黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省哈尔滨市第三中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | = √ 1}， = ( ∞, 2]，则 ∩ =( )
A. [1, +∞) B. [1,2] C. D.
| | 1, ≤ 1
2.已知函数 ( ) = { ，则 [ ( 3)] =( )
3 , > 1
A. 0 B. 1 C. 3 D. 9
3.若函数 ( + 1) = 2 1，则 ( ) =( )
A. 2 + 2 B. 2 1 C. 2 2 D. 2 + 1
4.已知 = 0.12， = log22， = 2
0.1，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = (1 ).则当 < 0时， ( ) =( )
A. (1 + ) B. (1 ) C. ( 1) D. (1 + )
6.函数 ( ) = √ 2 + 4 的单调增区间为( )
A. [0,2] B. ( ∞, 2] C. [2,4] D. [2, +∞)
, ≥ 1
7.若函数 ( ) = { ，且满足对任意的实数 ≠
(4 ) + 2, < 1 1 2
，都有[ ( 1) ( 2)] ( 1 2) > 0成
2
立，则实数 的取值范围( )
A. (1, +∞) B. (1,8) C. (4,8) D. [4,8)
3 3 +2
8.关于 的方程( ) = 有负根的一个充分不必要条件是( )
4 5
3 3 3 2 3
A. < < 4 B. < < 5 C. < < 6 D. < <
4 4 4 3 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > 0， > 0，且 + 3 = 1，则下列选项正确的是( )
1 1
A. 的范围为(0, ) B. 的最大值为
3 12
1 3
C. + 的最小值为16 D. 2 + 9 2的最小值为2

10.在同一平面直角坐标系中，函数 ： = 2 1 ， 2： =
( > 0且 ≠ 1)图象可能是( )
第 1 页，共 7 页
A. B.
C. D.
11.下列命题中正确的是( )
A. 函数 ( ) = 2 + ， ∈ [1,2]的值域是[3,6]
B. 函数 ( ) = 4 + 2 +1 + 1的值域是[1, +∞)
1 4
C. 函数 ( ) = 2 的值域是(0, ] + +1 3
+1 1 1
D. 函数 ( ) = 2 的值域是[ , ] +2 +5 4 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.函数 ( ) = 在区间[2,4]上的最大值为______．
1
13.已知函数 ( )的数据如下表，则该函数可能的一个解析式为______．
0 1 2 3 4 5 …
( ) 3 6 12 24 48 96 …
14.设函数 ( ) = ( 4 + | | 1)( 6 < < 6)，则 ( )是______函数(从“奇”、“偶”、“既奇又偶”、
“非奇非偶”中选一个恰当答案填入)，关于 的不等式 (3 + 1) + ( 2) < (1 3 )的解集为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知10 = 2，10 = 5，求下列各式的值：
(1)10 2 ；
(2) + ；
1 1
(3)2 + 5 ．
16.(本小题15分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 + 1) 在(0, +∞)上单调递增．
第 2 页，共 7 页
(1)求 ( )解析式；
(2)若 ( ) = ( ) 2 + 2 在[0,2]上的最小值为 2，求 的值．
17.(本小题15分)
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水
开始的温度是 1℃，室温是 0℃，那么 后茶水的温度 (单位：℃)可由公式 ( ) = 0 + ( 1 0)
求
得，其中 是常数.为了求出这个 的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水
泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从 = 0开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理
到了如下的数据：
0 1 2 3 4 5
(℃) 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00
(1)请你仅利用表中的一组数据 = 5， = 75.00，求 的值，并求出此时 ( )的解析式；
(2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据(1)的结
果，王老师要等待多长时间？
(参考数据： 2 ≈ 0.7， 5 ≈ 1.6， 7 ≈ 1.9， 是自然对数的底数. )
18.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = 为奇函数．
+1
(1)求 的值；
(2)利用定义证明 = ( )在 上单调递增；
(3)若存在实数 ∈ [1,3]，使得 ( 4 3) + (2 ) > 0成立，求 的范围．
19.(本小题17分)
对于定义在区间 上的函数 ( )，若存在闭区间[ , ] 和常数 ，使得对任意 1 ∈ [ , ]，都有 ( 1) = ，
且对任意 2 ∈ ，当 2 [ , ]时， ( 2) > 恒成立，则称函数 ( )为区间 上的“卷函数”．
(1)判断函数 ( ) = | + 1| + | 1|是否为 上的“卷函数”？并说明理由；
(2)设 ( )是(1)中的“卷函数”，若不等式 (2 3) ≤ 4 + 4 + 2 + 2 2对 ∈ 恒成立，求实数 的
取值范围；
(3)若函数 ( ) = + √ 2 + 4 + 是区间[ 3, +∞)上的“卷函数”，求 的值．
第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】3 2 (答案不唯一)
1
14.【答案】奇 ( ∞, )
3
15.【答案】解：(1) ∵ 10 = 2，10 = 5，

∴ 10 2
10 10 2 2
=
102
= 2 = = ；
(10 ) 52 25
(2) ∵ 10 = 2，10 = 5，
∴ 10 + = 10 10 = 2 × 5 = 10，
则 + = 1；
(3) ∵ 10 = 2，10 = 5，
∴ = 2， = 5，
1 1
则 = 210， = 510，
1 1
∴ 2 + 5 = 2 210 + 5 510 = 10 + 10 = 20．
16.【答案】解：(1)幂函数 ( ) = ( 2 + 1) 在(0, +∞)上单调递增，
则{
2 + 1 = 1，解得 = 1，
> 0
则 ( ) = ；
(2)由 ( ) = ( ) 2 + 2 = 2 2 + 2 ，对称轴为 = ，
第 4 页，共 7 页
当 ≤ 0时， ( ) = (0) = 2 ，则2 = 2，即 = 1；
当0 < < 2时， ( ) 2 = ( ) = + 2 ，
则 2 + 2 = 2，即 = 1 + √ 3(舍去)或 = 1 √ 3(舍去)；
当 ≥ 2时， ( ) = (2) = 4 2 ，则4 2 = 2，即 = 3．
综上所述， = 1或3．
17.【答案】解：(1)由已知可得 0 = 25， 1 = 95，
由 = 5， = 75.00，可得75 = 25 + (95 25) 5 ，
即 5
5 5 3
= ，即 5 = ln = 5 7 ≈ 1.6 1.9 = 0.3，解得 ≈ ，
7 7 50
3
此时 ( )的解析式为 ( ) = 25 + 70 50 ．
3 3 2
(2)令25 + 70 50 = 45，即 50 = ，
7
3 2
即 = ln = 2 7 ≈ 0.7 1.9 = 1.2，解得 ≈ 20，
50 7
所以王老师大约等待20 ．
1
18.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = 为 上的奇函数， +1
1
所以 (0) = = 0，即 = 1，
1+1
1 1 1
此时 ( ) = ，则 ( ) = = = ( )，满足题意， +1 +1 1+
所以 = 1．
1 +1 2 2
(2)证明：由(1)知， ( ) = = = 1 ， +1 +1 +1
任取 1， 2 ∈ ，且 1 < ，则
1 22 < 0，(
1 + 1)( 2 + 1) > 0，
2 2 2 2
则 ( 1) ( 2) = 1 1 + = 1+1 2+1 2+1 1+1
2( 1+1 2 1) 2( 1 2)
= = < 0，
( 1+1)( 2+1) ( 1+1)( 2+1)
所以 ( 1) < ( 2)，
所以 = ( )在 上单调递增．
(3)由 ( 4 3) + (2 ) > 0，
即 ( 4 3) > (2 ) = ( 2 )，
因为函数 = ( )在 上单调递增，
3 1
所以 4 3 > 2 ，即 > ，
4 2
第 5 页，共 7 页
3 1 3 1
由题意，存在实数 ∈ [1,3]，使得 > 成立，则 > ( ) ， 4 2 4 2
1 1 1
令 = ( ≤ ≤ )，则 > (3 2 ) 2 8 2
1 1 1
当 = 时，(3 2 ) = ，即 > ，
6 12 12
1
所以 的取值范围为( , +∞)．
12
19.【答案】解：(1)函数 ( ) = | + 1| + | 1|为 上的“卷函数”，理由如下：
2 , < 1
对于函数 ( ) = | + 1| + | 1| = {2, 1 ≤ ≤ 1，
2 , > 1
当 ∈ [ 1,1]时， ( ) = 2，且当 < 1或 > 1时， ( ) > 2恒成立，
所以函数 ( ) = | + 1| + | 1|为 上的“卷函数”．
(2)由于2 + 2 ≥ 2√ 2 2 = 2，当且仅当2 = 2 ，即 = 0时等号成立，
令2 + 2 = ( ≥ 2)，则4 + 4 = (2 + 2 )2 2 = 2 2，
所以4 + 4 + 2 + 2 2 = 2 + 4，
因为函数 = 2 + 4在[2, +∞)上单调递增，
所以当 = 2时， = 2 + 4的最小值为2，
由题意，不等式 (2 3) ≤ 4 + 4 + 2 + 2 2对 ∈ 恒成立，
即不等式 (2 3) ≤ 2恒成立，
由(1)知，当 ∈ [ 1,1]时， ( ) = 2，且当 < 1或 > 1时， ( ) > 2恒成立，
则 1 ≤ 2 3 ≤ 1，解得1 ≤ ≤ 2，
即实数 的取值范围为[1,2]．
(3)因为函数 ( ) = + √ 2 + 4 + 是区间[ 3, +∞)上的“卷函数”，
则存在区间[ , ] [ 3, +∞)和常数 ，使得 + √ 2 + 4 + = 恒成立．
2 = 1
所以 2 + 4 + = ( )2 = 2 2 2 + 2恒成立，即{ 2 = 4，
2 =
= 1 = 1
解得{ = 2 或{ = 2，
= 4 = 4
= 1
2 2 2, 3 ≤ ≤ 2当{ = 2 时， ( ) = + √ + 4 + 4 = + | + 2| = { ．
2, > 2
= 4
当 ∈ [ 3, 2]时， ( ) > 2，当 ∈ ( 2, +∞)时， ( ) = 2，
第 6 页，共 7 页
此时， ( )不是区间[ 3, +∞)上的“卷函数”．
= 1
2, 3 ≤ ≤ 2
当{ = 2时， ( ) = + √ 2 + 4 + 4 = + | + 2| = { ，
2 + 2, > 2
= 4
当 ∈ [ 3, 2]时， ( ) = 2，当 ∈ ( 2, +∞)时， ( ) > 2恒成立．
此时， ( )是区间[ 3, +∞)上的“卷函数”，符合题意．
综上所述， = 1， = 4，
所以 = 4．
第 7 页，共 7 页