以.
综上，的取值范围是.
15.解：因为，所以.
由正弦定理得，
因为，且，
所以.
（1）由及余弦定理得，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积，
即面积的最大值为.
（2）由及正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
所以.
16.解：（1）列联表如下：
90后 非90后 合计
前入睡 30 50 80
后入睡 70 50 120
合计 100 100 200
零假设：“23：00前入睡”与“是90后”无关联，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“前入睡”与“是90后”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01.
（2）由的取值依次为，
得，
所以，
，
所以，
所以关于的回归方程为.
17.（1）证明：因为是边长为2的正三角形，设点到平面的距离为，
则三棱柱的体积，所以，
因为，所以就是点到平面的距离，故平面.
因为平面，所以，
因为为中点，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
，
所以.
设平面的法向量为，
则有得
取，得.
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（1）设，则，
，
所以，即，
因为点在上，所以，
由解得，
所以的方程为.
（2）设，则，
且，
两式相减得，即，
因为线段的中点为，所以，
所以，即直线的斜率为1，
所以直线的方程为，即.
（3）设，直线的方程为，
联立消去得，
由，
整理得，
所以.
因为直线的斜率成等差数列，所以，
即，整理得，
因为不经过点，所以，
所以，代入得，
所以的取值范围是.
19.（1）解：因为为的“2倍点列”，
所以，即，
所以
所以，
当时，
，
综上，
（2）证明：因为，
所以.
设，则，
所以单调递增，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为为的“1倍点列”，则，
不妨设，
，
所以的图象关于直线对称，当时，有2个不同实根，
所以.
（3）解：因为，且为的“倍点列”，
可得，即且，
设，则，
在上单调递增，且，
所以时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以且时，
所以不存在，使得，
即不存在，使得为的“倍点列”.