北京市海淀区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

北京市海淀区 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { ∈ | + 1 > 0}， = { | 2 ≤ ≤ 3}，则 ∩ =( )
A. { | 1 < ≤ 3} B. {0,1,2,3} C. { | 1 < < 3} D. { 1,0,1,2}
2.命题“ > 0，2 2 = 5 1”的否定是( )
A. > 0，2 2 ≠ 5 1 B. ≤ 0，2 2 = 5 1
C. > 0，2 2 ≠ 5 1 D. ≤ 0，2 2 = 5 1
3.函数 ( ) = 3 + 5的零点所在区间为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
4.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. ( ) = ， ( ) = √ 2
1, > 1
B. ( ) = | 1|， ( ) = {
1 , < 1
2 1
C. ( ) = + 1， ( ) =
1
0
D. ( ) = ， ( ) =
2
5.下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上是增函数的是( )
1
A. ( ) = B. ( ) = | | + 1 C. ( ) = 32 D. ( ) =
2 2

1 1
6.设 ， ∈ ，则“ > > 0”是“ < ”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我
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们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是( )
1 1 1 1
A. ( ) = B. ( ) = C. ( ) = 2 D. ( ) = | 1| || | 1| 1 2+1
8.若关于 的不等式 2 4 2 > 0在区间(1,4)内有解，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2) B. ( 2, +∞) C. ( 6, +∞) D. ( ∞, 6)
9.已知函数 ( )的图像关于直线 = 1对称，当 2 > 1 > 1时，[ ( 2) ( 1)]( 2 1) < 0恒成立.设 =
1
( ), = (0), = (3)，则 ， ， 的大小关系为( )
2
A. > > B. > > C. > > D. > >
10.对于任意的 ∈ ，[ ]表示不超过 的最大整数.十八世纪， = [ ]被“数学王子”高斯采用，因此得名
为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，下列说法错误的是( )
A. 函数 = [ ]( ∈ )为奇函数
B. 函数 = [ ]的值域为
C. 对于任意的 ， ∈ +，不等式[ ] + [ ] ≤ [ + ]恒成立
D. 不等式[ ]2 4[ ] + 3 < 0的解集为{ |2 ≤ < 3}
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
1
11.函数 = √ 3 1 + 的定义域是______．
1
2 +1
12.不等式 ≤ 1的解集为______．
2
13.已知 = {1, 2}， = {1,3, }，若 ∪ = ，则 的值为______．
2 + 2 + 3, ≤ 1
14.已知函数 ( ) = { 是 上的减函数，则实数 的取值范围是______．
+ 1, > 1
15.已知函数 ( ) = | |，其中 ∈ ，下列结论正确的是______．
①存在实数 ，使得函数 ( )为奇函数
②存在实数 ，使得函数 ( )为偶函数
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③当 > 0时， ( )的单调增区间为( ∞, )，( , +∞)
2
④当 < 0时，若方程 ( ) + 1 = 0有三个不等实根，则 < 2
三、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知全集 = ， = { || | < 3}， = { | 2 4 5 > 0}，求 ， ∩ ， ( ∪ )．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + + 1．
1 4
(1)若 (1) = 2，且 > 0， > 0，求 + 的最小值：

(2)若 = 1，解关于 的不等式 ( ) ≤ 0．
18.(本小题12分)

已知函数 ( ) = ， ∈ ( 4,4)．
16 2
(1)证明： ( )为奇函数．
(2)判断 ( )在( 4,4)上的单调性，并证明你的结论．
(3)解关于 的不等式 ( 1) + (2 ) < 0．
19.(本小题8分)
对于定义域为 的函数，如果存在区间[ , ] ，同时满足下列两个条件：
① ( )在区间[ , ]上是单调的；
②当定义域是[ , ]时， ( )的值域也是[ , ].则称[ , ]是函数 = ( )的一个“黄金区间”．
1
(1)请证明：函数 = 1 ( > 0)不存在“黄金区间”．

(2)已知函数 = 2 4 + 6在 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
( 2+ ) 1
(3)如果[ , ]是函数 = 2 ( ≠ 0)的一个“黄金区间”，请求出 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
1
11.【答案】{ | ≥ 且 ≠ 1}
3
12.【答案】[ 3,2)
13.【答案】√ 3或 √ 3或0
14.【答案】[ 3, 1]
15.【答案】①③④
16.【答案】解：∵全集 = ， = { | 3 < < 3}， = { | 2 4 5 > 0} = { | > 5或 < 1}，
∴ ∩ = { | 3 < < 1}，
∪ = { | > 5或 < 3}，
= { | 1 ≤ ≤ 5}，
( ∪ ) = { |3 ≤ ≤ 5}．
17.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = 2 + + 1．
若 (1) = 2，即 + + 1 = 2，变形可得 + = 1，
1 4 4 4
则有( + )( + ) = 5 + + ≥ 5 + 2√ = 9．

4 1 2
当且仅当 = 即 = , = 时，等号成立，
3 3
1 4
故 + 的最小值为9；

(2) ( ) = 2 ( + 1) + 1 ≤ 0，即( 1)( 1) ≤ 0，
分3种情况讨论：
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①当 = 0时，不等式为 + 1 ≤ 0，其解集为{ | ≥ 1}，
1
②当 > 0时，不等式为 ( )( 1) ≤ 0

1
其中当 = 1，即 = 1时，其解集为{ | = 1}，

1 1
当 > 1，即0 < < 1时，其解集为{ |1 ≤ ≤ }，

1 1
当 < 1，即 > 1时，其解集为{ | ≤ ≤ 1}，

1
③当 < 0时，不等式的解集为{ | ≥ 1或 ≤ }．

综上： = 0时，不等式的解集为{ | ≥ 1}；
= 1时，不等式的解集为{ | = 1}；
1
0 < < 1时，不等式的解集为{ |1 ≤ ≤ }；

1
> 1时，不等式的解集为{ | ≤ ≤ 1}；

1
< 0时，不等式的解集为{ | ≥ 1或 ≤ }．


18.【答案】解：(1)依题意， ( ) = 2 = = ( )，
16 ( ) 16 2
合 ( )的定义域关于原点对称，可得 ( )是奇函数；

(2) ( ) =
16 2
在( 4,4)上为增函数．
(16+ )( )
即 1， 2 ∈ ( 4,4)，且 1 < 2，有 ( ) (
1 2 1 2 1 2
1 2) = = ， 16 21 16
2
2 (16
2
1)(16
2
2)
根据 4 < 1 < 2 < 4，得16 + 1 2 > 0,16
2
1 > 0,16
2
2 > 0, 1 2 < 0，
(16+ 1 因此 2
)( 1 2) < 0，即 ( ) ( ) < 0，则有 ( ) < ( )，
(16 21)(16
2) 1 2 1 22
所以 ( )在( 4,4)上为增函数；
(3)由 ( )为奇函数且在( 4,4)上为增函数，
1
可得 ( 1) + (2 ) < 0，即 ( 1) < ( 2 )，可得 4 < 1 < 2 < 4，解得 2 < < ，
3
1
因此原不等式的解集为( 2, )．
3
1
19.【答案】(1)证明：由函数 = 1 为(0, +∞)上的增函数，

( ) =
则有{ ，
( ) =
1
所以1 = ，即 2 + 1 = 0，无解，

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1
所以函数 = 1 ( > 0)不存在“黄金区间”．

(2)解：记[ , ]是函数 = 2 4 + 6的一个“黄金区间”( < )，
由 = ( 2)2 + 2 ≥ 2及此时函数的值域为[ , ]，
所以 ≥ 2，
又其图象的对称轴为 = 2，
所以 = 2 4 + 6在[ , ]上必为单调递增函数，
令 2 4 + 6 = ，解得 = 2或 = 3，
故该函数有唯一的一个“黄金区间”[2,3]．
( 2+ ) 1 +1 1
(3)解：由 = 2 = 2 在( ∞, 0)和(0, +∞)上均为增函数，
已知 ( )在“黄金区间”[ , ]上单调，
所以[ , ] ( ∞，0)或[ , ] (0，+∞)，且 ( )在[ , ]上为单调递增，
( ) =
故{ ，
( ) =
+1 1
即 ， 为方程
2
= 的两个同号的实数根，

即方程 2 2 ( 2 + ) + 1 = 0有两个同号的实数根，
1
注意到 = 2 > 0，
则只要 = ( 2 + )2 4 2 > 0，解得 < 3或 > 1，
2+ +1 1
由韦达定理可得， + = 2 = ， = > 0， 2
+1 4 1 1 4
所以 = √ ( + )2 4 = √ ( )2 2 = √ 3( )
2 + ，
3 3
其中 > 1或 < 3，
2√ 3
所以当 = 3时， 取得最大值 ．
3
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