重庆市鲁能巴蜀中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

重庆市鲁能巴蜀中学 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 1： = √ 3 + 1与 2： + 1 = 0互相垂直，则实数 =( )
√ 3 √ 3
A. √ 3 B. √ 3 C. D.
3 3
2.已知空间中，点 (1,2, 1)， ( 2,1, 1)， ( 1,2,0)，则平面 的一个法向量为( )
A. (2,1,3) B. (1, 3,2) C. (1,3,2) D. ( 1,2,2)
11
3.若直线 ： + √ 2 = 0与圆 ：( √ 2)2 + 2 = 交于 ， 两点，则| | =( )
3
A. 1 B. √ 3 C. 2 D. 2√ 3
1
4.抛物线 = 2上一点 到 (0,2)的距离的最小值为( )
2
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2
5.已知圆 1：( + 3)
2 + 2 = 100和 ：( 3)2 22 + = 4，若动圆 与这两圆一个内切一个外切，记该动
圆圆心的轨迹为 ，则 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
36 27 36 9 25 16 25 9
6.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，∠ = 90°，∠ 1 =
∠ 1 = 60°， = = 1 = 2，则异面直线 1 与 1 1所成角的余
弦值为( )
√ 6 √ 6 √ 6 √ 6
A. B. C. D.
6 6 3 3
7.如图，曲线 由三部分构成：半圆 1：( + 1)
2 + 2 = 1( ≥ 0)，半圆 2：
2 2
( 1)2
3
+ 2 = 1( ≥ 0)，半椭圆 ： + = 1( < 0)，直线 ： = (
4 3 4
1)交 于 、 ，动点 在曲线 上，则△ 面积的最大值为( )
21 77 11
A. B. C. D. 4
10 20 4
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2
8.如图，已知双曲线 ： 2

= 1的左、右焦点分别为 1， 2，过 1的直3
线 与 的左、右支分别交于 、 ，△ 1 2的内切圆半径为 1，△ 2的
1
内切圆半径为 2，则 的取值范围为( ) 2
1 3 1 1 1 3
A. (0, ) B. (0, ) C. ( , ) D. ( , )
3 8 3 2 3 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为2，则下列说法正确的是( )
A. 1 ⊥ 1
B. 1//平面 1
C. 直线 1与平面 所成的角为45°
2√ 3
D. 点 与平面 1的距离为 3
10.已知实数 ， 满足方程 2 + 2 6 + 7 = 0，则下列说法正确的是( )
√ 2
A. 的最大值为 B. 2 + 2的最大值为11 + 6√ 2
3
C. 2 的最大值为3 + √ 10 D. | + 6|的最大值为5
2 2
11.已知双曲线 ： 2 = 1( > 0)的左，右焦点分别为 1( , 0)、 2( , 0)，5
直线 = 2( )与双曲线 右支相交于 、 (其中 在一象限)，若| 1| =
| |，则列说法正确的是( )
√ 5
A. cos∠ 1 2 = 5
B. = 3
5√ 5
C. | | =
2
D. △ 1的面积为15
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 经过点 (1,2,3)，且 = (1,1,1)是 的一个方向向量，则点 (2,4,3)到 的距离为______．
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13.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)，直线 = 1与抛物线相交于 、 ，且 的中点为 (2,2)，则 =
______．
14.平面点集{( , )|( )2 + ( )2 = 25， ∈ }所构成区域的面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 1：
2 + 2 6 + 2 + 2 + 8 = 0，圆 2 22： + = 16，直线 ： = 5( > 0)．
(1)若圆 1与圆 2外切，求实数 的值；
(2)若 与圆 1、 2都相切，求实数 的值．
16.(本小题15分)
√ 6 2√ 6
已知椭圆 经过点 (√ 2, )， ( , 1)．
2 3
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的左右焦点分别为 1、 2，过点 1且斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，若∠ 2 为锐角，
求 的取值范围．
17.(本小题15分)
1
如图，在四棱锥 中， = = = = = 2， // ，∠ = ∠ = 90°，平面 ⊥
2
平面 ， 为 中点．
(1)求证： ⊥面 ；
√ 5
(2)点 在棱 上，设 = (0 < < 1)，若二面角 余弦值为 ，求 ．
5
18.(本小题17分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点为 1( , 0)、 2( , 0)，直线 1： = 与双曲线 相交
2√ 6 2 2√ 3
于 、 ，且| | = .双曲线 上任意一点 到 2的距离与到 2： = 的距离的比为 ． 3 3
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)斜率存在且不为0的直线 与双曲线 相切．
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| |
①若 与 1相交于 点，与 2相交于 点证明：
2 为定值；
| 2 |
②若 与直线 = 和 = 分别相交于 、 ，证明： 、 、 1、 2四点共圆．
19.(本小题17分)
已知点 1(1, 2)在抛物线 ：
2 = 2 ( > 0)上，过点 1作斜率为1的直线交 于另一个点 1，设 2与 1关
于 轴对称，再过 2作斜率为1的直线交 与另一个点 2，设 3与 2关于 轴对称，以此类推一直做下去，设
( , )， ∈ ．
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：数列{ }是等差数列，并求 ， ；
(3)求△ +1 +2的面积．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 2
13.【答案】3
14.【答案】20
15.【答案】解：(1)圆 ： 2 + 2 6 + 2 + 2 + 8 = 0，即 ：( 3)21 1 + ( + )
2 = 1，
圆 2 22： + = 16，
两圆的圆心和半径分别为 1(3, )， 1 = 1， 2(0,0)， 2 = 4，
则| | = √ 9 + 21 2 = 1 + 2 = 5，解得 = 4或 = 4．
5 3
(2)圆心 2到直线 的距离 2 = = 4，解得 = (舍负)， 4
√ 2 1+
11
| | 3
圆心 1到直线 的距离 1 =
4 = 1，解得 = 4或 = ．
2
√ 2 1+
16.【答案】解：(1)设椭圆 2 + 2 = 1( > 0, > 0, ≠ )，
由椭圆 经过点 √ 6 ， 2√ 6 (√ 2, ) ( , 1)．
2 3
3 1
2 + = 1 =
可得{ 2
4 + 3 = 2
{ { 4
8 ，
+ = 1 8 + 3 = 3
1
=
3 3
所以
2 2
+ = 1；
4 3
(2)由(1)知 1( 1,0)， 2(1,0)，
设 ( 1, 1)、 ( 2, 2)，
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设 ： = + ，与椭圆方程3 2 + 4 2 = 12联立，消去 ，
可得(3 + 4 2) 2 + 8 2 + 4 2 12 = 0，
即有 = (8 2)2 4(3 + 4 2)(4 2 12) = 144 2 + 144 > 0恒成立，
2
8
1 + 2 = 2
则{ 4 +3，易知 2 2 = ( 1 1, 1), 2 = ( 2 1, 2)，
4 12
1 2 = 2
4 +3
因为∠ 2 为锐角， 1
2
2 = (
2
1 + 1)( 2 + 1) = 1 2 +
2( 1 + 2) +
2，
2 2 = ( 1 1)( 2 1) + 1 2 = 1 2 ( 1 + 2) + 1 + 1 2
= ( 2 + 1) 1
2
2 + ( 1)( 1 + 2) + (
2 + 1)
2 2 2 2 2 2 2
( +1)(4 12) 8 ( 1)+( +1)(4 +3) 7 9
= = > 0， 2 2
4 +3 4 +3
即 2
9
> ，
7
故 的取值范围为 3√ 7 3√ 7 ∈ ( ∞, ) ∪ ( ,+∞)．
7 7
17.【答案】(1)证明：由题意： = = 2，∠ 90°，
∴ = √ 2 + 2 = 2√ 2，同理 = 2√ 2，
又 = 4，∴ 2 + 2 = 2，
∴ ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
又 ⊥ 且 面 ， 面 ， ∩ = ，
∴ ⊥面 ；
(2)解：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,2√ 2, 0)， (2√ 2, 0,0)， (√ 2, 0, √ 2)，
∴ = (2√ 2, 0,0)， = (√ 2, 0, √ 2)， = ( √ 2, 2√ 2, √ 2)，
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由 = (0 < < 1)，有 = + = (√ 2(1 ),2√ 2 , √ 2(1 ))，
令 = ( , , )是平面 的一个法向量，
= 0 2√ 2 = 0
则{ ，即{ ，
= 0 √ 2(1 ) + 2√ 2 + √ 2(1 ) = 0
2
令 = 1，有 = (0,1, )，
1
取面 的一个法向量 = (0,1,0)，
| | 1 √ 5
则|cos < , > | = = =
1
| || | 2 2 5 ，解得 = ． √ 1+( ) 2
1
18. 2√ 6【答案】解：(1)由直线 1： = 与双曲线 相交于 、 ，且| | = ． 3
√ 6 2 2
可知 ( , )在双曲线上，所以
3 2 2
= 1，
3
2
又双曲线
2√ 3
上任意一点 到 2的距离与到 2： = 的距离的比为 ， 3
√ 2 ( 0 ) +
2
设 ( 0 20, 0)，即有 ，
2
=
| 0 |
√ 3

2
√ 2
2 2
2
2
( 0 ) +(
0
2 )
√ 0 2
所以 2
2 0+ | 0 | 2= = ，
2 2 2
= =
| 0 | | 0 | | |
√ 3
0
= √ 6
2 2 2 2 2又 = + ，解得{ = √ 2 ，即 ： = 1．
6 2
= 2√ 2
(2)设 ： = + ，代入双曲线 2 3 2 6 = 0，
可得(3 2 1) 2 + 6 + 3( 2 + 2) = 0，
2 2 1 ≠ 2 13 1 ≠ 0
所以{ { 3
>
{ 3 ；
= 36 2 2 12( 2 + 2)(3 2 1) = 0 12( 2 + 2 6 2) = 0 2 = 6 2 2
= + = 2√ 2
①证明：由{ 可得{ ，所以 (2√ 2, 2√ 2 + )；
= 2√ 2 = 2√ 2 +
= + 3√ 2 =
{ 2 3√ 2 3√ 2由 3√ 2 ，可得{ ，所以 ( , + )，
= 3√ 2 2 2
2 = +
2
故| | = |2√ 2 + | = √ 8 2 + 4√ 2 + 2 = √ 8 2 + 4√ 2 + 6 22 2 = √ 2√ 7 2 + 2√ 2 1，
| 2 | = √
3√ 2 3√ 2 9 1
(2√ 2 )2 + ( + )2 = √ 2 + 3√ 2 + 2 +
2 2 2 2
9 1 3
= √ 2 + 3√ 2 + 6 2 2 + = √ √ 7 2 + 2√ 2 1，
2 2 2
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2
| 2 | √ 2
√ 7 +2√ 2 1 2√ 3
所以 = = ，
| 2 | 3
√ 3 √
2
7 +2√ 2 1
2
| | 2√ 3
所以 2 为定值 ；
| 2 | 3
②证明：若 与直线 = √ 6和 = √ 6分别相交于 、 ，
= 6 = 6
由{ √ ，可得 √ (√ 6, + √ 6 )；由{ ，可得 ( √ 6, √ 6 )，
= + = +
且 1( 2√ 2, 0), 2(2√ 2, 0)，
所以 1 = (√ 6 + 2√ 2, √ 6 + ), 1 = ( √ 6 + 2√ 2, √ 6 + )， 2 = (√ 6 2√ 2,√ 6 + ), 2 =
( √ 6 2√ 2, √ 6 + )，
因为 1 1 = (2√ 2 √ 6)(2√ 2 + √ 6) + ( + √ 6 )( √ 6 ) = 8 6 +
2 6 2 = 0，
所以 1 ⊥ 1 ，
因为 2 2 = ( 2√ 2 + √ 6)( 2√ 2 √ 6) + ( + √ 6 )( √ 6 ) = 8 6 +
2 6 2 = 0，
所以 2 ⊥ 2 ，
故 ， ， 1， 2四点在以 为直径的圆上．
19.【答案】解：(1)将点 1的坐标代入抛物线的方程可得2 = ( 2)
2 = 4，可得 = 2，
因此，抛物线的方程为 2 = 4 ．
2
(2)证明： ( , )在抛物线上，则 = ， 1( , )， 4
2 2
过 1 1 1( , 1)，且斜率为 的直线 1 1的方程为 1 =
1，
4 4
2
= 1
{ 1 4 可得 2 4 + (4 1
2
1) = 0，
2 = 4
解得 = 1或 = 1 + 4，所以 = 1 + 4，可得 1 = 4，
所以数列{ }是以首项为 2，公差为 4的等差数列，
2 2
所以 = 2 4( 1) = 4 + 2，
(2 4 ) 2； = = = (2 1)4 4
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4 2 2
(3) =
+2 = = ，则直线 +2的方程为 = ( ) +2 ， +2 +2+ +1 +1

则|
+1 2
+2| = √ 1 + ( ) | +2 | = 4√ 4 + ( 22 +1)
，
点 +1到直线 +2的距离
2 2
| ( +1 )+ +1| | || ( ( + ))+4| +1 +1 +1 +1 |2( ( +1+ ))+4 +1| 8 = = = =
2 2 ，
√ 1+( ) √ 2 2 2 ( ) +4 √ +1 ( √ +1 +1
) +4 ( +1) +4
1 1 2 8
故 △ = × | | × = × 4√ 4 + ( ) × = 16 +1 +2 2 +2 2 +1
√ 2
．
( +1) +4
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